Основная информация[править]
Если принять диаметр окружности за единицу, то длина окружности — это число «пи»
Пи в перспективе
Отношение длины окружности есть постоянная величина, независимая от размеров круга (его радиуса/диаметра). Например, если один круг имеет диаметр, вдвое больший, чем у другого, то и длина окружности первого будет вдвое больше, чем у второго, при этом значение отношения C/d сохраняется. Такое определение числа π неявно использует плоскую (евклидову) геометрию; хотя понятия круга и окружности можно расширить на любую искривленную (неевклидову) геометрию, для такого понимания круга формула π=Cd{\displaystyle \pi ={\frac {C}{d}}} уже не будет справедливой. Есть также другие определения числа π, в которых круги не используются вообще. Например, π — это удвоенное значение наименьшего положительного числа x, для которого cos(x) равняется 0.
π — иррациональное число, и поэтому его нельзя точно записать обыкновенной дробью. Однако, дроби, например, такие как 22/7, 3,14 и некоторые другие рациональные числа, довольно часто используются как приближенные числу π. Десятичная запись числа π никогда не заканчивается и никогда не становится периодической. Цифры выглядят случайно распределенными, однако доказательств, что, например, встречается любая комбинация цифр, до сих пор нет, это — открытая математическая проблема.
π — трансцендентное число, то есть оно не может быть корнем никакого ненулевого многочлена с рациональными коэффициентами. Отсюда, среди прочего, следует, что решить античную проблему квадратуры круга с помощью циркуля и линейки невозможно.
Поскольку определение числа π связано с окружностью, оно входит во многие формулы в тригонометрии и геометрии, особенно в те, что касаются окружностей, эллипсов и сфер. Оно также встречается в формулах из других отраслей науки, таких как космология, теория чисел, статистика, теория фракталов, термодинамика, механика и электромагнетизм. Повсеместность числа π делает его одной из самых знаменитых математических констант как среди научного сообщества, так и вне его: числу посвящено несколько книг, в честь числа установлен День Пи, рекордные вычисления цифр π часто попадают в заголовки новостей. Попытки запомнить цифры π с нарастанием точности привели к рекордам в более чем 67.000 цифр.
Недовольство числом Пи
Многие математики просто влюблены в Пи, но есть и те, кто считает, что у этих цифр нет особенной значимости. Кроме того, они уверяют, что число Тау, которое в два раза больше Пи, более удобное в использовании как иррациональное. Тау показывает связь длины окружности и радиуса, что, по мнению некоторых, представляет более логичный метод исчисления. Впрочем, однозначно определить что-либо в данном вопросе невозможно, и у одного и у другого числа всегда будут сторонники, оба метода имеют право на жизнь, так что это просто интересный факт, а не повод думать, что пользоваться числом Пи не стоит.
Идея Уильяма Джонса
Удивительно, но знаменитое число до XVIII века не имело постоянного названия. В Средневековье его нередко называли «число, которое при умножении на него диаметра позволяет получить длину окружности». Еще одно наименование — «людольфово число» было дано в честь голландского ученого Людольфа ван Цейлена (1540-1610), сумевшего определить значение постоянной с точностью до 20 десятичных цифр. Также использовались числовые обозначения 355/113 и 22/7, что формировало иллюзию о рациональности числа.
Математик Уильям Джонс
Все изменилось, когда английский математик Уильям Джонс (1675-1749) в 1706 году опубликовал работу «Обозрение достижений математики», в котором использовал греческую букву π для ныне самой известной математической константы. Он руководствовался простой логикой — с буквы «пи» начинается слово περιμετρέ, что означает «измеряю вокруг».
Интересный факт: число π имеет свой день рождения — 14 марта.
Уильям Джонс использует греческую букву π
Интересный факт: π обладает собственным языком — в нем количество букв в словах тождественно цифрам числа «пи» в последовательном порядке.
Однако существует мнение, что Джонс ранее видел символ π. Его коллега Уильям Отред (1575-1660) с помощью буквы «пи» обозначал длину конкретной окружности, поэтому величина постоянно менялась. После жизни Отреда ряд его трудов и документов попали к Джонсу, который придал π философский смысл. Но широкое распространение символ π получил благодаря другому, гораздо более известному математику.
Свойства[править | править код]
Соотношенияправить | править код
Известно много формул с числом π\pi:
Франсуа Виет, 1593:
2π=12⋅12+1212⋅12+1212+1212⋅…\frac{2}{\pi}=\sqrt{\frac{1}{2}} \cdot \sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}}} \cdot \sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \sqrt{\frac{1}{2}}}} \, \cdot \ldots
Формула Валлиса:
21⋅23⋅43⋅45⋅65⋅67⋅87⋅89⋯=π2\frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdots = \frac{\pi}{2}
Формула Валлиса-Александрова:
21⋅23⋅43⋅45⋅65⋅67⋅87⋅(89⋅14+1)+34⋯=π2 \frac{2}{1}\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{4}{3}\cdot \frac{4}{5}\cdot \frac{6}{5}\cdot \frac{6}{7}\cdot \left \cdots = \frac{\pi}{2}
Модифицированная формула Валлиса:
limm→∞(m!)424m(2m)!2m=π\lim \limits_{m\rightarrow \infty }{\frac { (m!)^{4}{2}^{4m}}{\left ^{2}m}} = \pi
Произведения:
π=3⋅32∏k=1∞k2k2−(13)2\pi=3\cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \prod \limits_{k=1}^{\infty}\frac{k^2}{k^2-\left (\frac{1}{3}\right )^2}π=32⋅32∏k=1∞k2k2−(23)2\pi=\frac{3}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \prod \limits_{k=1}^{\infty}\frac{k^2}{k^2-\left (\frac{2}{3}\right )^2}π=4⋅22∏k=1∞k2k2−(14)2\pi=4\cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \prod \limits_{k=1}^{\infty}\frac{k^2}{k^2-\left (\frac{1}{4}\right )^2}π=43⋅22∏k=1∞k2k2−(34)2\pi=\frac{4}{3}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \prod \limits_{k=1}^{\infty}\frac{k^2}{k^2-\left (\frac{3}{4}\right )^2}π=6⋅12∏k=1∞k2k2−(16)2\pi=6\cdot \frac{1}{2} \prod \limits_{k=1}^{\infty}\frac{k^2}{k^2-\left (\frac{1}{6}\right )^2}π=65⋅12∏k=1∞k2k2−(56)2\pi=\frac{6}{5}\cdot \frac{1}{2} \prod \limits_{k=1}^{\infty}\frac{k^2}{k^2-\left (\frac{5}{6}\right )^2}π=4⋅∏k=1∞k2+kk2+k+14\pi=4\cdot\prod \limits_{k=1}^{\infty}\frac{k^2+k}{k^2+k+\frac{1}{4}}π=92⋅32∏k=1∞k2+kk2+k+29\pi=\frac{9}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\prod \limits_{k=1}^{\infty} \frac{k^2+k}{k^2+k+ \frac{2}{9}}π=163⋅22∏k=1∞k2+kk2+k+316\pi=\frac{16}{3}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}\prod \limits_{k=1}^{\infty} \frac{k^2+k}{k^2+k+ \frac{3}{16}}π=365⋅12∏k=1∞k2+kk2+k+536\pi=\frac{36}{5}\cdot\frac{1}{2}\prod \limits_{k=1}^{\infty} \frac{k^2+k}{k^2+k+ \frac{5}{36}}π=23∏k=1∞(2k−1)12−k(2k+3)k+122k+1(kk+1)2k\pi= 2\sqrt{3}\prod \limits_{k=1}^{\infty}\frac{\left ( 2k-1 \right )^{\frac 12 -k} \left ( 2k+3 \right )^{k+\frac 12}}{2k+1}\left (\frac{k}{k+1} \right )^{2k}
Ряд Лейбница:
11−13+15−17+19−⋯=π4\frac{1}{1} — \frac{1}{3} + \frac{1}{5} — \frac{1}{7} + \frac{1}{9} — \cdots = \frac{\pi}{4}
Тождество Эйлера:
eiπ+1=e^{i \pi} + 1 = 0\;
Т. н. «интеграл Пуассона» или «интеграл Гаусса»
∫−∞+∞ e−x2dx=π\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\ e^{-x^2}{dx} = \sqrt{\pi}
Интегральный синус
∫−∞+∞sin Синус (x)xdx=π\int\limits_{-\infty }^{+\infty }{\frac{\sin(x)}{x}dx}=\pi
Интегральный косинус
∫−∞+∞1−cos Косинус (x)x2dx=π\int\limits_{-\infty }^{+\infty }{\frac{1-\cos(x)}{x^2}dx}=\pi
Интегральный тангенс
∫−∞+∞tg(x)xdx=π\int\limits_{-\infty }^{+\infty }{\frac{tg(x)}{x}dx}=\pi
Интегральный котангенс
∫−∞+∞1−x⋅ctg(x)x2dx=π\int\limits_{-\infty }^{+\infty }{\frac{1-x \cdot ctg(x)}{x^2}dx}=\pi
Интегральный арктангенс
2∫−∞∞x−arctg(x)x3dx=π2 \int \limits _{-\infty }^{\infty }\! \frac {x-arctg(x)}{x^3}{dx}=\pi
Трансцендентность и иррациональностьправить | править код
- Иррациональность числа π\pi была впервые доказана Иоганном Ламбертом в 1767 году путём разложения числа e−12n\frac{e-1}{2^n} в непрерывную дробь. В 1794 году Лежандр привёл более строгое доказательство иррациональности чисел π\pi и π2\pi^2.
- В 1882 годe профессору Кёнигсбергского, а позже Мюнхенского университета Фердинанду Линдеману удалось доказать трансцендентность числа π\pi. Доказательство упростил Феликс Клейн в 1894 году
Поскольку в геометрии Евклида площадь круга и длина окружности являются функциями числа π\pi, то доказательство трансцендентности π\pi положило конец спору о квадратуре круга, длившемуся более 2,5 тысяч лет.
Преобразование Фурье и обработка сигналов
Пи играет еще одну очень важную роль в области «обработки сигналов». Это просто анализ, синтез и модификация сигналов. Но здесь действует сложная система. Эта сложная система представляет собой «преобразование Фурье», которое преобразует сигналы в частотный спектр. Мобильный телефон каждого, будь то его андроид или iPhone, выполняет преобразование Фурье, когда он связывается с местной сотовой вышкой.
Кроме того, формула оценивается вашим мобильным телефоном в цифровом виде с помощью определенного алгоритма, известного как «быстрое преобразование Фурье» или «БПФ», который был открыт математиками в 1950-х годах
Важно отметить, что каждый процесс включает в себя число π. Так что технически, есть определенное значение Пи где-то в вашем телефоне, будь то простой или смартфон
Константа и общество
Некоторые особенностей числа:
- Константа является иррациональной величиной. Это значит, что её невозможно представить в виде отношения двух чисел. Кроме того, в его записи отсутствует какая-либо закономерность.
- Повторяющиеся подряд знаки в константе – не редкость. Так, на каждые 20-30 символов обычно встречается хотя бы 2 идущих подряд цифры. Последовательности из 3 знаков уже более редкие, они попадаются с частотой около 1 повторения на 150-300 символов. А на 763 знаке начинается цепочка из 6 идущих подряд девяток. Это место в записи даже имеет собственное имя – точка Фейнмана.
- Если рассматривать первый миллион символов, то по статистике самыми редкими цифрами в нём окажутся 6 и 1, а самыми частыми – 5 и 4.
- Цифра 0 появляется в последовательности позже остальных, лишь на 31 знаке.
- В тригонометрии угол в 360 градусов и константа тесно связаны. Как ни странно, но на 358, 359 и 360 позиции после запятой расположено число 360.
С целью обмена информацией об открытиях был учреждён Пи-клуб. Желающим вступить в него приходится выдерживать нелёгкий экзамен: будущий член математического сообщества должен верно назвать на память как можно больше знаков постоянной.
Конечно, заучивание длинной числовой последовательности, не имеющей закономерностей и повторений — занятие достаточно трудное. Чтобы облегчить задачу, придумываются различные тексты и стихотворения, в которых количество букв в слове соответствует определённой цифре константы. Этот способ запоминания популярен у членов Пи-клуба. Один из самых длинных рассказов содержал 3834 первых знаков числа.
Однако признанные рекордсмены по заучиванию – это, конечно же, жители Китая и Японии. Так, японец Акира Харагути смог выучить свыше 83 тысяч цифр после запятой. А китаец Лю Чао прославился как человек, который смог назвать 67890 символов числа Пи за рекордное время – 24 часа. При этом средняя скорость составила 47 знаков за 1 минуту. Изначально его цель была назвать 93 тысячи цифр, однако им была допущена ошибка, после которой он не стал продолжать.
Чтобы подчеркнуть значение константы, в Сиэтле перед Музеем искусств был воздвигнут памятник в виде огромной греческой буквы π.
Кроме того, с 1988 года каждое 14 марта отмечается день числа Пи. Дата совпадает с первыми знаками постоянной – 3,14. Празднуют его после 1:59. В этот день заинтересованные люди угощаются тортами и печеньем с символом Пи, после чего проводят различные математические конкурсы и викторины. Кстати, именно в этот день родились А.Эйнштейн, астроном Скиапарелли и космонавт Сернан.
Число Пи – удивительная константа, которая нашла своё применения в самых разных областях, начиная от техники и строительства и заканчивая сферами искусства
Как и любая другая величина, которая применяется часто и которую невозможно вычислить полностью, она всегда будет привлекать к себе внимание математиков, физиков и других учёных
Оценки[править | править код]
- 227\frac{22}{7} (Архимед),
- 377120\frac{377}{120} (дана в книге индийского мыслителя и астронома Арьябхаты в V веке н. э.),
- 355113\frac{355}{113} (оценка приписывается современнику Арьябхаты древнекитайскому астроному Цзу Чун-цжи).
- π≈6325⋅17+1557+155\pi\, \approx \,\frac{63}{25}\cdot \frac{17+15 \sqrt{5}}{7+15\sqrt{5}} (приближение дал великий индийский математик С.Рамануджан)
- 510 знаков после запятой:
- π ≈ 3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 884 197 169 399 375 105 820 974 944 592 307 816 406 286 208 998 628 034 825 342 117 067 982 148 086 513 282 306 647 093 844 609 550 582 231 725 359 408 128 481 117 450 284 102 701 938 521 105 559 644 622 948 954 930 381 964 428 810 975 665 933 446 128 475 648 233 786 783 165 271 201 909 145 648 566 923 460 348 610 454 326 648 213 393 607 260 249 141 273 724 587 006 606 315 588 174 881 520 920 962 829 254 091 715 364 367 892 590 360 011 330 530 548 820 466 521 384 146 951 941 511 609 433 057 270 365 759 591 953 092 186 117 381 932 611 793 105 118 548 074 462 379 962 749 567 351 885 752 724 891 227 938 183 011 949 129 833 673 362…
- Двести миллиардов знаков после запятой (2000 ZIP архивов, средний размер файла около 57 мегабайт)
История вычисления константы пи
Ещё в третьем тысячелетии до нашей эры учёные из Древнего Египта, Месопатамии, Индии и Греции замечали, что соотношение длины и диаметра окружности всегда чуть больше трёх независимо от размеров окружности.
Изучение пи в древней Европе
В Месопотамии это соотношение считали равным трём. В Индии отношение длины к диаметру окружности приравнивали к квадратному корню из десяти. Первым математиком, предложившим доказательный метод расчёта пи, был Архимед. Его способ был прост и нагляден. Архимед вписывал в окружность с диаметром в единицу равносторонние многоугольники и описывал такие же многоугольники вокруг окружности, а потом вычислял периметры этих многоугольников. Таким образом, он получал границы для оценки длины окружности: периметр вписанного многоугольника ограничивал длину окружности снизу, а периметр описанного многоугольника — сверху.
Увеличивая количество углов в многоугольниках, Архимед повышал точность своей оценки. Когда он дошёл до 96 углов в многоугольнике, расчётное значение длины окружности оказалось больше, чем 3+10/71, но меньше, чем 3+1/7. Тогда Архимед выбрал верхнюю границу в качестве приблизительного значения константы пи. Согласно этому предположению, число пи равно 22/7 или 3,142857, если представить его в виде десятичной дроби. То есть, Архимед приблизился к числу пи с точностью до второго знака.
Во втором веке нашей эры дело Архимеда продолжил Клавдий Птолемей. Он довёл количество углов в многоугольнике до 720 и получил приблизительное значение числа пи 377/120 или 3,14166667. Клавдию Птолемею удалось высчитать константу пи с точностью до третьей цифры после запятой.
В шестнадцатом веке нашей эры математик из Голландии Лудольф ван Цейлен потратил десять лет на удваивание углов многоугольника и высчитал константу пи с точностью до двадцати знаков после запятой. Он завещал, чтобы найденные им цифры были выбиты на его надгробной плите. А саму константу стали называть числом Лудольфа.
Изучение числа пи в древнем Китае
Наряду с европейскими математиками, число пи пытались рассчитать и в Поднебесной. В третьем веке нашей эры математик из Китая Лю Хуэй вывел алгоритм, для расчёта константы пи с любой возможной степенью точности. В основу алгоритма легла всё та же идея Архимеда. По такому алгоритму самим Лю Хуэем было высчитано приближение пи для многоугольника с 3072 углами. Оно получилось равным 3,14159. Точность возросла до пятого знака после запятой. В пятом веке нашей эры математик Цзу Чунчжи Вычислил пи с точностью до семи цифр после запятой, расположив эту константу между 3,1415926 и 3,1415927.
Число пи: от средневековья до наших дней
В связи с развитием математического анализа во втором тысячелетии нашей эры для нахождения значения числа пи стали использоваться математические ряды:
- Ряд Мадхавы-Лейбница сходился медленно, но после некоторых преобразований позволил вычислить константу пи с точностью до одиннадцати цифр после запятой.
- Формула Виета — первая точная математическая формула для нахождения числа пи — представляет собой бесконечное произведение.
- Формула Валлиса также представляет собой произведение для расчёта константы пи по аналогии с константой е.
- Формула Джона Мэчина имеет в своей основе разложение арктангенса в Ряд Тейлора.
- Бесконечный ряд обратных квадратов, как доказал Эйлер сходится к квадрату пи, деленному на шесть.
Теория вероятностей тоже внесла свой вклад в вычисление пи с помощью метода Монте-Карло и Иглы Бюффона. Но с появлением компьютеров, а также открытием преобразования Фурье, использование рядов для вычисления значения пи позволило достигать астрономической точности.
История
Еще в древнеегипетских папирусах были найдены описания математических задач, число Пи в которых было равным 4*(8/9)^2. Нетрудно посчитать, что эта формула дает величину 3.16 (что, кстати, вполне достаточно для «бытовых» задач).
Известный ученый Архимед нашел еще более точное значение 3 1/7, что дает величину 3.1428. В Вавилоне было известно значение 25/8, что дает величину 3.125. Кстати, считается, что именно Архимед предложил первый математический метод вычисления числа Пи, с помощью расчета вписанных в круг многоугольников. Это позволяло вычислять значение не «напрямую», с циркулем и линейкой, а математически, что обеспечивало гораздо большую точность.
И наконец в 3-м веке нашей эры китайский математик Лю Хуэй придумал первый итерационный алгоритм — алгоритм, в котором число вычисляется не одной формулой, а последовательностью шагов (итераций), где каждая последующая итерация увеличивает точность.
Суть итерационной формулы Лю Хуэя следующая (sqrt — операция квадратного корня):
Pi-0 = 6*sqrt (2 — sqrt (2 + 1)) = 3.106 Pi-1 = 12*sqrt (2 — sqrt (2 + sqrt (2+1))) = 3.133 Pi-2 = 24*sqrt (2 — sqrt (2 + sqrt (2 + sqrt (2+1)))) = 3.139 Pi-3 = 48*sqrt (2 — sqrt (2 + sqrt (2 + sqrt (2 + sqrt (2+1))))) = 3.141
Как можно видеть, значение предыдущего шага используется в следующем, что заметно облегчает расчеты (что особо важно, если учесть, что в 3-м веке калькуляторов еще не было). Как показывает расчет на компьютере, уже 10 итераций этого алгоритма достаточно для вычисления Пи с точностью до одной десятимиллионной
Сам Лю Хуэй, разумеется, получил меньше знаков, но был важен сам принцип — итерационные алгоритмы и сейчас являются единственным способом вычисления Пи с любой степенью точности (для примера можно привести открытую в 1674 г формулу Лейбница: PI = 4*(1 — 1/3 + 1/5 — 1/7 + 1/9 — 1/11 + 1/13 … (из которой очевидно, что чем дольше считать, тем больше точность).
Так параллельно с развитием математики росла и точность вычислений. Математик из Ирана Джамшид ибн Мас‘уд ибн Махмуд Гияс ад-Дин ал-Каши в 15-м веке вычислил число Пи с точностью до 16 знаков, а в 17-м веке голландский математик Лудольф вычислил 32 знака числа Пи. Тогда же, кстати, в 1706 году современное обозначение этого числа ввел У. Джонсон.
И наконец в 1766 году математик Ламберт доказал, что число Пи является иррациональным, т. е. не может быть выражено никакой простой дробью. В 19-м веке было доказано, что число также не может быть корнем какого-либо уравнения. Т. е., по сути, число Пи является бесконечным, у него нет конца, его можно лишь вычислить с нужной степенью точности.
Есть ли у этого числа какая-то внутренняя структура, неизвестная закономерность? Узнать это хотели многие. Известно, что в 19-м веке англичанин Вильям Шенкс, потратив 20 лет, вычислил Пи до 707 знака, однако он так и не узнал, что в 520-м знаке допустил ошибку и все последние годы вычислений оказались напрасны (в итерационных алгоритмах хоть одна ошибка делает все дальнейшие шаги бесполезными).
Вычисление Пи вручную
Если вы хотите найти число самостоятельно, вы можете использовать старомодную технику – вам потребуются линейка, банка и веревка, можно также использовать транспортир и карандаш. Минус использования банки в том, что она должна быть круглой, и точность будет определяться тем, насколько хорошо человек может наматывать веревку вокруг нее. Можно нарисовать окружность транспортиром, но и это требует навыков и точности, так как неровная окружность может серьезно исказить ваши измерения. Более точный метод предполагает использование геометрии. Разделите круг на множество сегментов, как пиццу на кусочки, а потом вычислите длину прямой линии, которая превратила бы каждый сегмент в равнобедренный треугольник. Сумма сторон даст приблизительное число Пи. Чем больше сегментов вы используете, тем более точным получится число. Разумеется, в своих вычислениях вы не сможете приблизиться к результатам компьютера, тем не менее эти простые опыты позволяют более детально понять, что вообще представляет собой число Пи и каким образом оно используется в математике.
Странные тенденции соцсети: причудливые изображения статуй, «борющихся» с людьми
Из труб ПВХ, остатков плитки и цемента можно сделать оригинальный столик
Экологичный летний пудинг: вкусно и без отходов
Из истории константы
Интересные факты о числе Пи — история изучения. Существование постоянной рассчитывает около 4 тысячелетий. Иными словами, она немного моложе самой математической науки.
Первое свидетельство того, что число Пи было известно ещё в Древнем Египте, заключается в папирусе Ахмеса, одном из старейших найденных задачников. Документ датируется приблизительно 1650 г. до н. э. В папирусе константа принималась равной 3,1605. Это достаточно точное значение, если учесть, что другие народы использовали 3 для вычисления длины окружности по её диаметру.
Немного более точно число Пи рассчитал Архимед, древнегреческий математик. Ему удалось приближённо представить значение в виде обыкновенных дробей 22/7 и 223/71. Известно предание, что он был настолько занят расчётами константы, что не обратил внимания на то, как римляне захватили его город. В тот момент, когда воин подошёл к учёному, Архимед крикнул ему, чтобы тот не трогал его чертежи. Эти слова математика стали последними.
Над расчётами постоянной работал основатель алгебры Аль-Хорезми, живший в VIII-IX вв. С небольшой погрешностью он получил число Пи, равное 3,1416.
Спустя 8 веков математиком Людольфом ван Цейленом были правильно определены 36 символов после запятой. За это достижение число Пи иногда называют людольфовой постоянной (другие известные наименования – архимедова константа или круговая постоянная), а полученные учёным цифры были выбиты на его могильной плите.
Примерно в это же время постоянную начали применять не только для окружности, но и для вычисления сложных кривых – арки и гипоциклоида.
Лишь в начале XVIII века константу начали называть числом Пи. Обозначение в виде буквы π выбрано неслучайно – именно с неё начинаются 2 греческих слова, означающих окружность и периметр. Название было предложено учёным Джонсом в 1706 году, и уже спустя 30 лет изображение этой греческой буквы прочно использоваться среди других математических обозначений.
В XIX веке Уильям Шенкс работал над вычислением первых 707 символов константы. Ему не удалось полностью добиться поставленной задачи – в расчёты закралась ошибка, и 527 цифра оказалось неверной. Однако даже полученный результат был неплохим достижением для науки того времени.
В конце XIX века неправильное значение числа, равное 3,2, чуть было не приняли на уровне государства в штате Индиана. К счастью, математики успели выступить против законопроекта и предотвратить ошибку.
В XX-XXI вв. с применением вычислительной техники точность и скорость расчёта константы повысилась в тысячи раз. К 2002 году в Японии при помощи компьютера было определено свыше 1 триллиона цифр постоянной. Спустя 9 лет точность вычисления составила уже 10 триллионов символов после запятой.
Запоминание Пи
Рекорд в запоминании цифр после запятой принадлежит Раджвиру Мине из Индии, которому удалось запомнить 70 000 цифр – он поставил рекорд двадцать первого марта 2015 года. До этого рекордсменом был Чао Лу из Китая, которому удалось запомнить 67 890 цифр – этот рекорд был поставлен в 2005-м. Неофициальным рекордсменом является Акира Харагучи, записавший на видео свое повторение 100 000 цифр в 2005-м и не так давно опубликовавший видео, где ему удается вспомнить 117 000 цифр. Официальным рекорд стал бы только в том случае, если бы это видео было записано в присутствии представителя книги рекордов Гиннеса, а без подтверждения он остается лишь впечатляющим фактом, но не считается достижением. Энтузиасты математики любят заучивать цифру Пи. Многие люди используют различные мнемонические техники, к примеру стихи, где количество букв в каждом слове совпадает с цифрами Пи. В каждом языке существуют свои варианты подобных фраз, которые помогают запомнить как первые несколько цифр, так и целую сотню.
Олег Табаков и настоящий Шелленберг: удивилась, насколько они похожи (фото)
О работе и детях: три коротких анекдота, которые подойдут для любой компании
Беспокойство? Избавиться от него помогут предметы синего цвета
Нормальное ли число Пи?
Число Пи определенно странное, но насколько оно подчиняется нормальным математическим законам? Ученые уже разрешили многие вопросы, связанные с этим иррациональным числом, но некоторые загадки остаются. К примеру, неизвестно, насколько часто используются все цифры – цифры от 0 до 9 должны использоваться в равной пропорции. Впрочем, по первым триллионам цифр статистика прослеживается, но из-за того, что число бесконечное, доказать точно ничего невозможно. Есть и другие проблемы, которые пока ускользают от ученых. Вполне возможно, что дальнейшее развитие науки поможет пролить на них свет, но на данный момент это остается за пределами человеческого интеллекта.
Вклад Эйлера
Пониманием арифметической природы параметра Пи современные люди обязаны известному немецкому, российскому и швейцарскому исследователю Леонарду Эйлеру. Он смог установить последовательный ряд для определения этого значения и установил, зачем оно существует. Если взять 210 элементов такого ряда, удастся получить 100 правильных знаков Пи. Сам Эйлер смог установить значение константы с точностью до 153 знаков.
Массовое использование символа началось в 1736 году. Именно тогда Эйлер начал постоянно применять знак в своих работах. Среди них стоит выделить труды, в которых приведено много утверждений, связанных с числом суммируемых членов. Они нужны для определения приближенного параметра Пи с заданной точностью.
Люди проявляли интерес к числу Пи еще с древних времен. Именно тогда они стали определять его значение. Однако до восемнадцатого века этот параметр не имел общепринятого названия. Современным пониманием числа Пи люди обязаны работам известных математиков Джонса и Эйлера, которые внесли значительный вклад в изучение этой величины.
А если бы мы не знали Пи?
Путешествия на автомобиле
Для начала пи позволяет нам точно рассчитывать и создавать окружности. Представьте, что колёса вашей машины немного отличаются друг от друга, каждое слегка смещено от центра. Вы не только будете постоянно тратить кучу денег на механика, но и поездки у вас также будут менее удобными.
Путешествия по воздуху
Пи играет важную роль в расчёте времени и расстояния путешествия на самолёте. Когда самолёты летают на большие расстояния, они летят по округлой дуге потому что, Земля круглая.
Казино
Всеми любимая формула нормального распределения (также называемая распределением Гаусса) считается с помощью пи. Проще говоря: пи играет ключевую роль в формулах по теории вероятности и статистике — поэтому с пи азартные игры становятся намного более предсказуемыми. И с этими расчётами люди открывают казино, зная наверняка, какой процент их клиентов будет выигрывать и проигрывать.
Биография Джонса
Далеко не каждому известно, что знаменитое число до восемнадцатого века не имело постоянного названия. В Средние века его часто называли так: «число, которое при умножении на него диаметра дает возможность рассчитать длину окружности». Также этот параметр нередко обозначали как «людольфово число». Это название появилось в честь голландского исследователя Людольфа ван Цейлена. Именно он смог определить значение с высокой точностью – до 20 цифр после запятой.
Некоторые математики применяли числовые обозначения, такие как 355/113 и 22/7. Это создавало некоторые иллюзии относительно рациональности значения. Ситуация в корне изменилась в 1706 году. Именно тогда английский математик Уильям Джонс выложил работу «Обозрение достижений математики». В нем исследователь использовал греческую букву π для обозначения самой известной математической постоянной.
К тому же число Пи обладает и своим языком. В нем число букв в словах совпадает с цифрами числа Пи в последовательном порядке. При этом есть мнение, что Джонс раньше видел символ Пи.
Его коллега Уильям Отред использовал букву π для обозначения длины конкретной окружности. Потому это значение все время менялось. Впоследствии некоторые труды Отреда оказались в руках Джонса. После чего исследователь наделил значение Пи философским смыслом. В последние годы жизни математика не слишком интересовала Джонса. В 1736 году он в большей степени занимался бытовыми делами и писал, что имеет совсем мало возможностей думать о чем-то еще.
