Абсолютно твердое тело

Введение

Абсолю́тно твёрдое те́ло — второй опорный объект механики наряду с материальной точкой. Механика абсолютно твердого тела полностью сводима к механике материальных точек (с наложенными связями), но имеет собственное содержание (полезные понятия и соотношения, которые могут быть сформулированы в рамках модели абсолютно твердого тела), представляющее большой теоретический и практический интерес.

Существует несколько определений:

1. Абсолютно твёрдое тело — модельное понятие классической механики, обозначающее совокупность материальных точек, расстояния между которыми сохраняются в процессе любых движений, совершаемых этим телом. Иначе говоря, абсолютно твердое тело не только не изменяет свою форму, но и сохраняет неизменным распределение массы внутри.
2. Абсолютно твёрдое тело — механическая система, обладающая только поступательными и вращательными степенями свободы. «Твёрдость» означает, что тело не может быть деформировано, то есть телу нельзя передать никакой другой энергии, кроме кинетической энергии поступательного или вращательного движения.
3. Абсолютно твёрдое тело — тело (система), взаимное положение любых точек которого не изменяется, в каких бы процессах оно ни участвовало.

Таким образом, положение абсолютно твердого тела полностью определяется, например, положением жестко привязанной к нему декартовой системы координат (обычно ее начало координат делают совпадающим с центром масс твердого тела).

В трёхмерном пространстве и в случае отсутствия (других) связей абсолютно твёрдое тело обладает 6 степенями свободы: три поступательных и три вращательных. Исключение составляет двухатомная молекула или, на языке классической механики, твёрдый стержень нулевой толщины. Такая система имеет только две вращательных степени свободы.

Абсолютно твёрдых тел в природе не существует, однако в очень многих случаях, когда деформация тела мала и ей можно пренебречь, реальное тело может (приближенно) рассматриваться как абсолютно твёрдое тело без ущерба для задачи.

В рамках релятивистской механики понятие абсолютно твёрдого тела внутренне противоречиво, что показывает, в частности, парадокс Эренфеста. Другими словами, модель абсолютно твердого тела вообще говоря совершенно неприменима к случаю быстрых движений (сопоставимых по скорости со скоростью света), а также к случаю очень сильных гравитационных полей .

Кинематическое состояние

Состояние покоя – это состояние тела, при котором скорости всех его точек, относительно выбранной системы координат, равны нулю. При этом координаты всех точек имеют постоянные, не зависящие от времени значения.

Состояние движения тела – это состояние тела, при котором существуют его точки, которые движутся относительно выбранной системы координат с отличной от нуля скоростью.

Кинематическое состояние тела – это состояние покоя или движения. Два кинематических состояния тела считаются одинаковыми или равными, если закон движения любой точки в первом кинематическом состоянии совпадает с законом движения той же точки во втором состоянии.

Уравнение движения и равновесия твердого тела

Так как твердое тело является механической системой с шестью степенями свободы, то для описания его движения требуется шесть независимых числовых уравнений или два независимых векторных уравнения.

Одно из них – это уравнение движения центра масс С

Второе – уравнение моментов

Если твердое тело покоится, то уравнения (1) и (2) переходят в

Это необходимые условия равновесия твердого тела. Но они не являются достаточными. При их выполнении центр масс может двигаться прямолинейно и равномерно с произвольной скоростью, а само тело может вращаться с сохранением момента импульса. Такое движение твердого тела называют свободным. Следует отметить, что даже свободное движение твердого тела может быть очень сложным. Поэтому сначала рассмотрим простейший случай движения твердого тела.

7.4. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси

Движение твердого тела, при котором все точки прямой АВ, жестко связанной с телом, остаются неподвижными, называется вращением тела вокруг неподвижной оси АВ.

Такое твердое тело имеет одну степень свободы и его положение в пространстве полностью определяется значением угла поворота вокруг оси вращения из некоторого, условно выбранного, начального положения этого тела. Мерой перемещения тела за малый промежуток времени dt полагают вектор

dt

Если

ОZ

где

–,

Уравнение динамики тела, вращающегося вокруг неподвижной оси z, имеет вид

dL_z/dt = M_zВНЕШН

M_zВНЕШНM_zВНЕШНzОZ,i

Первое слагаемое перпендикулярно оси ОZ, а второе параллельно, так как

.

Таким образом или , (7)

называется моментом инерции тела относительно оси Z .

Тогда уравнение динамики тела, вращающегося относительно неподвижной оси Z , можно записать в виде

M_zВНЕШНM_zВНЕШН

Определение условия равновесия тела

Как правило, при определении условий равновесия тела начинают с определения системы отсчета. Затем в заданной системе определяют все действующие внешние силы и их моменты.

Поскольку первое условие равновесия записывается в векторной форме, то необходимо найти проекции сил на координатные оси — Fx,Fy,Fz. Тогда условие равновесия можно записать в виде:

Затем определяют выполнения второго условия равновесия — равенство нулю моментов внешних сил.

При выполнении двух условий тело находится в равновесии.

Приведенный выше алгоритм действий при определении равновесия тела справедлив как для движущегося равномерно тела, так и тела, находящегося в состоянии покоя.

Системы сил

Система сил – это совокупность нескольких сил, действующих на данное тело или систему тел.

Эквивалентные системы сил – это системы сил, под действием которых твердое тело находится в одинаковых .

Равнодействующая сила – это сила, эквивалентная некоторой системе сил.

Система взаимно уравновешивающихся сил – это система сил, которая не меняет тела.

Внешние силы, действующие на механическую систему – это силы, действующие на тела рассматриваемой системы со стороны тел, не входящих в эту систему.

Внутренние силы, действующие на механическую систему – это силы, действующие на тела рассматриваемой системы со стороны тел, входящих в эту систему.

Например, если в качестве механической системы мы возьмем стол с лежащей на нем книгой, то силы тяжести, действующие на оба тела и сила давления поверхности пола на стол, являются внешними силами. А сила давления книги на стол и сила давления стола на книгу будут внутренними.

Использованная литература: А. А. Яблонский, В.М. Никифорова, Курс теоретической механики, часть 1, статика, кинематика. Москва, «Высшая школа», 1966.

Механическое воздействие

Механическое воздействие одного тела на другое – это такое воздействие, в результате которого могут происходить изменения скоростей точек тел без изменения их химического состава. Механическое воздействие может происходить при соприкосновении тел или на расстоянии – в результате действия электромагнитных или гравитационных полей.

Также действие пружины часто рассматривают как действие потенциального поля.

Сила – это мера механического воздействия тел, в результате которого свободное тело получает ускорение относительно инерциальной системы отсчета.

Действие силы на тело определяется двумя векторами – собственно вектором силы и точкой приложения этой силы к телу. Точку приложения также можно представить вектором , проведенным из начала отсчета системы координат в точку . В прямоугольной системе координат , вектор задается тремя проекциями силы на оси координат. Как и всякий вектор, он имеет модуль и направление. Вектор также имеет модуль и направление. Но они зависят от выбора системы координат, поэтому особого физического смысла не имеют. В то время, как модуль силы определяет интенсивность механического воздействия и не зависит от выбора системы координат. Направление вектора силы относительно тела также не зависит от выбора системы отсчета.

Обычно силу обозначают как вектор . Но вектор в математике – это три числа: его проекции на оси системы координат

В теоретической механике важное значение имеет точка приложения силы. Поэтому под силой обычно подразумевают два вектора – саму силу , и точку ее приложения

Линия действия силы – это прямая, параллельная вектору силы, проходящая через ее точку приложения.

На рисунке прямая – это линия действия силы , приложенной в точке . В статике, точку приложения силы можно перемещать вдоль ее линии действия, поскольку такое преобразование не меняет уравнений равновесия. А вот при изучении деформаций, перемещать точку приложения нельзя. В связи с этим вводят следующие определения.

Связанный вектор – это вектор, приложенный к определенной точке и не допускающий переноса в другие точки.

Скользящий вектор – это вектор, точку приложения которого можно перемещать вдоль линии его действия.

Свободный вектор – это вектор, точку приложения которого можно помещать в любую точку пространства.

Такм образом, если мы изучаем деформации в теле, то все приложенные к нему силы являются связанными векторами. Но в задачах теоретической механики, мы изучаем скорости движения тел, считая их твердыми. Перемещение точки приложения силы вдоль линии ее действия не меняет уравнений движения. Поэтому силы в теоретической механике являются скользящими векторами. Момент пары сил и угловая скорость вращения тела являются примерами свободных векторов.