Теория чисел

История теории чисел[править]

Древняя Грецияправить

Арифметика получает основу с развитием счета, решением конкретных практических задач и появлением понятия натурального числа. В «Началах» Евклида изучается делимость чисел, вводится понимание простых чисел. Древнегреческий процесс получения последовательности простых — решето Эратосфена.

Как математическая дисциплина теория чисел восходит к трудам древнегреческого математика Диофанта Александрийского (предположительно III век до н. э.), в которых изучались задачи решения алгебраических уравнений в целых и рациональных числах.

Средние векаправить

В 850 году арабский астроном и математик Сабит ибн Курра предложил формулу для нахождения некоторых пар дружественных чисел.

В Европе до XVII века рассматривались отдельные задачи теоретико-числовой направленности. Исследованы числа Фибоначчи (1202 год). Были переведены и прокомментированы работы Диофанта.

XVII—XIX векаправить

Пьер де Ферма

В XVII веке ряд теоретико-числовых проблем был поставлен и решён французским математиком Пьером Ферма, которого можно считать основателем современной теории чисел. Его авторству принадлежит «метод бесконечного спуска» для доказательства свойств натуральных чисел. Малая теорема Ферма: ∀a∈Zap≡a(modp).{\displaystyle \forall \!a\in \mathbb {Z} \;a^{p}\equiv \!a\!{\pmod {p}}.} Теорема Ферма о многоугольных числах: каждое натуральное число можно представить не более чем n n-угольными числами. (Доказана Коши в 1813 году.)

Леонард Эйлер

Многочисленные результаты в теории чисел были получены в работах Леонарда Эйлера (1707—1783), который стал применять для решения теоретико-числовых проблем методы математического анализа. Гипотеза Гольдбаха—Эйлера поныне не доказана: любое чётное число >2{\displaystyle >2} представимо в виде суммы двух простых.

После Эйлера работы по теории чисел встречаются у ряда западных математиков XVII—XIX веков, его исследования были продолжены Лагранжем и Лежандром.

Карл Фридрих Гаусс

Карл Фридрих Гаусс в Disquisitiones Arithmeticae излагает теорию сравнений в современной нотации, решает сравнения произвольного порядка, исследует квадратичные формы; комплексные корни из единицы используются для построения правильных n-угольников, излагаются свойства квадратичных вычетов, приведено гауссово доказательство квадратичного закона взаимности. Гаусс поставил проблему нахождения «высших законов взаимности», которая стимулировала развитие алгебраической теории чисел в XIX—XX веках.

Разнообразные проблемы теории чисел рассматриваются в работах математиков XIX века: Эйзенштейна, Римана, Дирихле, Куммера, Чебышёва, Лиувилля, Эрмита, Кронекера, Золотарёва. Доказан сформулированный Чебышёвым асимптотический закон распределения простых чисел. Сформулирована не доказанная поныне гипотеза Римана о нулях дзета-функции, утверждающая, что все нетривиальные корни уравнения ζ(s)={\displaystyle \zeta (s)=0} лежат на так называемой критической прямой Res=12{\displaystyle \mathrm {Re} \,s={\frac {1}{2}}}.

Среди российских математиков XIX века выделяют труды Чебышёва, Коркина, Золотарёва, Вороного.

XX векправить

В XX веке в работах Гильберта, Такаги, Фуртвенглера, Хассе и Артина была построена теория полей классов, находящая применение в алгебраической теории чисел.

В XX веке продолжилось развитие методов комплексного переменного в теории чисел. Математик А. О. Гельфонд в 1934 году решил Седьмую проблему Гильберта о трансцендентности чисел вида αβ{\displaystyle \alpha ^{\beta }}, где α,β{\displaystyle \alpha ,\beta } — алгебраические числа. Вопросы приближения алгебраических чисел рациональными были развиты в работах А. Туэ, К. Зигеля и Ф. Рота. Это позволило доказать конечность числа представлений натуральных чисел неприводимыми бинарными формами степени выше 2.

Иван Виноградов с помощью развитого им метода тригонометрических сумм доказал одну из двух проблем Гольдбаха, поставленную в XVIII веке: все нечетные числа, начиная с некоторого, могут быть представлены в виде суммы трёх простых чисел.

В 1970 году Юрий Матиясевич доказал алгоритмическую неразрешимость проблемы нахождения произвольных алгебраических диофантовых уравнений, решив Десятую проблему Гильберта.

↑рПЮМЯЖЕМДЕМРМШЕ ВХЯКЮ

рПЮМЯЖЕМДЕМРМШЕ ВХЯКЮ — ПЮГДЕК РЕНПХХ ВХЯЕК, Б ЙНРНПНЛ ХЯЯКЕДСЧРЯЪ БНОПНЯШ ХППЮЖХНМЮКЭМНЯРХ Х РПЮМЯЖЕМДЕМРМНЯРХ ДЕИЯРБХРЕКЭМШУ ВХЯЕК. рПЮМЯЖЕМДЕМРМШЛХ МЮГШБЮЧРЯЪ ВХЯКЮ, НРКХВМШЕ НР ЙНПМЕИ ЛМНЦНВКЕМНБ Я ЖЕКШЛХ ЙНЩТТХЖХЕМРЮЛХ, Р.Е. ВХЯКЮ, МЕ ЪБКЪЧЫХЕЯЪ ЮКЦЕАПЮХВЕЯЙХЛХ. оЕПБШЕ ОПХЛЕПШ РЮЙХУ ВХЯЕК ОНЯРПНХК Б 1844Ц. кХСБХККЭ. б 1874Ц. ц. йЮМРНП ДНЙЮГЮК, ВРН ОНВРХ БЯЕ ДЕИЯРБХРЕКЭМШЕ ВХЯКЮ РПЮМЯЖЕМДЕМРМШ. мЕЯЛНРПЪ МЮ РЮЙНИ ПЕГСКЭРЮР ДНЙЮГЮРЕКЭЯРБН РПЮМЯЖЕМДЕМРМНЯРХ ЙНМЙПЕРМШУ ВХЯЕК, ЙЮЙ ОПЮБХКН, ЩРН ЙКЮЯЯХВЕЯЙХЕ ОНЯРНЪММШЕ ХКХ ГМЮВЕМХЪ ЮМЮКХРХВЕЯЙХУ ТСМЙЖХИ, ОПЕДЯРЮБКЪЕР АНКЭЬХЕ РПСДМНЯРХ. рПЮМЯЖЕМДЕМНЯРЭ ВХЯКЮ АШКЮ ДНЙЮГЮМЮ Б 1873Ц. ь.щПЛХРНЛ, Ю РПЮМЯЖЕМДЕМРМНЯРЭ ВХЯКЮ Б 1882Ц. т.кХМДЕЛЮМНЛ. оНЯКЕДМХИ ПЕГСКЭРЮР, НГМЮВЮК МЕБНГЛНФМНЯРЭ ЙБЮДПЮРСПШ ЙПСЦЮ, Р.Е. МЕБНГЛНФМНЯРЭ ОНЯРПНЕМХЪ Я ОНЛНЫЭЧ ЖХПЙСКЪ Х КХМЕИЙХ ЙБЮДПЮРЮ, ХЛЕЧЫЕЦН РС ФЕ ОКНЫЮДЭ, ВРН Х ДЮММШИ ЙПСЦ. дНЙЮГЮМЮ РПЮМЯЖЕМДЕМРМНЯРЭ ВХЯЕК ОПХ ЮКЦЕАПЮХВЕЯЙХУ , Б ОНЯКЕДМЕЛ ЯКСВЮЕ ДНОНКМХРЕКЭМН ОПЕДОНКЮЦЮЕРЯЪ, ВРН (кХМДЕЛЮМ), ВХЯЕК БХДЮ ОПХ ЮКЦЕАПЮХВЕЯЙХУ Х ХППЮЖХНМЮКЭМШУ ВХЯЕК БХДЮОПХ ЮКЦЕАПЮХВЕЯЙХУ . рПЮМЯЖЕМДЕМРМНЯРЭ ВХЯЕК ДБСУ ОНЯКЕДМХУ РХОНБ ЯНЯРЮБКЪКЮ ЯНДЕПФЮМХЕ 7-И ОПНАКЕЛШ цХКЭАЕПРЮ Х АШКЮ ДНЙЮГЮМЮ Б 1934Ц. МЕГЮБХЯХЛН ю.н.цЕКЭТНМДНЛ Х р.ьМЕИДЕПНЛ. дНЙЮГЮМН, ВРН ЖЕКШЕ НАНАЫЕММШЕ ЦХОЕПЦЕНЛЕРПХВЕЯЙХЕ ТСМЙЖХХ Я ПЮЖХНМЮКЭМШЛХ ОЮПЮЛЕРПЮЛХ ОПХМХЛЮЧР РПЮМЯЖЕМДЕМРМШЕ ГМЮВЕМХЪ Б ЮКЦЕАПЮХВЕЯЙХУ РНВЙЮУ, НРКХВМШУ НР МСКЪ (1956, ю.а. ьХДКНБЯЙХИ). лШ НОСЯЙЮЕЛ ПЪД ДПСЦХУ ПЕГСКЭРЮРНБ ЩРНИ НАКЮЯРХ. дН ЯХУ ОНП МЕ СЯРЮМНБКЕМШ ХППЮЖХНМЮКЭМНЯРЭ ВХЯКЮ , щИКЕПНБНИ ОНЯРНЪММНИ, ХППЮЖХНМЮКЭМНЯРЭ ГМЮВЕМХИ ДГЕРЮ-ТСМЙЖХХ Б ЖЕКШУ МЕВЕРМШУ РНВЙЮУ, ГЮ ХЯЙКЧВЕМХЕЛ (п. юОЕПХ, 1978), ЛМНЦХУ ДПСЦХУ ВХЯЕК.

мХФМХЕ НЖЕМЙХ КХМЕИМШУ ТНПЛ НР КНЦЮПХТЛНБ ЮКЦЕАПЮХВЕЯЙХУ ВХЯЕК, ДНЙЮГЮММШЕ ЯПЕДЯРБЮЛХ РЕНПХХ РПЮМЯЖЕМДЕМРМШУ ВХЯЕК (ю. аЕИЙЕП, 1967Ц.), ХЦПЮЧР БЮФМСЧ ПНКЭ ОПХ МЮУНФДЕМХХ ПЕЬЕМХИ ЛМНЦХУ ДХНТЮМРНБШУ СПЮБМЕМХИ.

юПХТЛЕРХВЕЯЙХЕ ХЯЯКЕДНБЮМХЪ ОНЯКСФХКХ АЮГНИ ДКЪ ЯНГДЮМХЪ ПЪДЮ ПЮГДЕКНБ ЛЮРЕЛЮРХЙХ Х Б РН ФЕ БПЕЛЪ РЕНПХЪ ВХЯЕК ХЯОНКЭГСЕР ЮМЮКХРХВЕЯЙХЕ, ЮКЦЕАПЮХВЕЯЙХЕ, ЦЕНЛЕРПХВЕЯЙХЕ Х ЛМНЦХЕ ДПСЦХЕ ЛЕРНДШ ДКЪ ПЕЬЕМХЪ РЕНПЕРХЙН-ВХЯКНБШУ ОПНАКЕЛ, ПЪД ХГ ЙНРНПШУ ФДЮК Х ФДЕР ЯБНЕЦН ПЕЬЕМХЪ ЯРНКЕРХЪЛХ. б ОНОШРЙЮУ ДНЙЮГЮРЕКЭЯРБЮ БЯЕ ЕЫЕ НРЙПШРНИ ЦХОНРЕГШ пХЛЮМЮ Н МСКЪУ ДГЕРЮ-ТСМЙЖХХ ХЯОНКЭГНБЮКХЯЭ ЛЕРНДШ, ПЮГБХРШЕ Б РЕНПХХ ДХТТЕПЕМЖХЮКЭМШУ СПЮБМЕМХИ, РЕНПХХ ТСМЙЖХИ ЙНЛОКЕЙЯМНЦН ОЕПЕЛЕММНЦН, ТСМЙЖХНМЮКЭМНЛ ЮМЮКХГЕ. ю ДНЙЮГЮРЕКЭЯРБН ЮЯХЛОРНРХВЕЯЙНЦН ГЮЙНМЮ Н ПЮЯОПЕДЕКЕМХХ ОПНЯРШУ ВХЯЕК БОЕПБШЕ АШКН ОНКСВЕМН ЛЕРНДЮЛХ ЙНЛОКЕЙЯМНЦН ЮМЮКХГЮ. оНОШРЙХ ПЕЬЕМХЪ ОПНАКЕЛШ тЕПЛЮ, ОПНАКЕЛ ПЮЯОПЕДЕКЕМХЪ ОПНЯРШУ ВХЯЕК ЯРХЛСКХПНБЮКХ ПЮГБХРХЕ ПЪДЮ ПЮГДЕКНБ ЮКЦЕАПШ.

рЕНПХЪ ВХЯЕК, АЕГСЯКНБМН, НРМНЯХРЯЪ Й ТСМДЮЛЕМРЮКЭМШЛ ПЮГДЕКЮЛ ЛЮРЕЛЮРХЙХ. бЛЕЯРЕ Я РЕЛ ПЪД ЕЕ ГЮДЮВ ХЛЕЕР ЯЮЛНЕ МЕОНЯПЕДЯРБЕММНЕ НРМНЬЕМХЕ Й ОПЮЙРХВЕЯЙНИ ДЕЪРЕКЭМНЯРХ. рЮЙ, МЮОПХЛЕП, АКЮЦНДЮПЪ Б ОЕПБСЧ НВЕПЕДЭ ГЮОПНЯЮЛ ЙПХОРНЦПЮТХХ Х ЬХПНЙНЛС ПЮЯОПНЯРПЮМЕМХЧ щбл, ХЯЯКЕДНБЮМХЪ ЮКЦНПХРЛХВЕЯЙХУ БНОПНЯНБ РЕНПХХ ВХЯЕК ОЕПЕФХБЮЧР Б МЮЯРНЪЫЕЕ БПЕЛЪ ОЕПХНД АСПМНЦН Х БЕЯЭЛЮ ОКНДНРБНПМНЦН ПЮГБХРХЪ. йПХОРНЦПЮТХВЕЯЙХЕ ОНРПЕАМНЯРХ ЯРХЛСКХПНБЮКХ ХЯЯКЕДНБЮМХЪ ЙКЮЯЯХВЕЯЙХУ ГЮДЮВ РЕНПХХ ВХЯЕК, Б ПЪДЕ ЯКСВЮЕБ ОПХБЕКХ Й ХУ ПЕЬЕМХЧ, Ю РЮЙФЕ ЯРЮКХ ХЯРНВМХЙНЛ ОНЯРЮМНБЙХ МНБШУ ТСМДЮЛЕМРЮКЭМШУ ОПНАКЕЛ.

рПЮДХЖХХ ХЯЯКЕДНБЮМХЪ ОПНАКЕЛ РЕНПХХ ВХЯЕК Б пНЯЯХХ ХДСР, БЕПНЪРМН, НР щИКЕПЮ (1707-1783), ЙНРНПШИ ОПНФХК ГДЕЯЭ Б НАЫЕИ ЯКНФМНЯРХ 30 КЕР Х ЛМНЦНЕ ЯДЕКЮК ДКЪ ПЮГБХРХЪ МЮСЙХ. оНД БКХЪМХЕЛ ЕЦН РПСДНБ ЯКНФХКНЯЭ РБНПВЕЯРБН о.к.~вЕАШЬЕБЮ (1821-1894), БШДЮЧЫЕЦНЯЪ СВЕМНЦН Х РЮКЮМРКХБНЦН ОЕДЮЦНЦЮ, ХГДЮБЬЕЦН БЛЕЯРЕ Я б.ъ.~аСМЪЙНБЯЙХЛ (1804-1889) ЮПХТЛЕРХВЕЯЙХЕ ЯНВХМЕМХЪ щИКЕПЮ. о.к.~вЕАШЬЕБ ЯНГДЮК оЕРЕПАСПЦЯЙСЧ ЬЙНКС РЕНПХХ ВХЯЕК, ОПЕДЯРЮБХРЕКЪЛХ ЙНРНПНИ ЪБКЪКХЯЭ ю.м. йНПЙХМ (1837-1908), е.х.~гНКНРЮПЕБ (1847-1878) Х ю.ю.~ лЮПЙНБ (1856-1922). ц.т.~бНПНМНИ (1868-1908), СВХБЬХИЯЪ Б оЕРЕПАСПЦЕ С ю.ю.лЮПЙНБЮ Х ч.б.яНУНЖЙНЦН (1842-1927), НЯМНБЮК ЬЙНКС РЕНПХХ ВХЯЕК Б бЮПЬЮБЕ. хГ МЕЕ БШЬЕК ПЪД ГЮЛЕВЮРЕКЭМШУ ЯОЕЖХЮКХЯРНБ ОН РЕНПХХ ВХЯЕК Х, Б ВЮЯРМНЯРХ, б.яЕПОХМЯЙХИ (1842-1927). дПСЦНИ БНЯОХРЮММХЙ оЕРЕПАСПЦЯЙНЦН сМХБЕПЯХРЕРЮ д.ю.цПЮБЕ (1863-1939) ЛМНЦНЕ ЯДЕКЮК ДКЪ ОПЕОНДЮБЮМХЪ РЕНПХХ ВХЯЕК Х ЮКЦЕАПШ Б йХЕБЯЙНЛ сМХБЕПЯХРЕРЕ. еЦН СВЕМХЙЮЛХ АШКХ н.ч. ьЛХДР (1891-1956), м.ц. вЕАНРЮПЕБ (1894-1947), а.м.дЕКНМЕ (1890-1980). рЕНПЕРХЙН-ВХЯКНБШЕ ХЯЯКЕДНБЮМХЪ ОПНБНДХКХЯЭ РЮЙФЕ Б сМХБЕПЯХРЕРЮУ лНЯЙБШ, йЮГЮМХ, нДЕЯЯШ.

Школьная арифметика

Арифметика (греч. arithmetika, от arithmys — число) [«числительница» — у М.Ломоносова], — наука о числах, в первую очередь о натуральных (целых положительных) числах и (рациональных) дробях, и действиях над ними. Владение достаточно развитым понятием натурального числа и умение производить действия с числами необходимы для практической и культурной деятельности человека. Поэтому арифметика является элементом дошкольного воспитания детей и обязательным предметом школьной программы. С помощью натуральных чисел конструируются многие математические понятия (например, основное понятие математического анализа — действительное число). В связи с этим арифметика является одной из основных математических наук. Когда делается упор на логический анализ понятия числа, то иногда употребляют термин теоретическая арифметика. Арифметика тесно связана с алгеброй, в которой, в частности, изучаются действия над числами без учёта их индивидуальных свойств. Индивидуальные свойства целых чисел составляют предмет теории чисел. Существенную роль в образовании понятия бесконечного натурального ряда чисел сыграл «Псаммит» Архимеда (3 в. до н. э.), в котором доказывается возможность именовать и обозначать сколь угодно большие числа. Сочинения Архимеда свидетельствуют о довольно высоком искусстве в получении приближённых значений искомых величин: извлечение корня из многозначных чисел, нахождение рациональных приближений для иррациональных чисел, например: [также хорошее приближение: 22/7] … Впервые (в 1427 г.) подробно описал систему десятичных дробей и правила действий над ними аль-Каши. Запись десятичных дробей, по существу совпадающая с современной, встречается в сочинениях С. Стевина в 1585 г. и с этого времени получает повсеместное распространение. К той же эпохе относится изобретение логарифмов в начале 17 в. Дж. Непером. В начале 18 в. приёмы выполнения и записи вычислений приобретают современную форму… (Большая советская энциклопедия)

Алгоритм Евклида

Осталось придумать, как искать НОД и НОК. Понятно, что их можно искать перебором, но мы хотим хороший быстрый способ.

Давайте для начала научимся искать \(НОД(a, b)\).

Мы можем воспользоваться следующим равенством: \

Оно доказывается очень просто: надо заметить, что множества общих делителей у пар \((a, b)\) и \((a, b — a)\) совпадают. Почему? Потому что если \(a\) и \(b\) делятся на \(x\), то и \(b-a\) делится на \(x\). И наоборот, если \(a\) и \(b-a\) делятся на \(x\), то и \(b\) делится на \(x\). Раз множства общих делитей совпадают, то и максимальный делитель совпадает.

Из этого равенства сразу следует следующее равенство: \

(так как \(НОД(a, b) = НОД(a, b — a) = НОД(a, b — 2a) = НОД(a, b — 3a) = \ldots = НОД(a, b \operatorname{\%} a)\))

Это равенство дает идею следующего рекурсивного алгоритма:

\

Например: \ \ \ \ \ \

Примените алгоритм Евклида и найдите НОД чисел: * 1 и 500000 * 10, 20 * 18, 60 * 55, 34 * 100, 250

По-английски наибольший общий делитель — greatest common divisor. Поэтому вместо НОД будем в коде писать gcd.

Вообще, в C++ такая функция уже есть в компиляторе — называется . Если у вас не Visual Studio, то, скорее всего, у вас . Вообще, там много всего интересного.

А за сколько оно вообще работает?

Докажите, что алгоритм Евклида для чисел \(N\), \(M\) работает за \(O(\log(N+M))\).

Кстати, интересный факт: самыми плохими входными данными для алгоритма Евклида являются числа Фибоначчи. Именно там и достигается логарифм.

Как выразить НОК через НОД

По этой формуле можно легко найти НОК двух чисел через их произведение и НОД. Почему она верна?

Посмотрим на разложения на простые множители чисел a, b, НОК(a, b), НОД(a, b).

\ \ \

Из определений НОД и НОК следует, что их факторизации выглядят так: \ \

Тогда посчитаем \(НОД(a, b) \times НОК(a, b)\): \ \

Формула доказана.

Как посчитать НОД/НОК от более чем 2 чисел

Для того, чтобы искать НОД или НОК у более чем двух чисел, достаточно считать их по цепочке:

Почему это верно?

Ну просто множество общих делителей \(a\) и \(b\) совпадает с множеством делителей \(НОД(a, b)\). Из этого следует, что и множество общих делителей \(a\), \(b\) и еще каких-то чисел совпадает с множеством общих делителей \(НОД(a, b)\) и этих же чисел. И раз совпадают множества общих делителей, то и наибольший из них совпадает.

С НОК то же самое, только фразу “множество общих делителей” надо заменить на “множество общих кратных”.

↑дХНТЮМРНБШ СПЮБМЕМХЪ

бНОПНЯ Н ЖЕКНВХЯКЕММШУ ПЕЬЕМХЪУ ПЮГКХВМНЦН БХДЮ СПЮБМЕМХИ РЮЙФЕ БНЯУНДХР Й ДПЕБМНЯРХ. оПНЯРЕИЬХЛ СПЮБМЕМХЕЛ Б ЖЕКШУ ВХЯКЮУ ЪБКЪЕРЯЪ КХМЕИМНЕ СПЮБМЕМХЕ ax+by=c (НРМНЯХРЕКЭМН МЕХГБЕЯРМШУ x, y), ЦДЕ a, b Х c — ЖЕКШЕ ВХЯКЮ, ОПХВ╦Л a Х b БГЮХЛМН ОПНЯРШ (РН ЕЯРЭ МЕ ХЛЕЧР НАЫХУ МЮРСПЮКЭМШУ ДЕКХРЕКЕИ, НРКХВМШУ НР 1). бЯЕ ПЕЬЕМХЪ РЮЙНЦН СПЮБМЕМХЪ Б ЖЕКШУ ВХЯКЮУ ЛНФМН МЮИРХ Я ОНЛНЫЭЧ ЮКЦНПХРЛЮ еБЙКХДЮ. дПСЦХЛ ОПХЛЕПНЛ ЪБКЪЕРЯЪ СПЮБМЕМХЕ . бЯЕ ЕЦН ЖЕКНВХЯКЕММШЕ ПЕЬЕМХЪ, РЮЙ МЮГШБЮЕЛШЕ «ОХТЮЦНПНБШ РПНИЙХ», БШОХЯЮМШ Б «мЮВЮКЮУ» еБЙКХДЮ. яХЯРЕЛЮРХГЮЖХХ ОПНАКЕЛ РЕНПХХ ВХЯЕК Х ЛЕРНДНБ ХУ ПЕЬЕМХЪ ОПНБЕДЕМЮ дХНТЮМРНЛ (III Б.) Б ЕЦН «юПХТЛЕРХЙЕ», ЦДЕ, Б ВЮЯРМНЯРХ, ДЮМН ПЕЬЕМХЕ Б ПЮЖХНМЮКЭМШУ ВХЯКЮУ ЛМНЦХУ ЮКЦЕАПЮХВЕЯЙХУ СПЮБМЕМХХ 1-И Х 2-И ЯРЕОЕМХ Я ЖЕКШЛХ ЙНЩТТХЖХЕМРЮЛХ НР МЕЯЙНКЭЙХУ МЕХГБЕЯРМШУ. щРЮ ЙМХЦЮ ЯШЦПЮКЮ АНКЭЬСЧ ПНКЭ Б ДЮКЭМЕИЬЕЛ ПЮГБХРХХ РНИ ВЮЯРХ РЕНПХХ ВХЯЕК, ЙНРНПЮЪ ГЮМХЛЮЕРЯЪ ПЕЬЕМХЕЛ СПЮБМЕМХИ Б ЖЕКШУ ВХЯКЮУ, МЮГШБЮЕЛШУ РЕОЕПЭ ДХНТЮМРНБШЛХ СПЮБМЕМХЪЛХ.

рЕНПХЪ ЯПЮБМЕМХИ, ЪБКЪЧЫЮЪЯЪ БЮФМШЛ ХМЯРПСЛЕМРНЛ ХЯЯКЕДНБЮМХЪ ДХНТЮМРНБШУ СПЮБМЕМХИ АШКЮ ЯХЯРЕЛЮРХВЕЯЙХ ПЮГПЮАНРЮМЮ й.т.цЮСЯЯНЛ, НРЛЕРХЛ, Б ВЮЯРМНЯРХ, ЕЦН ЙБЮДПЮРХВМШИ ГЮЙНМ БГЮХЛМНЯРХ. цЮСЯЯ ББ╦К РЮЙ МЮГШБЮЕЛШЕ ЯСЛЛШ цЮСЯЯЮ, ЙНРНПШЕ ЪБХКХЯЭ ОЕПБШЛХ ОПХЛЕПЮЛХ РПХЦНМНЛЕРПХВЕЯЙХУ ЯСЛЛ, Х ОНЙЮГЮК ХУ ОНКЕГМНЯРЭ Б ПЕЬЕМХХ ГЮДЮВ РЕНПХХ ВХЯЕК. цЮСЯЯ, Ю ГЮРЕЛ дХПХУКЕ, ОПНДНКФЮЪ ХЯЯКЕДНБЮМХЪ щИКЕПЮ, ЯНГДЮКХ РЕНПХЧ ОПЕДЯРЮБКЕМХЪ МЮРСПЮКЭМШУ ВХЯЕК ЙБЮДПЮРХВМШЛХ ТНПЛЮЛХ , ЦДЕ Ю, b, Я — ЖЕКШЕ ВХЯКЮ. х ЕЯКХ ДН цЮСЯЯЮ РЕНПХЪ ВХЯЕК ОПЕДЯРЮБКЪКЮ ЯНАНИ ЯНАПЮМХЕ НРДЕКЭМШУ ПЕГСКЭРЮРНБ Х ХДЕИ, РН ОНЯКЕ ЕЦН ПЮАНР НМЮ МЮВЮКЮ ПЮГБХБЮРЭЯЪ Б ПЮГКХВМШУ МЮОПЮБКЕМХЪУ ЙЮЙ ЯРПНИМЮЪ РЕНПХЪ.

б ОНОШРЙЮУ ДНЙЮГЮРЭ АНКЭЬСЧ РЕНПЕЛС тЕПЛЮ Н МЕПЮГПЕЬХЛНЯРХ Б МЮРСПЮКЭМШУ ВХЯКЮУ СПЮБМЕМХЪ щ.щ. йСЛЛЕП ОПХЬ╦К Й МЕНАУНДХЛНЯРХ ПЮЯОПНЯРПЮМЕМХЪ ОНМЪРХЪ ДЕКХЛНЯРХ МЮ АНКЕЕ ЬХПНЙХЕ ЛМНФЕЯРБЮ, ВЕЛ ЛМНФЕЯРБН ЖЕКШУ ВХЯЕК. еЛС СДЮКНЯЭ ДНЙЮГЮРЭ МЕПЮГПЕЬХЛНЯРЭ СПЮБМЕМХЪ ДКЪ ЛМНЦХУ ЙНМЙПЕРМШУ ГМЮВЕМХИ n. х УНРЪ МЮ ЩРНЛ ОСРХ МЕ СДЮКНЯЭ ОНКСВХРЭ ОНКМНЕ ПЕЬЕМХЕ ОПНАКЕЛШ (РЕНПЕЛЮ АШКЮ НЙНМВЮРЕКЭМН ДНЙЮГЮМЮ КХЬЭ Б 1994Ц. щ. сЮИКЯНЛ Я ОНЛНЫЭЧ ЯНБЕПЬЕММН ДПСЦХУ ЛЕРНДНБ), ПЮАНРШ йСЛЛЕПЮ ОНЯКСФХКХ ХЯРНВМХЙНЛ МНБНЦН АНКЭЬНЦН ПЮГДЕКЮ ЛЮРЕЛЮРХЙХ — РЕНПХХ ЮКЦЕАПЮХВЕЯЙХУ ВХЯЕК. щРЮ РЕНПХЪ Х Б МЮЯРНЪЫЕЕ БПЕЛЪ ОПХМНЯХР ОКНДШ Б НАКЮЯРХ ДХНТЮМРНБШУ СПЮБМЕМХИ. нРЛЕРХЛ ОНКСВЕММНЕ Б 2000Ц. о. лХУЮИКЕЯЙС ПЕЬЕМХЕ ОПНАКЕЛШ йЮРЮКЮМЮ Н ЯСЫЕЯРБНБЮМХХ С СПЮБМЕМХЪ ЕДХМЯРБЕММНЦН ПЕЬЕМХЪ Б ЖЕКШУ ВХЯКЮУ Ю ХЛЕММН . бНР ОПХЛЕПШ РХОХВМШУ БНОПНЯНБ, ГЮДЮБЮЕЛШУ Б ЯБЪГХ Я ХЯЯКЕДНБЮМХЪЛХ ДХНТЮМРНБШУ СПЮБМЕМХИ: ХЛЕЕР КХ ДЮММНЕ ДХНТЮМРНБН СПЮБМЕМХЕ ПЕЬЕМХЪ Б ЖЕКШУ ВХЯКЮУ; ЕЯКХ НМН ПЮГПЕЬХЛН, ЛНФМН КХ СРБЕПФДЮРЭ ВРН-КХАН Н ЛМНФЕЯРБЕ ЕЦН ПЕЬЕМХИ, МЮОПХЛЕП, ЙНМЕВМН НМН ХКХ АЕЯЙНМЕВМН; ЕЯКХ ЛМНФЕЯРБН ПЕЬЕМХИ АЕЯЙНМЕВМН, ВРН ЛНФМН ЯЙЮГЮРЭ Н ЕЦН ЯРПСЙРСПЕ; ЕЯКХ ЛМНФЕЯРБН ПЕЬЕМХИ ЙНМЕВМН, ЛНФМН КХ СЙЮГЮРЭ ЦПЮМХЖШ, Б ЙНРНПШУ МЮУНДЪРЯЪ ПЕЬЕМХЪ ХКХ ЛНФМН КХ МЮИРХ БЯЕ ПЕЬЕМХЪ ДЮММНЦН СПЮБМЕМХЪ.

йЮЙ ОПХЛЕП ГЮДЮВХ ХМНЦН ПНДЮ НРЛЕРХЛ ДНЙЮГЮММСЧ Б 1970Ц. ч.б.лЮРХЪЯЕБХВЕЛ РЕНПЕЛС НА НРЯСРЯРБХХ ЕДХМНЦН ЮКЦНПХРЛЮ, НРБЕВЮЧЫЕЦН МЮ БНОПНЯ Н ПЮГПЕЬХЛНЯРХ ДКЪ КЧАНЦН ДХНТЮМРНБЮ СПЮБМЕМХЪ (10-Ъ ОПНАКЕЛЮ цХКЭАЕПРЮ).

й ЩРНИ ФЕ НАКЮЯРХ ХЯЯКЕДНБЮМХИ НРМНЯЪРЯЪ БНОПНЯШ Н ПЮГПЕЬХЛНЯРХ Х ЯБНИЯРБЮУ ПЕЬЕМХИ СПЮБМЕМХИ Б ПЮЖХНМЮКЭМШУ ВХЯКЮУ, p-ЮДХВЕЯЙХУ ВХЯКЮУ, ЙНМЕВМШУ ОНКЪУ Х ЙНКЭЖЮУ.

Примечания

1. ↑  (англ.). Encyclopædia Britannica. Дата обращения: 6 июня 2012.
2. ↑ Математика, её содержание, методы и значение (в трёх томах). — АН СССР, 1956. — Т. 2. — С. 226—227. — 397 с.
3. ↑ , с. 3—6.
4. ↑ Чисел теория //  :  / гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : Советская энциклопедия, 1969—1978.
5. , с. 9.
6. Арифметика //  :  / гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : Советская энциклопедия, 1969—1978.
7. , с. 37-39.
8. , с. 50.
9. , с. 68-69.
10. , с. 74-76.
11. ↑  (англ.). Encyclopædia Britannica. Дата обращения: 6 июня 2012.
12. , с. 146-148.
13. , с. 194-195.
14.  (англ.). Encyclopædia Britannica. Дата обращения: 6 июня 2012.
15. ↑  (англ.). Encyclopædia Britannica. Дата обращения: 6 июня 2012.
16.  (англ.). Encyclopædia Britannica. Дата обращения: 6 июня 2012.

Быстрое возведение в степень

Задача: > Даны натуральные числа \(a, b, c < 10^9\). Найдите \(a^b\) (mod \(c\)).

Мы хотим научиться возводить число в большую степень быстро, не просто умножая \(a\) на себя \(b\) раз. Требование на модуль здесь дано только для того, чтобы иметь возможность проверить правильность алгоритма для чисел, которые не влезают в int и long long.

Сам алгоритм довольно простой и рекурсивный, постарайтесь его придумать, решая вот такие примеры (прямо решать необязательно, но можно придумать, как посчитать значение этих чисел очень быстро):

• \(3^2\)
• \(3^4\)
• \(3^8\)
• \(3^{16}\)
• \(3^{32}\)
• \(3^{33}\)
• \(3^{66}\)
• \(3^{132}\)
• \(3^{133}\)
• \(3^{266}\)
• \(3^{532}\)
• \(3^{533}\)
• \(3^{1066}\)

Да, здесь специально приведена такая последовательность, в которой каждое следующее число легко считается через предыдущее: его либо нужно умножить на \(a=3\), либо возвести в квадрат. Так и получается рекурсивный алгоритм:

• \(a^0 = 1\)
• \(a^{2k}=(a^{k})^2\)
• \(a^{2k+1}=a^{2k}\times a\)

Нужно только после каждой операции делать mod: * \(a^0 \pmod c = 1\) * \(a^{2k} \pmod c = (a^{k} \pmod c)^2 \pmod c\) * \(a^{2k+1} \pmod c = ((a^{2k}\pmod c) \times a) \pmod c\)

Этот алгоритм называется быстрое возведение в степень. Он имеет много применений: * в криптографии очень часто надо возводить число в большую степень по модулю * используется для деления по простому модулю (см. далее) * можно быстро перемножать не только числа, но еще и матрицы (используется для динамики, например)

Асимптотика этого алгоритма, очевидно, \(O(\log c)\) — за каждые две итерации число уменьшается хотя бы в 2 раза.

Решето Эратосфена

Часто нужно не проверять на простоту одно число, а найти все простые числа до \(N\). В этом случае наивный алгоритм будет работать за \(O(N\sqrt N)\), так как нужно проверить на простоту каждое число от 1 до \(N\).

Но древний грек Эратосфен предложил делать так:

Запишем ряд чисел от 1 до \(N\) и будем вычеркивать числа: * делящиеся на 2, кроме самого числа 2 * затем деляющиеся на 3, кроме самого числа 3 * затем на 5, затем на 7, и так далее и все остальные простые до n. Таким образом, все незачеркнутые числа будут простыми — «решето» оставит только их.

Найдите этим способом на бумажке все простые числа до 50, потом проверьте с программой:

У этого алгоритма можно сразу заметить несколько ускорений.

Во-первых, число \(i\) имеет смысл перебирать только до корня из \(N\), потому что при зачеркивании составных чисел, делящихся на простое \(i > \sqrt N\), мы ничего не зачеркнем. Почему? Пусть существует составное \(M \leq N\), которое делится на %i%, и мы его не зачеркнули. Но тогда \(i > \sqrt N \geq \sqrt M\), а значит по ранее нами доказанному утверждению \(M\) должно делиться и на простое число, которое меньше корня. Но это значит, что мы его уже вычеркнули.

Во-вторых, по этой же самое причине \(j\) имеет смысл перебирать только начиная с \(i^2\). Зачем вычеркивать \(2i\), \(3i\), \(4i\), …, \((i-1)i\), если они все уже вычеркнуты, так как мы уже вычеркивали всё, что делится на \(2\), \(3\), \(4\), …, \((i-1)\).

Гармонический ряд

Научимся оценивать асимптотику величины \(1 + \frac{1}{2} + \ldots + \frac{1}{N}\), которая нередко встречается в задачах, где фигурирует делимость.

Возьмем \(N\) равное \(2^i — 1\) и запишем нашу сумму следующим образом: \

Каждое из этих слагаемых имеет вид \

Таким образом, наша сумма не превосходит \(1 + 1 + \ldots + 1 = i \le 2\log_2(2^i — 1)\). Тем самым, взяв любое \(N\) и дополнив до степени двойки, мы получили асимптотику \(O(\log N)\).

Оценку снизу можно получить аналогичным образом, оценив каждое такое слагаемое снизу значением \(\frac{1}{2}\).

Попытка объяснения асимптотики** (для старших классов)

Мы знаем, что гармонический ряд \(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \ldots + \frac{1}{N}\) это примерно \(\log N\), а значит \

А что такое асимптотика решета Эратосфена? Мы как раз ровно \(\frac{N}{p}\) раз зачеркиваем числа делящиеся на простое число \(p\). Если бы все числа были простыми, то мы бы как раз получили \(N \log N\) из формули выше. Но у нас будут не все слагаемые оттуда, только с простым \(p\), поэтому посмотрим чуть более точно.

Известно, что простых чисел до \(N\) примерно \(\frac{N}{\log N}\), а значит допустим, что k-ое простое число примерно равно \(k ln k\). Тогда

\

Но вообще-то решето можно сделать и линейным.

Деление по модулю*

Давайте все-таки научимся не только умножать, но и делить по простому модулю. Вот только что это значит?

\(a / b\) = \(a \times b^{-1}\), где \(b^{-1}\) — это обратный элемент к \(b\).

Определение: \(b^{-1}\) — это такое число, что \(bb^{-1} = 1\)

Утверждение: в кольце остатков по простому модулю \(p\) у каждого остатка (кроме 0) существует ровно один обратный элемент.

Например, обратный к \(2\) по модулю \(5\) это \(3\) (\(2 \times 3 = 1 \pmod 5\)))

Задание

Найдите обратный элемент к: * числу \(3\) по модулю \(5\) * числу \(3\) по модулю \(7\) * числу \(1\) по модулю \(7\) * числу \(2\) по модулю \(3\) * числу \(9\) по модулю \(31\)

Давайте докажем это утверждение: надо заметить, что если каждый ненулевой остаток \(1, 2, \ldots, (p-1)\) умножить на ненулевой остаток \(a\), то получатся числа \(a, 2a, \ldots, (p-1)a\) — и они все разные! Они разные, потому что если \(xa = ya\), то \((x-y)a = 0\), а значит \((x — y) a\) делится на \(p\), \(a\) — ненулевой остаток, а значит \(x = y\), и это не разные числа. И из того, что все числа получились разными, это все ненулевые, и их столько же, следует, что это ровно тот же набор чисел, просто в другом порядке!

Из этого следует, что среди этих чисел есть \(1\), причем ровно один раз. А значит существует ровно один обратный элемент \(a^{-1}\). Доказательство закончено.

Это здорово, но этот обратный элемент еще хочется быстро находить. Быстрее, чем за \(O(p)\).

Есть несколько способов это сделать.

Через малую теорему Ферма

Малая теорема Ферма: > \(a^{p-1} = 1 \pmod p\), если \(p\) — простое, \(a \neq 0 \pmod p\)).

Доказательство: В предыдущем пункте мы выяснили, что множества чисел \(1, 2, \ldots, (p-1)\) и \(a, 2a, \ldots, (p-1)a\) совпадают. Из этого следует, что их произведения тоже совпадают по модулю: \((p-1)! = a^{p-1} (p-1)! \pmod p\).

\((p-1)!\neq 0 \pmod p\) а значит на него можно поделить (это мы кстати только в предыдущем пункте доказали, поделить на число — значит умножить на обратный к нему, который существует).

А значит, \(a^{p — 1} = 1 \pmod p\).

Как это применить Осталось заметить, что из малой теоремы Ферма сразу следует, что \(a^{p-2}\) — это обратный элемент к \(a\), а значит мы свели задачу к возведению \(a\) в степень \(p-2\), что благодаря быстрому возведению в степень мы умеем делать за \(O(\log p)\).

Обобщение У малой теоремы Ферма есть обобщение для составных \(p\):

Теорема Эйлера: > \(a^{\varphi(p)} = 1 \pmod p\), \(a\) — взаимно просто с \(p\), а \(\varphi(p)\) — это функция Эйлера (количество чисел, меньших \(p\) и взаимно простых с \(p\)).

Доказывается теорема очень похоже, только вместо ненулевых остатков \(1, 2, \ldots, p-1\) нужно брать остатки, взаимно простые с \(p\). Их как раз не \(p-1\), а \(\varphi(p)\).

Для нахождения обратного по этой теореме достаточно посчитать функцию Эйлера \(\varphi(p)\) и найти \(a^{-1} = a^{\varphi(p) — 1}\).

Но с этим возникают большие проблемы: посчитать функцию Эйлера сложно. Более того, на предполагаемой невозможности быстро ее посчитать построены некоторые криптографические алгоритм типа RSA. Поэтому быстро делить по составному модулю этим способом не получится.

Через расширенный алгоритм Евклида

Этим способом легко получится делить по любому модулю! Рекомендую.

Пусть мы хотим найти \(a^{-1} \pmod p\), \(a\) и \(p\) взаимно простые (а иначе обратного и не будет существовать).

Давайте найдем корни уравнения

\

Они есть и находятся расширенным алгоритмом Евклида за \(O(\log p)\), так как \(НОД(a, p) = 1\), ведь они взаимно простые.

Тогда если взять остаток по модулю \(p\):

\

А значит, найденный \(x\) и будет обратным элементом к \(a\).

То есть надо просто найти \(x\) из решения того уравнения по модулю \(p\). Можно брать по модулю прямо походу решения уравнения, чтобы случайно не переполниться.

↑хЯЯКЕДНБЮМХЪ ЯБНИЯРБ ОПНЯРШУ ВХЯЕК

яПЕДХ МЮРСПЮКЭМШУ ВХЯЕК БШДЕКЪЧРЯЪ РЮЙ МЮГШБЮЕЛШЕ ОПНЯРШЕ ВХЯКЮ, Р.Е. ВХЯКЮ, ЙНРНПШЕ МЕБНГЛНФМН ОПЕДЯРЮБХРЭ Б БХДЕ ОПНХГБЕДЕМХЪ ЛЕМЭЬХУ МЮРСПЮКЭМШУ ЯНЛМНФХРЕКЕИ. лМНФЕЯРБН ХУ АЕЯЙНМЕВМН (еБЙКХД). бЮФМШИ БНОПНЯ РЕНПХХ ПЮЯОПЕДЕКЕМХЪ ОПНЯРШУ ВХЯЕК ЯБЪГЮМ Я ХГСВЕМХЕЛ ЯЙНПНЯРХ ПНЯРЮ ТСМЙЖХХ π(x), ПЮБМНИ ЙНКХВЕЯРБС ОПНЯРШУ ВХЯЕК, МЕ ОПЕБНЯУНДЪЫХУ ВХЯКЮ x. рЕНПЕЛЮ еБЙКХДЮ СРБЕПФДЮЕР, ВРН ЩРЮ ТСМЙЖХЪ ЯРПЕЛХРЯЪ Й АЕЯЙНМЕВМНЯРХ ОПХ МЕНЦПЮМХВЕММНЛ БНГПЮЯРЮМХХ x, НДМЮЙН МХВЕЦН МЕ ЦНБНПХР Н ЯЙНПНЯРХ ЯРПЕЛКЕМХЪ. нЯМНБШБЮЪЯЭ МЮ ВХЯКЕММШУ БШВХЯКЕМХЪУ, кЕФЮМДП ОПЕДОНКНФХК, ВРН ОПХ АНКЭЬХУ x ТСМЙЖХЪ π(x) ОПХАКХФ╦ММН ПЮБМЮ x/(lnx-B), ЦДЕ lnx — МЮРСПЮКЭМШИ КНЦЮПХТЛ, Ю B=1.08… — МЕЙНРНПЮЪ ОНЯРНЪММЮЪ (ЯЕЦНДМЪ ХГБЕЯРМН, ВРН МЮХАНКЭЬЮЪ РНВМНЯРЭ ОПХАКХФЕМХЪ ДНЯРХЦЮЕРЯЪ ДКЪ ОНЯРНЪММНИ B=1). оЕПБШЛ, ЙНЛС СДЮКНЯЭ ОПНДБХМСРЯЪ Б ПЕЬЕМХХ ЩРНИ ГЮДЮВХ, АШК о.к. вЕАШЬЕБ. нМ ОНЙЮГЮК, ВРН ДКЪ МЕЙНРНПШУ ОНКНФХРЕКЭМШУ ОНЯРНЪММШУ a Х b ОПХ БЯЕУ x≥2 ЯОПЮБЕДКХБШ МЕПЮБЕМЯРБЮ ax/lnx<π(x)<bx/lnx. йПНЛЕ РНЦН, вЕАШЬЕБ ДНЙЮГЮК, ВРН ЕЯКХ ОПЕДЕК НРМНЬЕМХЪ π(x)/(x/lnx) ЯСЫЕЯРБСЕР, РН НМ ПЮБЕМ 1. нДМЮЙН ЯСЫЕЯРБНБЮМХЕ ОПЕДЕКЮ вЕАШЬЕБС ДНЙЮГЮРЭ МЕ СДЮКНЯЭ. хГ ЕЦН ПЕГСКЭРЮРНБ ЯКЕДСЕР, ВРН ДКЪ МЕЙНРНПНИ ОНЯРНЪММНИ c>1 Х КЧАНЦН x≥2 ЛЕФДС x Х cx БЯЕЦДЮ МЮИД╦РЯЪ ОПНЯРНЕ ВХЯКН. дКЪ c=2 ЩРН СРБЕПФДЕМХЕ ХГБЕЯРМН ЙЮЙ «ОНЯРСКЮР аЕПРПЮМЮ». вЕАШЬЕБ МЕ РНКЭЙН ДНЙЮГЮК ЕЦН, МН Х СРНВМХК, СЛЕМЭЬХБ ОНЯРНЪММСЧ c.

дПСЦНИ ОНДУНД Й ХЯЯКЕДНБЮМХЪЛ ЯЙНПНЯРХ ПНЯРЮ ТСМЙЖХХ π(x), АШК ОПЕДКНФЕМ ц.т.а. пХЛЮМНЛ Х АШК НЯМНБЮМ МЮ ХГСВЕМХХ ЮМЮКХРХВЕЯЙХУ ЯБНИЯРБ ББЕД╦ММНИ щИКЕПНЛ ТСМЙЖХХ ζ(s), ЙНРНПЮЪ БОНЯКЕДЯРБХХ ОНКСВХКЮ МЮГБЮМХЕ «ДГЕРЮ-ТСМЙЖХХ пХЛЮМЮ». мЮ ЩРНЛ ОСРХ Б 1896 Ц. ь.ф. бЮККЕ оСЯЯЕМ Х ф. юДЮЛЮП МЕГЮБХЯХЛН ДНЙЮГЮКХ ЮЯХЛОРНРХВЕЯЙХИ ГЮЙНМ ПЮЯОПЕДЕКЕМХЪ ОПНЯРШУ ВХЯЕК СРБЕПФДЮЧЫХИ, ВРН ХУ ЙНКХВЕЯРБН Б ОПЕДЕКЮУ НР 1 ДН ГЮДЮММНЦН ВХЯКЮ x ЮЯХЛОРНРХВЕЯЙХ ОПХ x ЯРПЕЛЪЫЕЛЯЪ Й АЕЯЙНМЕВМНЯРХ ПЮБМН. бНОПНЯШ ПЮЯОПЕДЕКЕМХЪ ОПНЯРШУ ВХЯЕК Б ПЮГКХВМШУ ВХЯКНБШУ ОНЯКЕДНБЮРЕКЭМНЯРЪУ, МЮОПХЛЕП, ЯПЕДХ ГМЮВЕМХИ ТХЙЯХПНБЮММНЦН ЛМНЦНВКЕМЮ ЯНЯРЮБКЪЧР НДМС ХГ ОПНАКЕЛ ЩРНЦН ПЮГДЕКЮ РЕНПХХ ВХЯЕК. дКЪ ЛМНЦНВКЕМНБ ОЕПБНИ ЯРЕОЕМХ НМЮ АШКЮ ПЕЬЕМЮ Б ЯЕПЕДХМЕ XIX БЕЙЮ ц.о. кЕФЕМ дХПХУКЕ. рЕНПЕЛШ Н АЕЯЙНМЕВМНЯРХ ЙНКХВЕЯРБЮ ОПНЯРШУ ВХЯЕК Б ЮПХТЛЕРХВЕЯЙХУ ОПНЦПЕЯЯХЪУ ВЮЯРМНЦН БХДЮ, РЮЙХУ, ЙЮЙ 4n±1, 6n±1, АШКХ ХГБЕЯРМШ Х ДН МЕЦН, НДМЮЙН РНКЭЙН дХПХУКЕ СДЮКНЯЭ ДНЙЮГЮРЭ НАЫСЧ РЕНПЕЛС Н АЕЯЙНМЕВМНЯРХ ВХЯКЮ ОПНЯРШУ ВХЯЕК Б КЧАНИ ОПНЦПЕЯЯХХ БХДЮ an+b, n=0, 1, 2,…, ЦДЕ ПЮГМНЯРЭ ОПНЦПЕЯЯХХ a Х Е╦ ОЕПБШИ ВКЕМ b БГЮХЛМН ОПНЯРШ. дКЪ ДНЙЮГЮРЕКЭЯРБЮ НМ ББ╦К РЮЙ МЮГШБЮЕЛШЕ УЮПЮЙРЕПШ Х ПЪДШ дХПХУКЕ, ЙНРНПШЕ ХЦПЮЧР БЮФМСЧ ПНКЭ, ЙЮЙ Б ЯЮЛНИ РЕНПХХ ВХЯЕК, РЮЙ Х Б ДПСЦХУ ПЮГДЕКЮУ ЛЮРЕЛЮРХЙХ, Ю ПЪДШ дХПХУКЕ ЯНЯРЮБКЪЧР АНКЭЬСЧ ЦКЮБС Б ЯНБПЕЛЕММНИ РЕНПХХ ТСМЙЖХИ. б МЮЯРНЪЫЕЕ БПЕЛЪ МЕ ХГБЕЯРМШ ПЕГСКЭРЮРШ, ОНДНАМШЕ РЕНПЕЛЕ дХПХУКЕ ДКЪ ЛМНЦНВКЕМНБ ЯРЕОЕМХ АНКЭЬЕИ 1. хГБЕЯРМЮЪ ОПНАКЕЛЮ: ДНЙЮГЮРЭ АЕЯЙНМЕВМНЯРЭ ЛМНФЕЯРБЮ ОПНЯРШУ ВХЯЕК Б ОНЯКЕДНБЮРЕКЭМНЯРХ

хЯЯКЕДНБЮМХЕ ПЮЯЯРНЪМХИ ЛЕФДС ЯНЯЕДМХЛХ ОПНЯРШЛХ ВХЯКЮЛХ Б МЮРСПЮКЭМНЛ ПЪДС ЯНЯРЮБКЪЕР ДПСЦНИ ЙПСЦ ОПНАКЕЛ ЩРНЦН МЮОПЮБКЕМХЪ. яПЕДХ МЕПЕЬЕММШУ ГЮДЮВ НРЛЕРХЛ, МЮОПХЛЕП, СРБЕПФДЕМХЕ Н АЕЯЙНМЕВМНЯРХ ЛМНФЕЯРБЮ ОЮП ОПНЯРШУ ВХЯЕК p, q Я СЯКНБХЕЛ p-q=2, РЮЙ МЮГШБЮЕЛСЧ «ОПНАКЕЛС АКХГМЕЖНБ».