Теория упругости

Параллельное и последовательное соединение пружин

В Законе Гука есть такая величина, как коэффициент жесткости— это характеристика тела, которая показывает его способность сопротивляться деформации. Чем больше коэффициент жесткости, тем больше эта способность, а как следствие из Закона Гука — и сила упругости.

Чаще всего эта характеристика используется для описания жесткости пружины. Но если мы соединим несколько пружин, то их суммарная жесткость нужно будет рассчитать. Разберемся, каким же образом.

Последовательное соединение системы пружин

Последовательное соединение характерно наличием одной точки соединения пружин.

При последовательном соединении общая жесткость системы уменьшается. Формула для расчета коэффициента упругости будет иметь следующий вид:

Коэффициент жесткости при последовательном соединении пружин k — общая жесткость системы [Н/м] k1, k2, …, ki — отдельные жесткости каждого элемента [Н/м] i — общее количество всех пружин, задействованных в системе

Параллельное соединение системы пружин

Последовательное соединение характерно наличием двух точек соединения пружин.

В случае когда пружины соединены параллельно величина общего коэффициента жесткости системы будет увеличиваться. Формула для расчета будет выглядеть так:

Коэффициент жесткости при параллельном соединении пружин k — общая жесткость системы [Н/м] k1, k2, …, ki — отдельные жесткости каждого элемента [Н/м] i — общее количество всех пружин, задействованных в системе

Задачка

Какова жесткость системы из двух пружин, жесткости которых k₁ = 100 Н/м, k₂ = 200 Н/м, соединенных: а) параллельно; б) последовательно?

Решение:

а) Рассмотрим параллельное соединение пружин.

При параллельном соединении пружин общая жесткость

k = k₁ + k₂ = 100 + 200 = 300 Н/м

б) Рассмотрим последовательное соединение пружин.

При последовательном соединении общая жесткость двух пружин

66,7 Н/м

Очень-очень важно!

Не забудь при расчете жесткости при последовательном соединении в конце перевернуть дробь

Сила упругости: Закон Гука

Давайте займемся баскетболом. Начнем набивать мяч о пол, он будет чудесно отскакивать. Этот удар можно назвать упругим. Если при ударе деформации не будет совсем, то он будет называться абсолютно упругим.

Если вы перепутали мяч и взяли пластилиновый, он деформируется при ударе и не оттолкнется от пола. Такой удар будет называться абсолютно неупругим.

Деформацию тоже можно назвать упругой (при которой тело стремится вернуть свою форму и размер в изначальное состояние) и неупругой (когда тело не может вернуться в исходное состояние).

При деформации возникает сила упругости— это та сила, которая стремится вернуть тело в исходное состояние, в котором оно было до деформации.

Сила упругости, возникающая при упругой деформации растяжения или сжатия тела, пропорциональна абсолютному значению изменения длины тела. Выражение, описывающее эту закономерность, называется законом Гука.

Какой буквой обозначается сила упругости?

Закон Гука —сила упругости k — коэффициент жесткости [Н/м] х — изменение длины (деформация)

Важно раз

Изменение длины может обозначаться по-разному в различных источниках.

Варианты обозначений: x, ∆x, ∆l.

Это равноценные обозначения — можно использовать любое удобное.

Важно два

Поскольку сила упругости всегда направлена против деформации (она же стремится все «распрямить»), в Законе Гука должен быть знак минус. Часто его и можно встретить в разных учебниках. Но поскольку мы учитываем направление этой силы при решении задач, знак минус можно не ставить.

Задачка

На сколько удлинится рыболовная леска жесткостью 0,3 кН/м при равномерном (без ускорения) поднятии вверх рыбы весом 300 г?

Решение:

Сначала определим силу тяжести. Не забываем массу представить в единицах СИ – килограммах.

СИ — международная система единиц.
«Перевести в СИ» означает перевод всех величин в метры, килограммы, секунды и другие единицы измерения без приставок. Исключение составляет килограмм с приставкой «кило».

m = 300 г = 0,3 кг

Если принять ускорение свободного падения равным 10 м/с*с, то модуль силы тяжести равен :

F = mg = 0,3*10 = 3 Н.

Вспомним закон Гука:

И выразим из него модуль удлинения лески:

Так как одна сила уравновешивает другую, мы можем их приравнять:

Подставим числа, жесткость лески при этом выражаем в ньютонах:

= 0,01 м = 1 см

Ответ: удлинение лески равно 1 см.

План практических занятий[править]

1. Деформирование прямого кругового цилиндра под действием внутреннего и внешнего давления

2. Полярно-симметричная деформация упругого шара нагретого и быстро охлаждающегося с поверхности

3. Деформация упруго-вязкого толстостенного шар под действием внутреннего давления (Модель Кельвина-Фойгта и Максвелла)

4. Призматический стержень в поле силы тяжести

5. Постановка задачи о кручении призматических стержней односвязных сечений.

а) треугольное сечение;

б) прямоугольное сечение — точно решение;

в) прямоугольное сечение — решение с помощью метода Ритца, способа Галеркина;

г) сечение представляет собой круговой сектор с углом раствора «g»;

д) эллиптическое сечение;

е) круглый стержень с продольной круговой выточкой;

ж) сечение в виде сектора тонкого кругового кольца.

6. Напряженное состояние во вращающемся тонком круглом диске

Сила: что это за величина

В повседневной жизни мы часто встречаем, как любое тело деформируется (меняет форму или размер), ускоряется или замедляется, падает. В общем, чего только с разными телами в реальной жизни не происходит. Причиной любого действия или взаимодействия является сила.

Сила — это физическая векторная величина, которая является мерой действия одного тела на другое.

Она измеряется в ньютонах — это единица измерения названа в честь Исаака Ньютона.

Сила — величина векторная. Это значит, что, помимо модуля, у нее есть направление. От того, куда направлена сила, зависит результат действия этой силы.

Вот стоите вы на лонгборде: можете оттолкнуться вправо, а можете влево — в зависимости от того, в какую сторону оттолкнетесь, результат будет разный. В данном случае результат выражается в направлении движения.

Практикующий детский психолог Екатерина Мурашова
Бесплатный курс для современных мам и пап от Екатерины Мурашовой. Запишитесь и участвуйте в розыгрыше 8 уроков
Получить

План лекций[править]

1. Описание движения деформируемого тела.
2. Мера деформации и тензор деформации. Подход Лагранжа.
3. Объемная деформация. Формула Нансона.
4. Мера деформации и тензор деформации. Подход Эйлера.
5. Примеры деформированных состояний (аффинное преобразование, простой сдвиг).
6. Примеры деформированных состояний (жесткий поворот среды, цилиндрический изгиб пластины).
7. Тензор скоростей деформации. Теорема Гельмгольца.
8. Мгновенное состояние движения и деформация.
9. Тензор поворота среды. Производная во вращающейся системе координат.
10. Полярное разложение градиента деформации.
11. Условия совместности деформаций.
12. Формула Чезаро.
13. Вектор напряжений.
14. Тензор напряжений.
15. Свойства главных напряжений. Круги Мора.
16. Примеры тензоров напряжений.
17. О касательных напряжениях.
18. Шаровая и девиаторная части тензора напряжений.
19. Уравнения равновесия.
20. Закон сохранения массы.
21. Другие определения тензоров напряжений.
22. Постановка задачи линейной теории упругости. Линейный тензор деформации.
23. Элементарная работа.
24. Изотропная однородная среда Генки.
25. Потенциальная энергия деформации.
26. Обобщенный закон Гука. Формула Клайперона.
27. Свободная энергия.
28. Термодинамический потенциал Гиббса.
29. Уравнение теплопроводности.
30. Уравнения теории упругости в перемещениях.
31. Решение в форме Папковича-Нейбера.
32. Уравнения теории упругости в напряжениях.
33. Вариационный принцип минимума потенциальной энергии системы.
34. Метод Ритца. Метод Галеркина. Метод Канторовича.
35. Теорема Лагранжа. Теорема Кастильяно.
36. Пример использования теоремы Кастильяно и метода Ритца для исследования изгиба балок.
37. Уравнения равновесия балки как уравнения Эйлера вариационной проблемы о минимуме функционала потенциальной энергии системы.
38. Вариационный принцип минимума дополнительной работы.
39. Вариационный принцип Рейсснера.
40. Вариационный принцип Ху-Вашицу.
41. Вариационный принцип Ксю-Ли.
42. Вариационные принципы при учете температурных слагаемых.
43. Принцип Сен-Венана.
44. Теорема о взаимности работ. Применение.
45. Теорема Максвелла.
46. Тензор влияния в неограниченной упругой среде (перемещения).
47. Тензор влияния в неограниченной упругой среде (напряжения).
48. Потенциалы теории упругости.
49. Теорема Кирхгоффа.
50. Система сил, распределенных в малом объеме.
51. Постановка задачи Сен-Венана.
52. Напряжения в задаче Сен-Венана.
53. Задача о кручении.
54. Кручение стержня эллиптического сечения.
55. Теорема о циркуляции касательных напряжений.
56. Мембранная аналогия Прандтля.
57. Круглый стержень с полукруглой выточкой.
58. Кручение стержня прямоугольного сечения.
59. Вариационное определение функции напряжений в задаче о кручении.
60. Приближенное решение задачи кручения стержня прямоугольного сечения.

Подходы к постановке задачи

Различают три варианта постановок задач теории упругости.

1. Постановка задач теории упругости в перемещениях

Основные неизвестные — три компоненты вектора перемещений (в дальнейшем — перемещения).
Они должны удовлетворять трём уравнениям равновесия, записанным в перемещениях (уравнения Ламе).
В каждой неособенной точке поверхности тела перемещения должны удовлетворять трём граничным условиям.
Граничные условия могут быть сформулированы в трёх вариантах:

• заданы перемещения;
• заданы комбинации напряжений, записанные через нормальные и касательные производные от перемещений;
• заданы комбинации напряжений и перемещений, записанные через нормальные и касательные производные от перемещений и через сами перемещения.

По известным перемещениям деформации определяются дифференцированием (симметричные соотношения Коши).
Найденные по перемещениям деформации тождественно удовлетворяют шести уравнениям совместности деформаций
По известным перемещениям можно найти дифференцированием компоненты тензора поворотов и псевдовектора поворотов (антисимметричные соотношения Коши).
По известным деформациям напряжения определяются алгебраически (уравнения закона Гука).

2. Постановка задач теории упругости в напряжениях.
Основные неизвестные — шесть компонент симметричного тензора напряжений.
Они должны удовлетворять трём уравнениям равновесия, записанным в напряжениях, и шести уравнениям совместности деформаций, записанным с помощью уравнений закона Гука в напряжениях. Деформации определяются алгебраически по найденным напряжениям из обратных уравнений закона Гука. Перемещения интегрируются в квадратурах по найденным деформациям с помощью формул Чезаро, причем интегрируемость обеспечена, так как удовлетворены уравнения совместности деформаций. Для упрощения постановки напряжения можно выразить через тензорный потенциал так, что уравнения равновесия будут удовлетворяться тождественно, а уравнения совместности распадутся на отдельные уравнения для каждой из компонент тензора-потенциала напряжений.
Удерживая те или иные компоненты симметричного тензора-потенциала напряжений, а остальные полагая нулю, можно получить как частные случаи известные постановки Максвелла, Моррера, Эйри.

3. Постановка задач теории упругости в смешанном виде.

График зависимости силы упругости от жесткости

Закон Гука можно представить в виде графика. Это график зависимости силы упругости от изменения длины и по нему очень удобно можно рассчитать коэффициент жесткости. Давай рассмотрим на примере задач.

Задачка 1

Определите по графику коэффициент жесткости тела.

Решение:

Из Закона Гука выразим коэффициент жесткости тела:

F = kx

Снимем значения с графика

Важно выбрать одну точку на графике и записать для нее значения обеих величин

Например, возьмем вот эту точку.

В ней удлинение равно 2 см, а сила упругости 2 Н.

Переведем сантиметры в метры:

2 см = 0,02 м

И подставим в формулу:

=100 Н/м

Ответ:жесткость пружины равна 100 Н/м

Онлайн-уроки физики в Skysmart не менее увлекательны, чем наши статьи!

Задачка 2

На рисунке представлены графики зависимости удлинения от модуля приложенной силы для стальной (1) и медной (2) проволок равной длины и диаметра. Сравнить жесткости проволок.

Решение:

Возьмем точки на графиках, у которых будет одинаковая сила, но разное удлинение.

Мы видим, что при одинаковой силе удлинение 2 проволоки (медной) больше, чем 1 (стальной). Если выразить из Закона Гука жесткость, то можно увидеть, что она обратно пропорциональна удлинению.

Значит жесткость стальной проволоки больше.

Ответ: жесткость стальной проволоки больше медной.

Анизотропные однородные среды

Для анизотропных сред тензор жесткости \displaystyle{ C_{ijkl}\,\! } сложнее. Симметрия тензора напряжений \displaystyle{ \sigma_{ij}\,\! } означает, что существует не более 6 различных элементов напряжений. Аналогично, существует не более 6 различных элементов тензора деформации \displaystyle{ \varepsilon_{ij}\,\! } . Следовательно, тензор жесткости четвёртого порядка \displaystyle{ C_{ijkl}\,\! } может быть записан в виде матрицы \displaystyle{ C_{\alpha \beta}\,\! } (тензор второго порядка). Запись Фойгта является стандартным способом отображения для тензорных индексов,

\displaystyle{
\begin{matrix}
ij & =\\
\Downarrow & \\
\alpha & =
\end{matrix}

\begin{matrix}
11 & 22 & 33 & 23,32 & 13,31 & 12,21 \\
\Downarrow & \Downarrow & \Downarrow & \Downarrow & \Downarrow & \Downarrow & \\
1 &2 & 3 & 4 & 5 & 6
\end{matrix}\,\! }

С помощью этих обозначений можно записать матрицу упругости для любой линейно-упругой среды как:

\displaystyle{ C_{ijkl} \Rightarrow C_{\alpha \beta} =\begin{bmatrix}
C_{11} & C_{12} & C_{13} & C_{14} & C_{15} & C_{16} \\
C_{12} & C_{22} & C_{23} & C_{24} & C_{25} & C_{26} \\
C_{13} & C_{23} & C_{33} & C_{34} & C_{35} & C_{36} \\
C_{14} & C_{24} & C_{34} & C_{44} & C_{45} & C_{46} \\
C_{15} & C_{25} & C_{35} & C_{45} & C_{55} & C_{56} \\
C_{16} & C_{26} & C_{36} & C_{46} & C_{56} & C_{66}
\end{bmatrix}.
\,\! }

Как показано, матрица \displaystyle{ C_{\alpha \beta}\,\! } симметрична. Это результат существования функции плотности энергии деформации, которая удовлетворяет \displaystyle{ \sigma_{ij}=\frac{\partial W}{\partial\varepsilon_{ij}} }. Следовательно, существует не более 21 различных констант \displaystyle{ C_{\alpha \beta}\,\! }.

Изотропный частный случай имеет 2 независимых элемента:

\displaystyle{ C_{\alpha \beta} =\begin{bmatrix}
K+4 \mu\ /3 & K-2 \mu\ /3 & K-2 \mu\ /3 & 0 & 0 & 0 \\
K-2 \mu\ /3 & K+4 \mu\ /3 & K-2 \mu\ /3 & 0 & 0 & 0 \\
K-2 \mu\ /3 & K-2 \mu\ /3 & K+4 \mu\ /3 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & \mu\ & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & \mu\ & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \mu\
\end{bmatrix}.
\,\! }

Простейший анизотропный случай кубической симметрии имеет 3 независимых элемента:

\displaystyle{ C_{\alpha \beta} =\begin{bmatrix}
C_{11} & C_{12} & C_{12} & 0 & 0 & 0 \\
C_{12} & C_{11} & C_{12} & 0 & 0 & 0 \\
C_{12} & C_{12} & C_{11} & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & C_{44} & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & C_{44} & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & C_{44}
\end{bmatrix}.
\,\! }

Случай поперечной изотропии, также называемой полярной анизотропией (с одной осью симметрии), имеет 5 независимых элементов:

\displaystyle{ C_{\alpha \beta} =\begin{bmatrix}
C_{11} & C_{11}-2C_{66} & C_{13} & 0 & 0 & 0 \\
C_{11}-2C_{66} & C_{11} & C_{13} & 0 & 0 & 0 \\
C_{13} & C_{13} & C_{33} & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & C_{44} & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & C_{44} & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & C_{66}
\end{bmatrix}.
\,\! }

Когда поперечная изотропия слаба (то есть близка к изотропии), альтернативная параметризация, использующая параметры Томсена, оказывается удобной для записи формул скоростей волн.

Случай ортотропии (симметрия кирпича) имеет 9 независимых элементов:

\displaystyle{ C_{\alpha \beta} =\begin{bmatrix}
C_{11} & C_{12} & C_{13} & 0 & 0 & 0 \\
C_{12} & C_{22} & C_{23} & 0 & 0 & 0 \\
C_{13} & C_{23} & C_{33} & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & C_{44} & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & C_{55} & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & C_{66}
\end{bmatrix}.
\,\! }