Последовательности

Содержание

• 1Определение
• 2Примеры
• 3Операции над последовательностями
• 4Подпоследовательности
  • 4.1Примеры
  • 4.2Свойства
• 5Предельная точка последовательности
• 6Предел последовательности
• 7Некоторые виды последовательностей
  • 7.1Ограниченные и неограниченные последовательности
    • 7.1.1Критерий ограниченности числовой последовательности
    • 7.1.2Свойства ограниченных последовательностей
  • 7.2Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности
    • 7.2.1Свойства бесконечно малых последовательностей
  • 7.3Сходящиеся и расходящиеся последовательности
    • 7.3.1Свойства сходящихся последовательностей
  • 7.4Монотонные последовательности
  • 7.5Фундаментальные последовательности

Числовая последовательность
— это последовательность элементов числового пространства.

Числовые последовательности являются одним из основных объектов рассмотрения в математическом анализе.

Геометрическая прогрессия

Геометрическая прогрессия — это последовательность (b_n), в которой каждый последующий член можно найти, если предыдущий член умножить на одно и то же число q.

Если последовательность (b_n) является геометрической прогрессией, то для любого натурального значения n справедлива зависимость:

bn+1 = bn * q, где q — знаменатель геометрической прогрессии

Если в геометрической прогрессии (b_n) известен первый член b₁ и знаменатель q, то можно найти любой член прогрессии:

• b₂ = b₁ * q;
• b₃ = b₂ * q = b₁ * q * q = b₁ * q²;
• b₄ = b₁ * q³;
• и т. д.

Общий член геометрической прогрессии bn можно вычислить при помощи формулы:

b_n = b₁ * qn−1, где n — порядковый номер члена прогрессии, b₁ — первый член прогрессии, q — знаменатель.

Пример 1. 2, 6, 18, 54,… — геометрическая прогрессия b = 2, q = 3.

Пример 2. 3, -3, 3, -3,… — геометрическая прогрессия b = 3, q = -1.

Пример 3. 7, 7, 7, 7,… — геометрическая прогрессия b = 7, q = 1.

Виды числовых последовательностей

Возьмем обычную последовательность натуральных чисел 1, 2, 3, 4, 5, …, a_n. Мы можем сказать, что каждый следующий член последовательности больше, чем предыдущий. Такие последовательности называются возрастающими. 

Если перевернуть ее и получить последовательность 5, 4, 3, 2, 1, …, a_n — последовательность будет называться убывающей. Для такой последовательности обязательно, чтобы каждый следующий член был меньше, чем предыдущий. 

Что, если мы просто будем менять знак числа? Например, −1, 1, −1, 1 и так далее? Тогда последовательность будет ни убывающей и ни возрастающей. 

Такую последовательность можно задать с помощью формулы a_n = (-1)n. 

Разумеется, не все последовательности бывают бесконечными. Ранее мы рассматривали только бесконечные последовательности: в них можно было подставить любое значение n. 

Возьмем последовательность простых однозначных чисел: 2, 3, 5, 7. Больше однозначных чисел нет — продолжить последовательность мы не можем. 

Последовательность, в которой ограничено количество членов, будет называться конечной последовательностью. Если же в последовательности не ограничено количество членов, и их можно задавать до бесконечности, то такая последовательность будет называться бесконечной последовательностью. 

Предел последовательности

Основная статья
: Предел последовательности

Предел последовательности

— это объект, к которому члены последовательности приближаются с ростом номера. Так в произвольном топологическом пространстве пределом последовательности называется элемент, в любой окрестности которого лежат все члены последовательности, начиная с некоторого. В частности для числовых последовательностей предел — это число, в любой окрестности которого лежат все члены последовательности начиная с некоторого.

Частичный предел последовательности

— это предел одной из её подпоследовательностей. У сходящихся числовых последовательностей он всегда совпадает с обычным пределом.

Верхний предел последовательности

— это наибольшая предельная точка этой последовательности.

Нижний предел последовательности

— это наименьшая предельная точка этой последовательности.

Понятие последовательности

Ключевые слова конспекта: числовая последовательность, способы, конечные и бесконечные, возрастающие и убывающие. Раздел ОГЭ по математике: 4.1. Понятие последовательности.

В школьном курсе рассматриваются только числовые последовательности. Например:
1; 2; 3; 4; 5; … – последовательность натуральных чисел;
1; 3; 5; 7; 9; … – последовательность нечётных чисел;
1; 4; 9; 16; 25; … – последовательность квадратов натуральных чисел.

Числовая последовательность — это занумерованное множество чисел, расположенных в порядке возрастания номеров. Члены последовательности в общем случае обозначают буквами с индексами, указывающими порядковый номер члена. Например, а₁, а₂; а₃; а₄; а₅; … .

Член последоватeльности с произвольным номером n обозначают символом а_n и называют n–м членом последовательности. Тогда a_n-1 и а_n+1 соответственно члены последовательности, предшествующий n–му члену и следующий за ним. Саму последовательность обозначают так: (а_n).

Последовательность задана, если известен способ, позволяющий найти любой её член. Последовательности чаще всего задают двумя способами:

1. с помощью формулы n–го члена, т. е. формулы, которая позволит определить любой член последовательности по его номеру. Например, если последовательность задана формулой x_n = x2 + 1, то пятый член последовательности x₅ = 52 + 1 = 26;
2. с помощью рекуррентной формулы, т. е. формулы, которая выражает любой член последовательности через предыдущий. Например, a_n+1 = a_n – 1,5, тогда, если а₁ = 17, то а₂ = 17 – 1,5 = 15,5 и т. д.

Последовательнoсти бывают конечные и бесконечные.

Последовательность называется конечной, если она имеет конечное число членов, например 3, 6, 9, 12. Конечной является последовательность однозначных натуральных чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Последовательность всех натуральных чисел бесконечна.

Последовательность называется возрастающей, если каждый ее член, начиная со второго, больше предыдущего: x_n+1 > x_n. Например, последовательность 3, 6, 9, 12, … 3n … — возрастающая. Последовательность называется убывающей, если каждый ее член, начиная со второго, меньше предыдущего: x_n+1 < x_n. Например, последовательность –3; –4; –5; –6 — убывающая.

Пример 1. Последовательность (с_n) задана формулой n–го члена c_n = (n + 5)/10. Эта формула позволяет вычислить любой член последовательности по его номеру. Найдём, например, с₃₀. Подставив в формулу n = 30, получим: с₃₀ = (30+5)/10 = 3,5.

Пример 2. Рассмотрим последовательность (а_n), заданную условиями: a₁ = 1, а_n+1 = 2а_n + 1. Эта последовательность задана с помощью рекуррентной формулы, которая указывает такой способ вычисления членов последовательности: чтобы получить следующий член, нужно предыдущий член умножить на 2 и к результату прибавить 1. Зная первый член, можно по этому правилу найти второй член; зная второй член, можно точно так же найти третий; и т. д.:

a₂ = 2а₁ + 1 = 2 • 1 + 1 = 3;
а₃ = 2a₂ + 1 = 2 • 3 + 1 = 7;
а₄ = 2а₃ + 1 = 2 • 7 + 1 = 15; и т. д.

А чтобы при таком способе задания найти a₃₀, придётся последовательно вычислять все предыдущие члены со 2–го по 29–й включительно.

Это конспект по математике на тему «Последовательность». Выберите дальнейшие действия:

• Перейти к следующему конспекту: 
• Вернуться к списку конспектов по Математике.
• Проверить знания по Математике.

Примеры задач

Пример 1

Найти первые $5$ членов последовательности, которая задана аналитически

$p_k=\frac{k^2+2k+7}{k-6}$

Решение.

Для этого нам необходимо в данное аналитическое выражение числа $1, 2, 3, 4 \ и \ 5$.

$k=1$.

$p_1=\frac{1^2+2+7}{1-6}=-2$

$k=2$.

$p_2=\frac{4+4+7}{2-6}=\frac{-15}{4}=-3.75$

$k=3$.

$p_3=\frac{9+6+7}{3-6}=\frac{-22}{3}$

$k=4$.

$p_4=\frac{16+8+7}{4-6}=\frac{-31}{2}=-15.5$

$k=5$.

$p_5=\frac{25+10+7}{5-6}=-42$

Ответ: $-2$, $-3.75$, $\frac{-22}{3}$, $-15.5$, $-42$.

Пример 2

Найти первые $5$ члена последовательности, которая задана рекуррентно

$p_1=10,p_2=1,p_{k+1}=2p_{k-1}-p_k$

Решение.

Первые два члена уже даны. Найдем из рекуррентной формулы $3$ и $4$члены:

Третий член по данной формуле равен

$p_3=2p_1-p_2=20-1=19$.

Четвертый член по данной формуле равняется

$p_4=2p_2-p_3=2-19=-17$.

Пятый член по данной формуле равняется

$p_5=2p_3-p_4=38+17=55$.

Ответ: $10, 1, 19, -17, 55$.

Пример 3

Записать последовательность, которая задана словесно, рекуррентным способом и записать ее: Первые два числа равняются двум и единице, а остальные равняются произведению двух предыдущих.

Решение.

Очевидно, что

$p_1=2,p_2=1$

Условию далее, можно записать следующее рекуррентное соотношение:

$p_{k+2}=p_{k+1}\cdot p_k$

Тогда последовательность имеет вид:

$2,1,2,2,4,8,32,…$

Ответ: $p_1=2,p_2=1,p_{k+2}=p_{k+1}\cdot p_k$.

$2,1,2,2,4,8,32,….$

Пример 4

Записать последовательность, которая задана словесно, аналитическим способом и записать ее: Последовательность чисел, в которой натуральное число складывается с тройкой и делится на $2$.

Решение.

Обозначим произвольное натуральное число через $k$. Тогда формула аналитической записи описанной выше последовательности имеет вид:

$p_k=\frac{k+3}{2}$

Тогда последовательность имеет вид:

$2,2.5,3,3.5,4,…$

Ответ: $p_k=\frac{k+3}{2}$.

Примеры

Пример 1.

Последовательность {a_n} определена как a₁ = 137 и a_n+1 − a_n = 0 для n ≥ 1. Найдите a₈₉₉₉

Решение:

a_n+1 − a_n = 0 означает, что a_n+1 = a_n, поэтому 137 = a₁ = a₂ = a₃ = … = a₈₉₉₉

Пример 2.

Если

найдите a_19.

Решение:

Пример 3.

Вычислите x_2.

Решение:

Пример 4.

Последовательность задана формулой

Какое из указанных чисел является членом этой последовательности? 

1) 1

2) 2

3) 3

4) 4

Решение:

Рассмотрим несколько первых членов последовательности, начиная с n=1:

Тем самым, число 3 является членом этой последовательности.

Пример 5.

Последовательности заданы несколькими первыми членами. Одна из них — арифметическая прогрессия. Укажите ее.

Решение:

Арифметической прогрессией называется такая последовательность в которой разность между последующим и предыдущим членами прогрессии остается неизменной. Поэтому арифметическая прогрессия является последовательность: 1; 3; 5; … Таким образом, правильный ответ указан под номером 3.

Пример 6.

Одна из данных последовательностей является геометрической прогрессией. Укажите эту последовательность.

Решение:

Геометрической прогрессией называют числовую последовательность, первый член которой отличен от нуля, а каждый последующий, равен предшествующему, умноженному на одно и тоже отличное от нуля число. Поэтому геометрической прогрессией является последовательность:

Таким образом, правильный ответ указан под номером 2.

Пример 7.

Последовательность задана условиями 

Найдите .

Решение:

Будем вычислять последовательно: 

Данная последовательность образует арифметическую прогрессию. Найдем разность арифметической прогрессии:

Примечание.

Зная разность и первый член арифметической прогрессии, можно найти посредственно:

Ответ: −9.

Примеры для самостоятельного решения

1. Последовательность задана формулой 

Какое из следующих чисел не является членом этой последовательности?

Решение:

Рассмотрим несколько первых членов последовательности:

Отметим, что числа, указанные под номерами 1), 2) и 4) являются 2-м, 4-м и 6-м членом последовательности соответственно. Докажем, что число указанное под номером 3, не является членом последовательности ().

Действительно, первые 6 членов последовательности уже проверены. Для следующих членов первое слагаемое в сумме

не меньше 7, а абсолютная величина второго слагаемого не больше .Поэтому для всех справедлива оценка

Тем самым, число не является членом данной последовательности.

Правильный ответ указан под номером 3.

2. Последовательность задана формулой

Сколько членов в этой последовательности больше 1?

1) 8

2) 9

3) 10

4) 11

Решение:

Дробь, числитель и знаменатель которой положительны, больше единицы, если знаменатель меньше числителя. Имеем: 

Таким образом, первые 9 членов последовательности больше 1.

Правильный ответ указан под номером 2.

3. Последовательность задана условиями 

Найдите .

Решение:

Будем вычислять последовательно: 

Данная последовательность образует арифметическую прогрессию. Найдем разность арифметической прогрессии:

Примечание.

Зная разность и первый член арифметической прогрессии, можно найти посредственно:

4. Последовательность задана условиями

Найдите .

Решение:

Найдём несколько первых членов последовательности:

Отсюда ясно, что все члены последовательности с нечётными номерами равны 4.

5.

Найти: x₃

Решение:

Подставляем в формулу для n-го члена последовательности

Ответ: 

Фактчек

• Последовательность — функция, заданная на множестве натуральных чисел или его части. 
• Каждый член последовательности имеет свой номер, который отображается в индексе. Например, a₁ — первый член последовательности, а a₂₅ — двадцать пятый. 
• Последовательность можно задать несколькими способами. Во-первых, выписать все члены последовательности. Во-вторых, задать общую формулу. В-третьих, задать рекуррентную формулу. 
• Рекуррентная формула — это формула, в которой каждый следующий член последовательности зависит от предыдущих. Ярким примером такой последовательности являются числа Фибоначчи, где каждое число является суммой двух предыдущих. 
• Последовательности бывают возрастающими и убывающими. В возрастающих последовательностях каждый следующий член больше предыдущего, а в убывающей каждый следующий член последовательности меньше предыдущего. В бесконечных последовательностях не ограничено количество членов. А в конечных последовательностях количество членов ограничено. 

Ограниченность сходящейся последовательности.

Последовательность \(\left\{x_n\right\}\) называется ограниченной снизу, если существует такое число С₁, что все члены последовательности удовлетворяют условию \(x_n\geq C_1\), то есть

$$ \exists \ C_1: \ \forall n \ \in\mathbb{N} \ \rightarrow x_n\geq C_1\nonumber $$

Последовательность \(\left\{x_n\right\}\) называется ограниченной сверху, если

$$ \exists \ C_2: \ \forall n \ \in\mathbb{N} \ \rightarrow x_n\leq C_2\nonumber $$

Последовательность, ограниченная как сверху, так и снизу, называется ограниченной, то есть последовательность \(\left\{x_n\right\}\) называется ограниченной, если

$$ \exists \ C_1 \ \exists \ C_2: \ \forall n \ \in\mathbb{N} \ \rightarrow C_1\leq x_n\leq C_2\label{ref5} $$

Заметим, что условие \eqref{ref5} равносильно следующему

$$ \exists \ C > 0: \ \forall n\in\mathbb{N}\rightarrow\left|x_n\right|\leq C\label{ref6} $$

Геометрически ограниченность последовательности означает, что все члены последовательности содержатся в С-окрестности точки нуль.

Теорема 2.

Если последовательность имеет предел, то она ограничена.

Пусть последовательность \(\left\{x_n\right\}\) имеет предел равный \(a\). По определению предела для \(\varepsilon=1\) найдем такой номер N, что при всех \(n\geq N\) имеет место неравенство \(\left|x_n-a\right|<1\). Так как модуль суммы не превосходит суммы модулей, то
$$ \left|x_n\right|=\left|x_n-a+a\right|\leq\left|x_n-a\right|+\left|a\right|\nonumber$$

Поэтому при всех \(n > N\) выполняется $$\left|x_n\right|<1+\left|a\right|\nonumber$$

Положим \(c=max(1+\left|a\right|, \ \left|x_1\right|,\ldots,\left|x_{N-1}\right|)\), тогда \(\left|x_n\right|\leq C\) при всех \(n\in\mathbb{N}\), то есть последовательность \(\left\{x_n\right\}\) ограничена.

Замечание 1.

В силу всякая сходящаяся последовательность является ограниченной. Обратное неверно: не всякая ограниченная последовательность является сходящейся. Например, последовательность \(\left\{\left(-1\right)^n\right\}\) ограничена, но не является сходящейся.

Замечание 2.

Если условие \eqref{ref6} не выполняется, то есть $$ \forall C > 0\quad\exists n_C\in\mathbb{N}: \ |x_{n_C}| > C,\nonumber $$ то говорят, что последовательность \eqref{ref6} не ограничена.

Пример 6.

Доказать, что последовательность \(\left\{{\textstyle\frac1{y_n}}\right\}\) является ограниченной, если \(\underset{n\rightarrow\infty}{lim}y_n=b, \ b\neq0, \ y_n\neq0 \ для \ всех \ n\in\mathbb{N}\).

Так как \(b\neq 0\), то \(|b| > 0\). По заданному числу \(\varepsilon=\displaystyle |b|/2\) в силу определения предела последовательности найдется такой номер \(N_0\), что $$\forall n\geq N_0\rightarrow\left|y_n-b\right|<\frac{\left|b\right|}2\label{ref7}$$

Используя данное неравенство, а также неравенство для модуля разности $$\left|b\right|-\left|y_n\right|\leq\left|y_n-b\right|\nonumber$$ получаем \(\left|b\right|-\left|y_n\right|\leq\frac{\left|b\right|}2\), откуда \(\displaystyle \left|y_n\right| > \frac{\left|b\right|}2\), и поэтому для всех n ≥ N, справедливо \(\displaystyle \left|\frac1{y_n}\right|<\frac2{\left|b\right|}\).

Пусть \(C=\displaystyle max(\frac1{\left|y_1\right|},\ldots,\frac1{\left|y_{N_0-1}\right|},\frac2{\left|b\right|})\), тогда для всех \(n\in\mathbb{N}\) выполняется неравенство \(\displaystyle |1/y_n|\leq C\), то есть \(\{1/y_n\}\) — ограниченная последовательность.