Значение чисел

Виды чисел

Натуральные – все положительные числа, которые мы используем для счета (2, 19, 56, 478, 2048 и т.д.). Ноль не является натуральным числом.
Простые – натуральные числа, которые без остатка делятся только на единицу и само себя: 2, 3, 5, 7, 11 и т.д.
Составные – числа, которые имеют три и более делителя.
Целые – это положительные (больше нуля) и отрицательные (меньше нуля) числа, которые не имеют дробной части.
Четные – целые числа, которые без остатка делятся на два: 2, 4, 6, 8, 10, 12 и т.д.
Нечетные – целые числа, которые не делятся без остатка на два: 15, 21, 37, 41 и т.д.
Вещественные – рациональные и иррациональные числа.
Рациональные – числа, которые можно представить в виде обыкновенной дроби.
Иррациональные – бесконечные непериодические десятичные дроби, которые нельзя представить в виде обыкновенных.

Это числа, которые используются при счете: 1, 2, 3… и т.д.

Натуральные числа принято обозначать символом N.

Целые числа. Положительные и отрицательные числа

Два числа отличающиеся друг от друга только знаком, называются противоположными, например, +1 и -1, +5 и -5. Знак «+» обычно не пишут, но предполагают, что перед числом стоит «+». Такие числа называются положительными. Числа, перед которыми стоит знак «-«, называются отрицательными.

Натуральные числа, противоположные им и ноль называют целыми числами. Множество целых чисел обозначают символом Z.

Рациональные числа

Это конечные дроби и бесконечные периодические дроби.

Множество рациональных чисел обозначается Q. Все целые числа являются рациональными.

Действительные числа

Множество всех рациональных и всех иррациональных чисел называется множеством действительных (вещественных) чисел.

Комплексные числа

Комплексные числа– числа, являющиеся расширением множества действительных чисел. Они могут быть записаны в виде z = x + iy, где i — т. н. мнимая единица, для которой выполняется равенство i2 = -1. Комплексные числа используются при решении задач электротехники, гидродинамики, картографии, квантовой механики, теории колебаний, теории хаоса, теории упругости и многих других. Комплексные числа подразделяются на алгебраические и трансцендентные.

При этом каждое действительное трансцендентное является иррациональным, а каждое рациональное число — действительным алгебраическим. Более общими (но всё ещё счётными) классами чисел, чем алгебраические, являются периоды, вычислимые и арифметические числа (где каждый последующий класс шире, чем предыдущий).

Т. е. множество натуральных чисел входит во множество целых чисел. Множество целых чисел входит во множество рациональных чисел. Множество рациональных чисел входит во множество действительных чисел. А множество действительных чисел входит во множество комплексных чисел.

Это высказывание можно проиллюстрировать с помощью кругов Эйлера:

Обобщения чисел

Кватернионы представляющие собой разновидность гиперкомплексных чисел. Множество кватернионов обозначается . Кватернионы в отличие от комплексных чисел не коммутативны относительно умножения.

В свою очередь октавы , являющиеся расширением кватернионов, уже теряют свойство ассоциативности.

В отличие от октав, седенионы не обладают свойством альтернативности, но сохраняют свойство степенной ассоциативности.

Для этих множеств обобщённых чисел справедливо следующее выражение:

p-адические числа можно рассматривать как элементы поля, являющегося пополнением поля рациональных чисел при помощи т. н. p-адического нормирования, аналогично тому, как поле действительных чисел определяется как его пополнение при помощи обычной абсолютной величины.

Аде́ли определяются как бесконечные последовательности {a_∞,a₂,a₃,…a_p…}, где a_∞ — любое действительное число, а a_p — p-адическое, причём все a_p, кроме, может быть, конечного их числа, являются целыми p-адическими. Складываются и умножаются адели покомпонентно и образуют кольцо. Поле рациональных чисел вкладывается в это кольцо обычным образом r→{r, r,…r,…}. Обратимые элементы этого кольца образуют группу и называются иде́лями.

Практически важным обобщением числовой системы является интервальная арифметика.

Нумерология даты рождения

Если у вас есть желание изучить детально любую личность, то стоит использовать нумерологию по дате рождения. Это не просто набор случайных цифр, а древний научный метод, благодаря которому можно ответить на самые волнующие и важные вопросы: «Что делать?», «Как Жить?», «В каком направлении развиваться?».

Число Дня рождения

Дата рождения – важный момент в судьбе каждого человека, ведь именно он определяет те таланты и способности, которыми обладаем от природы. Наверняка вы уже знаете, что Число Жизненного Пути определяет основные жизненные цели любой личности. А вот Число Жизни (число даты рождения) описывает те методы и инструменты, позволяющие реализовать то, что было предначертано свыше.

Что означает число дня рождения в нумерологии;
Архетип Таро по дате рождения;

Число жизненного пути

Благодаря числу жизненного пути можно определиться с предначертанной по судьбе дорогой. Она позволяет дать глубокий анализ вашей личности, определиться с уникальными характеристиками и описать тот кармический долг, с которым следует работать. Как рассчитывать число жизненного пути? Для этого прибавьте все цифры полной даты рождения, учитывая день, месяц и год.

Рассмотрим на примере. Вы появились на свет 1 сентября 1998 года. Тогда первая цифра 1, вторая – 9 (потому что сентябрь – 9-й месяц), а затем плюсуем год (1 + 9 + 9 + 8 = 27 = 2 + 7 = 9). Выходит, что осталось приплюсовать 1 + 9 + 9 = 19 = 10 = 1 – это ваше число жизненного пути.

Число жизненного пути;
Этапы жизненного цикла человека в нумерологии — значение чисел;
Счастливые числа в лотерее по знаку Зодиака и дате рождения;
Счастливое число по знаку Зодиака и его влияние на жизнь человека;

Мастер — числа

В нумерологии встречаются три числа, которые не нужно раскладывать, ведь они трактуются сами по себе. Это мастер-числа:

– харизматичная личность с невероятно сильной интуицией. Энергия настолько сильная, что наблюдаются даже целительские качества;
– мечтательный человек, способный реализовать свои задумки;
– духовная особа и прирожденный филантроп. Человек испытывает внутреннюю потребность помогать окружающим и думает всегда о других;

Узнать более подробную информацию о значение Мастер Чисел можно благодаря нашей статье.

Цифры в прошлых жизнях

Благодаря нумерологии удается определиться с числом жизненного пути. За счет этого можно понять, какие вы проходите кармические долги и уроки из прошлых воплощений. Их значение выглядит так:

– в прошлой жизни вам пришлось принести в жертву часть себя.

– сейчас нужно вырваться из лап материальных целей.

– в предыдущем воплощении у вас не получилось выразить себя, из-за чего сейчас склонны подавлять себя в эмоциональном плане.

– вы лишились семейных уз и в этой жизни не ощущаете нужной поддержки в рамках родственных связей.

– страдаете на эгоистичное поведение и должны совладать с этим.

– призывает научиться принимать себя на 100%, иначе никогда не сможете обрести счастье.

– в прошлой жизни обожали соперничать, а в этой должны прокачать умение сотрудничать и работать в команде.

– вы были мечтателем и оторванным от реальности, а сейчас должны столкнуться с ней лицом к лицу.

– испытывали болезненную привязанность к человеку, привычке или делу

Сейчас важно научиться придерживаться позитивного взгляда на жизнь и контролировать себя

– ранее вы не испытывали потребности в вере, а в этой жизни вынуждены часто рисковать.

– призывает вас выйти на свет, постоянно демонстрировать свои сильные стороны и раскрывать таланты.

– сильная интуиция и здравомыслие позволяют принимать верные решения. Вы мудры и в прошлых воплощениях люди не могли вами помыкать.

Кем я был в прошлой жизни — онлайн тест по дате рождения;

Геометрические фигуры и задачи

Кошка Алиса: Мур, мур! Да, я люблю рисовать различные геометрические фигуры. А ребята помнят геометрические фигуры?

Назовите все геометрические фигуры, которые видите.

Сова: Ну что скажешь, Алиса, знают ребята геометрические фигуры?

Алиса :Мур, мур, знают. А вот,помнят они, как чертить отрезки, делить их и обозначать буквами?

Сова: А ты проверь. Дай им задачу и посмотри, помнят или забыли за лето?

Алиса: Хорошо. Вот вам геометрическая задача.

Начертите в тетради отрезок АВ длиной 1 дм 2 см. Разделите его точками на три равные части. Обозначьте буквами отмеченные точки. Запишите все полученные отрезки.

Ответ : АС, СD, DB..

Комплексные числа$\mathbb{C}$

Примеры комплексных чисел:
$(1, 2), (4, 5), (-9, 7), (-3, -20), (5, 19),…$
$1 + 5i, 2 — 4i, -7 + 6i…$ где $i = \sqrt{-1}$ или $i^2 = -1$

Множество комплексных чисел представляет собой все упорядоченные пары действительных чисел, то есть $\mathbb{C}=\mathbb{R}^2=\mathbb{R}\times \mathbb{R}$, на котором операции сложения и умножения определены следующим образом:

$(a,b)+(c,d)=(a+b,c+d)$
$(a,b)\cdot (c,d)=(ac-bd,ad+bc)$

Существует несколько форм записи комплексных чисел, из которых самая распространенная имеет вид
$z=a+ib$, где $(a,b)$ — пара действительных чисел, а число $i=(0,1)$ называется мнимой единицей.

Легко показать, что $i^2=-1$. Расширение множества $\mathbb{R}$ на множество $\mathbb{C}$ позволяет определить квадратный корень из отрицательных чисел, что и послужило причиной введения множества комплексных чисел.
Также легко показать, что подмножество множества $\mathbb{C}$, заданное как $\mathbb{C}_0=\lbrace (a,0)|a\in \mathbb{R}\rbrace$, удовлетворяет всем аксиомам для действительных чисел, следовательно $\mathbb{C}_0=\mathbb{R}$, или $R\subset\mathbb{C}$.

Алгебраическая структура множества $\mathbb{C}$ относительно операций сложения и умножения имеет следующие свойства:
1. коммутативность сложения и умножения
2. ассоциативность сложения и умножения
3. $0+i0$ — нейтральный элемент для сложения
4. $1+i0$ — нейтральный элемент для умножения
5. умножение дистрибутивно по отношению к сложению
6. существует единственный обратный элемент как для сложения, так и для умножения.

Разложение на простые множители

Любое натуральное число можно разложить на произведение простых, и с такой записью очень легко работать при решении задач. Разложение на простые множители еще называют факторизацией.

\ \ \

Рассмотрим, например, такую задачу:

Условие: Нужно разбить $N$ людей на группы равного размера. Нам интересно, какие размеры это могут быть.

Решение: По сути нас просят найти число делителей $N$. Нужно посмотреть на разложение числа $N$ на простые множители, в общем виде оно выглядит так:

Теперь подумаем над этим выражением с точки зрения комбинаторики. Чтобы «сгенерировать» какой-нибудь делитель, нужно подставить в степень $i$-го простого число от 0 до $a_i$ (то есть $a_i+1$ различное значение), и так для каждого. То есть делитель $N$ выглядит ровно так: \ Значит, ответом будет произведение $(a_1+1) \times (a_2+1) \times \ldots \times (a_k + 1)$.

Алгоритм разложения на простые множители

Применяя алгоритм проверки числа на простоту, мы умеем легко находить минимальный простой делитель числа N. Ясно, что как только мы нашли простой делитель числа $N$, мы можем число $N$ на него поделить и продолжить искать новый минимальный простой делитель.

Будем перебирать простой делитель от $2$ до корня из $N$ (как и раньше), но в случае, если $N$ делится на этот делитель, будем просто на него делить. Причем, возможно, нам понадобится делить несколько раз ($N$ может делиться на большую степень этого простого делителя). Так мы будем набирать простые делители и остановимся в тот момент, когда $N$ стало либо $1$, либо простым (и мы остановились, так как дошли до корня из него). Во втором случае надо еще само $N$ добавить в ответ.

Напишем алгоритм факторизации:

За сколько работает этот алгоритм?

Решение

За те же самые $O(\sqrt{N})$. Итераций цикла while с перебором делителя будет не больше, чем $\sqrt{N}$. Причем ровно $\sqrt{N}$ операций будет только в том случае, если $N$ — простое.

А итераций деления $N$ на делители будет столько, сколько всего простых чисел в факторизации числа $N$. Понятно, что это не больше, чем $O(\log{N})$.

Разные свойства простых чисел*

Вообще, про простые числа известно много свойств, но почти все из них очень трудно доказать. Вот еще некоторые из них:

Простых чисел, меньших $N$, примерно $\frac{N}{\ln N}$.
N-ое простое число равно примерно $N\ln N$.
Простые числа распределены более-менее равномерно. Например, если вам нужно найти какое-то простое число в промежутке, то можно их просто перебрать и проверить — через несколько сотен какое-нибудь найдется.
Для любого $N \ge 2$ на интервале $(N, 2N)$ всегда найдется простое число (Постулат Бертрана)
Впрочем, существуют сколь угодно длинные отрезки, на которых простых чисел нет. Самый простой способ такой построить — это начать с $N! + 2$.
Есть алгоритмы, проверяющие число на простоту намного быстрее, чем за корень.
Максимальное число делителей равно примерно $O(\sqrt{n})$. Это не математический результат, а чисто эмпирический — не пишите его в асимптотиках.
Максимальное число делителей у числа на отрезке  — 128
Максимальное число делителей у числа на отрекзке  — 1344
Максимальное число делителей у числа на отрезке  — 103680
Наука умеет факторизовать числа за $O(\sqrt{n})$, но об этом как-нибудь в другой раз.
Любое число больше трёх можно представить в виде суммы двух простых (гипотеза Гольдбаха), но это не доказано.

Количественный смысл натуральных чисел

Натуральные числа используются для чего-то, что можно посчитать или пронумеровать. Например, мы можем посчитать, сколько ножек у стола, сколько учеников в классе или даже сколько орешков в пачке.

А ещё мы можем пронумеровать автобусные маршруты, билеты на спектакль или спортивные разряды.

Сколько человек в классе? 25. Это значит, что именно столько человек должны присутствовать на уроке (если, конечно, никто не болеет).

Какой номер маршрута у автобуса? 17-й. Это значит, что в городе есть ещё как минимум шестнадцать разных маршрутов, по которым ходят автобусы.

Натуральные числа здесь выступают как средство для нумерации. Именно в этом заключается их количественный смысл — обозначать количество того, что можно посчитать.

Представление чисел в памяти компьютера

подробнее см. Прямой код, Дополнительный код (представление числа), Число с плавающей запятой

Для представления натурального числа в памяти компьютера, оно обычно переводится в двоичную систему счисления. Для представления отрицательных чисел часто используется дополнительный код числа, который получается путём прибавления единицы к инвертированному представлению модуля данного отрицательного числа в двоичной системе счисления.

Представление чисел в памяти компьютера имеет ограничения, связанные с ограниченностью объёма памяти, выделяемого под числа. Даже натуральные числа представляют собой математическую идеализацию, ряд натуральных чисел бесконечен. На объём же памяти ЭВМ накладываются физические ограничения. В связи с этим в ЭВМ мы имеем дело не с числами в математическом смысле, а с некоторыми их представлениями, или приближениями. Для представления чисел отводится некоторое определенное число ячеек (обычно двоичных, бит — от BInary digiT) памяти. В случае, если в результате выполнения операции полученное число должно занять больше разрядов, чем отводится в ЭВМ, происходит так называемое переполнение, и должна быть зафиксирована ошибка. Действительные числа обычно представляются в виде чисел с плавающей запятой. При этом лишь некоторые из действительных чисел могут быть представлены в памяти компьютера точным значением, в то время как остальные числа представляются приближёнными значениями. В наиболее распространённом формате число с плавающей запятой представляется в виде последовательности битов, часть из которых кодирует собой мантиссу числа, другая часть — показатель степени, и ещё один бит используется для указания знака числа.

Таблица квадратов

02=

12=1

22=4

32=9

42=16

52=25

62=36

72=49

82=64

92=81

102=100

112=121

122=144

132=169

142=196

152=225

162=256

172=289

182=324

192=361

202=400

212=441

222=484

232=529

242=576

252=625

262=676

272=729

282=784

292=841

302=900

312=961

322=1024

332=1089

342=1156

352=1225

362=1296

372=1369

382=1444

392=1521

402=1600

412=1681

422=1764

432=1849

442=1936

452=2025

462=2116

472=2209

482=2304

492=2401

502=2500

512=2601

522=2704

532=2809

542=2916

552=3025

562=3136

572=3249

582=3364

592=3481

602=3600

612=3721

622=3844

632=3969

642=4096

652=4225

662=4356

672=4489

682=4624

692=4761

702=4900

712=5041

722=5184

732=5329

742=5476

752=5625

762=5776

772=5929

782=6084

792=6241

802=6400

812=6561

822=6724

832=6889

842=7056

852=7225

862=7396

872=7569

882=7744

892=7921

902=8100

912=8281

922=8464

932=8649

942=8836

952=9025

962=9216

972=9409

982=9604

992=9801

Свойства натуральных чисел

‍

Сложение, вычитание, умножение и деление подчиняются законам арифметики. Всего этих законов, основанных на свойствах натуральных чисел, пять.

Переместительный закон сложения.

При сложении можно менять порядок слагаемых чисел как угодно — результат всегда будет одинаковым.

5 + 7 = 12 и 7 + 5 = 12

24 + 6 + 8 = 38 и 6 + 24 + 8 = 38 и 8 + 6 + 24 = 38

Переместительный закон умножения.

При умножении можно менять порядок множителей как угодно — результат всегда будет одинаковым.

2 х 4 = 8 и 4 х 2 = 8

4 х 3 х 5 = 60 и 3 х 5 х 4 = 60 и 5 х 4 х 3 = 60

Сочетательный закон сложения.

При сложении трёх чисел можно сложить первое и второе, и к их сумме прибавить третье, а можно сложить второе и третье, и к их сумме прибавить первое — результат будет один и тот же.

(5 + 7) + 8 = 12 + 8 = 20 и 5 + (7 + = 5 + 15 = 20

17 + (4 + 23) = 17 + 27 = 44 и (17 + 23) + 4 = 40 + 4 = 44

Сочетательный закон умножения.

Когда умножаем три числа, то результат не изменится, если перемножать множители не по порядку.

3 х (2 х 5) = 30 и (3 х 5) х 2 = 30

Распределительный закон.

Результат умножения суммы на число будет равен результату сложения произведений каждого слагаемого суммы на это число.

5 х (3 + 4) = 5 х 3 + 5 х 4 = 35

Вот мы и познакомились с основной информацией о натуральных числах. Мы используем их каждый день: считаем, сколько ложечек сахара положить в чай, сколько бензина залить в машину. С помощью натуральных чисел мы определяем, что выгодней: купить три маленьких коробочки с печеньем или одну большую. Вычисляем, на сколько долек разрезать яблоко, чтобы угостить сестру, маму, папу — и полакомиться самому. Поэтому обязательно учитесь пользоваться натуральными числами — и они обязательно ещё не раз сослужат вам добрую службу.

Знания лучше всего закрепляются в памяти, если ребёнок применяет их на практике, выполняя интересные задания. Такую возможность предоставляет образовательная платформа iSmart. Здесь представлены онлайн-тренажёры, разработанные в соответствии с образовательными стандартами РФ, являющиеся эффективным вспомогательным инструментом для усвоения школьной программы.

Есть разделы по математике, русскому и английскому языкам, окружающему миру, логике и другим предметам. Кроме упражнений для закрепления материала есть также возможность подготовиться к ВПР и контрольным работам.

Зарегистрируйте своего ребёнка на образовательной платформе iSmart, чтобы начать занятия.

‍

Число в философии

Философское понимание числа заложили пифагорейцы. Аристотель свидетельствует, что пифагорейцы считали числа «причиной и началом» вещей, а отношения чисел основой всех отношений в мире. Числа придают миру упорядоченность и делают его космосом. Такое отношение к числу было принято Платоном, а позже неоплатониками. Платон при помощи чисел различает подлинное бытиё (то, что существует и мыслится само по себе), и неподлинное бытиё, (то, что существует лишь благодаря другому и познаётся только в отношении). Срединное положение между ними занимает число. Оно придаёт меру и определённость вещам и делает их причастными бытию. Благодаря числу вещи могут быть подвергнуты пересчёту и поэтому они могут быть мыслимы, а не только ощущаемы. Неоплатоники, особенно Ямвлих и Прокл, почитали числа столь высоко, что даже не считали их сущими — устроение мира исходит от числа, хотя и не непосредственно. Числа сверхсущны, пребывают выше Ума, и недоступны знанию. Неоплатоники различают божественные числа (прямую эманацию Единого) и математические числа (составленные из единиц). Последние являются несовершенными подобиями первых. Аристотель, наоборот, приводит целый ряд аргументов, показывающих, что утверждение о самостоятельном существовании чисел приводит к нелепостям. Арифметика выделяет в этих реально сущих вещах только один аспект и рассматривает их с точки зрения их количества. Числа и их свойства являются результатом такого рассмотрения. Кант считал, что явление познано тогда, когда оно сконструировано в соответствии с априорными понятиями — формальными условиями опыта. Число — одно из таких условий. Число задаёт конкретный принцип или схему конструирования. Любой объект является исчислимым и измеряемым, потому что он сконструирован по схеме числа (или величины). Поэтому всякое явление может рассматриваться математикой. Разум воспринимает природу подчинённой числовым закономерностям именно потому, что сам строит её в соответствии с числовыми закономерностями. Так объясняется возможность применения математики в изучении природы. Математические определения, разработанные в 19 веке, были серьёзно пересмотрены в начале 20 века. Это было вызвано не столько математическими, сколько философскими проблемами. Определения, которые были даны Пеано, Дедекиндом или Кантором, и которые используются в математике и в настоящее время, нужно было обосновать с помощью фундаментальных принципов, коренящихся в самой природе знания. Различают три таких философско-математических подхода: логицизм, интуиционизм и формализм. Философскую базу логицизма разработал Рассел. Он полагал, что истинность математических аксиом неочевидна. Истинность обнаруживается сведением к наиболее простым фактам. Отражением таких фактов Рассел считал аксиомы логики, которые он положил в основу определения числа. Важнейшим понятием у него является понятие класса. Натуральное число η есть класс всех классов, содержащих η элементов. Дробь — это уже не класс, а отношение классов. Интуицист Брауэр имел противоположную точку зрения: логику он считал лишь абстракцией от математики, рассматривал натуральный ряд чисел как базовую интуицию, лежащую в основании всякой мыслительной деятельности. Гильберт, главный представитель формальной школы, видел обоснование математики в построении непротиворечивой аксиоматической базы, в пределах которой можно бы было формально обосновать любое математическое понятие. В разработанной им аксиоматической теории действительных чисел представление о числе лишается всякой глубины и сводится лишь к графическому символу, подставляемому по определённым правилам в формулы теории.

Десятичная запись натурального числа

Любое, даже самое большое число, можно записать с помощью десяти арабских цифр. Никакие дополнительные символы использовать не нужно. Цифры записываются в строчку, слева направо. Последовательность цифр в одном числе может быть абсолютно любой. Бывают и такие числа, в написании которых цифры повторяются.

Ноль, хоть и не является сам по себе натуральным числом, может применяться для обозначения других натуральных чисел.

Рассмотрим примеры:

1 876 542 — один миллион восемьсот семьдесят шесть тысяч пятьсот сорок два. Достаточно большое число, и для его обозначения понадобились только арабские цифры.

373 — триста семьдесят три. Число, для обозначения которого мы дважды использовали цифру 3.

208 — двести восемь. Число, для обозначения которого мы использовали 0.

А вот примеры неправильного применения цифры 0:

07, 011, 0117

Ноль означает пустоту, поэтому его не нужно ставить перед числом.

Примечание: ноль перед числом используется для написания дат: 03.05.2022, 07.10.1981. Это делается, чтобы избежать путаницы.

Практика:

Попросите ребёнка записать с помощью цифр следующие числа: двадцать два, сто восемьдесят семь, пятьсот три, девятнадцать.

Операции над множествами

Точно так же, как и все математические объекты, множества можно складывать и вычитать, то есть совершать операции.

Если две группы образуют третью, содержащую элементы исходных совокупностей – это называется суммой (объединением) множеств и обозначается знаком ∪.

Пример: В = {1, 6, 17} и С = {2, 13, 18}, В ∪ С= {1, 2, 6, 13, 17, 18}.

Если две группы совокупностей образуют третью, состоящую только из общих элементов заданных составляющих, это называется произведением (пересечением) множеств, обозначается значком ∩.

Пример: В = {36, 42, 53, 64} и С = {32, 42, 55, 66}, В ∩ С = {42}.

Если две совокупности образуют третью, включающую элементы одной из заданных групп и не содержащую элементы второй, получается разность (дополнение) совокупностей, обозначается значком /.

Пример: В = {12, 14, 16, 18} и С = {13, 14, 15, 17}, В / С = {14}.

В случае, когда В / С = С / В, получается симметричная разность и обозначается значком Δ.

Для «чайников» или кому трудно даётся данная тема операции с совокупностями можно отобразить с помощью диаграмм Венна:

Дополнение

С помощью данных диаграмм можно разобраться с законами де Моргана по поводу логической интерпретации операций над множествами.

Натуральный ряд

Натуральный ряд — это последовательность всех натуральных чисел, расположенных в порядке возрастания. В натуральном ряду каждое последующее число равно предыдущему + 1.

Примеры натуральных рядов:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41

122, 123, 124

Если разница между натуральными числами больше единицы или если последующее натуральное число меньше предыдущего, эта последовательность не является натуральным рядом.

Примеры ненатуральных рядов:

9, 10, 12, 13

47, 46, 48, 49

Практика:

Предложите ребёнку определить, какие из приведённых ниже последовательностей можно отнести к натуральным рядам:

а) 56, 57, 59, 60

б) 108, 109, 110, 111, 112, 113

в) 74, 73, 72, 71, 70

г) 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13