Кто и зачем создал геометрию, когда открыли науку

за 7 класс

• Геометрия

  В.В. Шлыков

  7 класс

• Геометрия

  Дидактические материалы Б.Г. Зив

  7 класс

• Геометрия

  Л.С. Атанасян

  7-9 класс

• Геометрия

  А.В. Погорелов

  7-9 класс

• Геометрия

  Рабочая тетрадь Л.С. Атанасян

  7 класс

• Геометрия

  Г.П. Бевз

  7 класс

• Геометрия

  М. И. Бурди

  7 класс

• Геометрия

  О.С. Истер

  7 класс

• Геометрия

  Мерзляк A.Г.

  7 класс

• Геометрия

  Погорєлов О.В.

  7-9 класс

• Геометрия

  Дидактические материалы Гусев В.А.

  7 класс

• Геометрия Алгоритм успеха

  Рабочая тетрадь Мерзляк А.Г.

  7 класс

• Геометрия

  И. М. Смирнова

  7-9 класс

• Геометрия

  Сборник задач A.Г. Мерзляк

  7 класс

• Геометрия

  Александров А.Д.

  7 класс

• Геометрия МГУ — школе

  Бутузов В.Ф.

  7 класс

• Геометрия

  Шарыгин И.Ф.

  7-9 класс

• Геометрия МГУ — школе

  Рабочая тетрадь Бутузов В.Ф.

  7 класс

• Геометрия Алгоритм успеха

  Дидактические материалы Мерзляк А.Г.

  7 класс

• Геометрия

  Мерзляк А.Г.

  7 класс

• Геометрия

  Казаков В.В.

  7 класс

• Геометрия Большая перемена

  Задачи на готовых чертежах для подготовки к ОГЭ и ЕГЭ Балаян Э.Н.

  7-9 класс

• Геометрия УМК

  Рабочая тетрадь Глазков Ю.А.

  7 класс

• Геометрия

  Самостоятельные и контрольные работы Иченская М.А.

  7-9 класс

• Геометрия

  Контрольно-измерительные материалы (КИМ) Гаврилова Н.Ф.

  7 класс

• Геометрия Алгоритм успеха

  Мерзляк А.Г.

  7 класс Углубленный уровень

• Геометрия МГУ — школе

  Тематические тесты Бутузов В.Ф.

  7 класс

• Геометрия

  Рабочая тетрадь Смирнова И.М.

  7 класс

• Геометрия УМК

  Дидактические материалы Мельникова Н.Б.

  7 класс

• Геометрия УМК

  Рабочая тетрадь Мищенко Т.М.

  7 класс

• Геометрия МГУ — школе

  Дидактические материалы Бутузов В.Ф.

  7 класс

• Геометрия УМК

  Рабочая тетрадь Глазков Ю.А.

  7 класс

• Геометрия

  Рабочая тетрадь Дудницын Ю.П.

  7 класс

• Геометрия

  Тематические тесты Мищенко Т.М.

  7 класс

• Геометрия

  Сборник заданий Ершова А.П.

  7 класс

• Геометрия УМК

  Контрольные работы Мельникова Н.Б.

  7 класс

• Геометрия

  Шыныбеков А.Н.

  7 класс

• Геометрия

  Смирнов В.А.

  7 класс

• Геометрия Сферы

  Берсенев А.А.

  7 класс

• Геометрия Сферы

  Тетрадь-экзаменатор Сафонова Н.В.

  7 класс

• Геометрия Сферы

  Тетрадь-тренажёр Сафонова Н.В.

  7 класс

• Геометрия Контролируемые элементы содержания

  Тетрадь контрольных тестовых работ Парфентьева О.Н.

  7 класс

• Геометрия УМК

  Тесты Л.И. Звавич

  7 класс

• Геометрия УМК

  Тесты А. В. Фарков

  7 класс

• Геометрия УМК

  Тесты А. В. Фарков

  7 класс

• Геометрия Контрольные измерительные материалы

  Контрольно-измерительные материалы (КИМ) А.Р. Рязановский

  7 класс

• Геометрия

  Задачник Зив Б.Г.

  7-11 класс

• Геометрия

  Задачник Волчкевич М.А.

  7-8 класс

• Геометрия Алгоритм успеха

  Математические диктанты, Контрольные работы (Методическое пособие) Буцко Е.В.

  7 класс

• Геометрия

  Проверочные работы Мерзляк А.Г.

  7 класс

Практическая сторона геометрии

Название «геометрия» переводится с греческого, как «гео» — земля и «метрео» — мерить. Изначально геометрию использовали для разметки земли и других работ с землей. Но, оказалось, что сфера ее влияния безгранична.

Чтобы понять, зачем нам нужны знания по геометрии, просто оглянитесь вокруг: геометрия окружает нас в предметах разных форм. Взять хотя бы круг: его используют в искусстве, строительстве, технике. То же самое и с другими фигурами: чтобы сконструировать автомобиль или айфон, сшить одежду или построить дом — не обойтись без геометрии.

А еще геометрия помогает научиться рассуждать логически, искать связи и противоречия — полезный навык в диджитал-мире, когда информация окружает нас повсюду.

Вот, в каких профессиях пригодится геометрия: архитектор, айтишник, дизайнер, инженер, конструктор, строитель, smm-менеджер, декоратор, летчик, водитель, художник, проектировщик, астроном, спортсмен, музыкант и другие.

Почему изучать геометрию просто: мы видим объемный мир каждый день и регулярно прикасаемся к предметам, строим планы, размышляем и считаем в уме. В геометрии все знания подкреплены научными теориями — это помогает взаимодействовать с пространством по-другому, более осознанно.

Почему изучать геометрию сложно: некоторые правила придется учить наизусть.

Чтобы понять геометрию, двигайтесь от простого к сложному. Многие теоремы могут показаться очевидными. Но эта видимость может быть верной только для одного рисунка. Невозможно нарисовать все ситуации, ведь их их бесконечное множество

Именно поэтому важно доказать истину, чтобы никогда не сомневаться в ней

Изучение до нашей эры

Развитие геометрии связано с трудами многих исследователей. Весомый вклад в эти работы внесли Евклид и Архимед.

Труды Евклида

Благодаря Евклиду Александрийскому была создана «современная геометрия». Этот ученый ввел понятие математической строгости и аксиоматического метода, который применяется по сей день. Его книга «Начало» была написана примерно 300 лет до нашей эры. Она представляет собой наиболее влиятельный учебник всех времен и народов. Этот труд был известен всем образованным людям в западных странах вплоть до середины двадцатого века.

Благодаря Евклиду появилось 23 определения, 5 постулатов и 5 аксиом. Элементы теории Евклида легли в основу современной геометрии, которая по сей день преподается в учебных заведениях.

Труды Архимеда

Архимед считается автором формулы, которая помогает определять площадь треугольника через три его стороны. Ее ошибочно называют формулой Герона. Также Архимед создал теорию полуправильных выпуклых многогранников, которые называются архимедовы тела. Впрочем, она получилась неполной. Вот зачем другие ученые впоследствии дорабатывали эту теорию.

Начертательная геометрия

Инженерное образование в обязательном порядке предполагает изучение начертательной геометрии наряду с другими важными дисциплинами.

Для отображения геометрических характеристик зданий, машин, механизмов создаются чертежи их конструкций, определяющие особенности формы и размеров будущего изделия.

Начертательная геометрия представляет собой теоретическую базу, без использования которой невозможно создание специальной документации, называемой техническими чертежами. Чертежи являются необходимым средством для визуального отображения идеи создания той или иной технической продукции. На чертежах, в графической форме доступной для понимания, определены точные размеры и конструкция будущего продукта, представлены методы исполнения и возможность исследования изделия и его составных частей.

Для правильного выражения своих мыслей и идей с помощью эскизов и чертежей, необходимо тщательное изучение начертательной геометрии, включающей в себя геометрические законы построения изображений различных объектов с учетом многообразия их свойств и пространственного расположения относительно друг друга.

Начертательная геометрия, являющаяся графическим средством отображения информации, нашла широкое применение в жизни человечества.

Геометрическим формам присущи образность, символичность, компактность, доступность понимания. Простота и лаконичность графических изображений способствуют их повсеместному применению во всех областях созидательной деятельности человека.

Графика используется в качестве международного языка при общении народов различной культуры и национальных особенностей. Знание графического языка является преимущественным показателем при поиске работы, способствует совершенствованию образования и расширяет возможности воплощения идей человека в жизнь.

за 11 класс

• Геометрия

  Дидактические материалы Б.Г. Зив

  11 класс

• Геометрия

  Атанасян Л.С.

  10-11 класс

• Геометрия

  А.В. Погорелов

  10-11 класс

• Геометрия

  В.В. Шлыков

  11 класс

• Геометрия

  Погорєлов О.В.

  10-11 класс

• Геометрия

  Бевз Г.П.

  11 класс

• Геометрия

  Апостолова Г.В.

  11 класс

• Геометрия МГУ — школе

  Рабочая тетрадь Бутузов В.Ф.

  11 класс Базовый и углубленный уровень

• Геометрия

  Александров А. Д.

  10-11 класс Базовый и углубленный уровень

• Геометрия

  Александров А.Д.

  11 класс Углубленный уровень

• Геометрия

  Контрольно-измерительные материалы (КИМ) Рурукин А.Н.

  11 класс

• Геометрия МГУ — школе

  Бутузов В.Ф.

  10-11 класс Базовый и углубленный уровень

• Геометрия Алгоритм успеха

  Мерзляк А.Г.

  11 класс Базовый уровень

• Геометрия

  Смирнова И.М.

  10-11 класс Базовый уровень

• Геометрия Алгоритм успеха

  Мерзляк А.Г.

  11 класс Углубленный уровень

• Геометрия

  Комплексная тетрадь для контроля знаний Роганин О.М.

  11 класс Уровень стандарта

• Геометрия

  Комплексная тетрадь для контроля знаний Роганин О.М.

  11 класс Академический уровень

• Геометрия

  Смирнова И.М.

  10-11 класс Базовый и профильный уровни

• Геометрия

  Гусев В.

  11 класс

• Геометрия

  Дидактические материалы Мерзляк А.Г.

  11 класс Базовый уровень

• Геометрия

  Самостоятельные и контрольные работы Мерзляк А.Г.

  11 класс Углубленный уровень

• Геометрия

  Контрольные работы Иченская М.А.

  10-11 класс Базовый уровень

• Геометрия

  Самостоятельные работы Иченская М.А.

  11 класс Базовый уровень

• Геометрия

  Солтан Г.Н.

  10-11 класс Общественно-гуманитарное направление

• Геометрия

  Задачник Зив Б.Г.

  7-11 класс

• Геометрия

  Задачник Потоскуев Е.В.

  11 класс Углубленный уровень

• Геометрия

  Солтан Г.Н.

  11 класс Естественно-математическое направление

• Геометрия

  Латотин Л.А.

  11 класс Базовый и повышенный уровни

• Геометрия Алгоритм успеха

  Контрольные работы (Методическое пособие) Буцко Е.В.

  11 класс Углубленный уровень

• Геометрия Алгоритм успеха

  Контрольные работы (Методическое пособие) Буцко Е.В.

  11 класс Базовый уровень

10 класс

№ урока	Тема
1	Логическая структура геометрии 17 минут 43секунд
2	Геометрические задачи и методы их решения 16 минут 33секунд
3	Практические упражнения и приложения 13 минут 17секунд
4	Практические упражнения 21 минут 18секунд
5	Решение задач 21 минут 7секунд
6	Решение задач 11 минут 54секунд
7	Пространственные геометрические фигуры 14 минут 23секунд
8	Пространственные геометрические фигуры. Многогранники 13 минут 2секунд
9	Тела вращения: конус, цилиндр, шар 15 минут 32секунд
10	Тела вращения: цилиндр, конус, шар (Урок 2) 13 минут 40секунд
11	Проектная работа 10 минут 58секунд
12	Практические упражнения 15 минут 22секунд
13	Пересекающиеся, параллельные и скрещивающиеся прямые в пространстве 15 минут 41секунд
14	Прямые и плоскости в пространстве 7 минут 47секунд
15	Аксиомы стереометрии и следствия из них 9 минут 24секунд
16	Решение задач из повседневной жизни межпредметная связь 10 минут 26секунд
17	Практические упражнения и приложения 13 минут 17секунд
18	Практические упражнения 15 минут 54секунд
19	Практические упражнения и приложения 11 минут 56секунд
20	Построение многогранников и их простейших сечений 11 минут 30секунд
21	Решение задач. 12 минут 9секунд
22	Решение задач 14 минут 14секунд
23	Решение задач 14 минут 14секунд
24	Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве 9 минут 25секунд
25	Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве. 9 минут 44секунд
26	Взаимно расположение прямых и плоскостей в пространстве (2 часть) 18 минут 57секунд
27	Решение задач 17 минут 8секунд
28	Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве 18 минут 54секунд
29	Параллельная проекция в пространстве 17 минут 48секунд
30	Взаимное расположение плоскостей в пространстве 8 минут 52секунд
31	Параллельная проекция в пространстве 8 минут 30секунд
32	Решение задач. (1-часть) 10 минут 44секунд
33	Перпендикуляр. Наклонная и расстояние в пространстве 10 минут 38секунд
34	Теорема о трёх перпендикулярах 25 минут 16секунд
35	Решение задач (2 часть) 13 минут 24секунд
36	Теорема о трех перпендикулярах 14 минут 53секунд
37	Перпендикулярность плоскостей в пространстве 12 минут 1секунд
38	Ортогональная проекция в пространстве и ее использования в технике 10 минут 32секунд
39	Решение задач 12 минут 2секунд
40	Решение задач 9 минут 57секунд
41	Решение задач (4 часть) 8 минут 52секунд
42	Повторение (1-часть) 11 минут 9секунд

Описание науки

Геометрией называют раздел математики, который занимается изучением пространственных структур и отношений, а таких их обобщений. Эта наука специализируется на взаимном расположении тел, которое проявляется в виде касания и прилегания друг к другу, размеров объектов и их преобразования.

Геометрическое тело воспринимается как абстракция еще со времен Евклида. Точка является абстракцией, которая связана безграничным уменьшением всех габаритов тела или пределом бесконечного деления. Размеры, размещение и преобразование геометрических фигур регламентируются пространственными отношениями.

При исследовании реальных предметов эта наука концентрируется лишь на их форме и взаимном расположении. При этом плотность, цвет или вес не имеют значения.

Как в дальнейшем развивалась наука

На качественно новый уровень геометрия вышла только через много веков. Это произошло в семнадцатом столетии. Этого удалось добиться благодаря достижениям алгебры, которые накопились к тому моменту. Важный вклад в проект развития геометрии вложил французский математик и философ Рене Декарт. Именно этот ученый предложил новый подход к решению геометрических задач. Он использовал метод координат, связав алгебру с геометрией. Благодаря этому удалось использовать алгебраические методы для решения геометрических задач.

На Руси древнейший труд по арифметике, который дошел до наших дней, был написан еще в 1196 году. Его автором считается новгородский монах Кирик. При этом самая древняя работа, которая дошла до наших дней и включала геометрические сведения, была написана в начале семнадцатого века – скорее всего, в 1607 году. Этот труд получил название «Устав ратных дел». В работе присутствуют правила для решения задач на определение расстояния до объектов. При этом каких-либо теорем или доказательств в работе нет.

В других рукописях, таких как «Книга и письма», присутствуют правила изменения площадей, расчета объемов тел, определения расстояний. Такие правила включают большое количество ошибок и совсем не содержат доказательств.

Популяризации геометрии на Руси противилась церковь. Священнослужители опасались, что с книгами из западных стран в Россию попадет и католицизм. Потому они занимались введением жестких мер против всех, кто занимался математикой. В одном из древнерусских поучений также присутствует фраза: «богомерзостен перед богом всякий, кто любит геометрию».

В конце восемнадцатого века многие ученые столкнулись с мыслью, что доказать пятый постулат Евклида невозможно. Его утверждение отличается сложной формулировкой, потому нередко заменяется аксиомой параллельных прямых. Лобачевский попытался доказать пятый постулат от противного, однако не сумел добиться противоречивых утверждений. В 1826 году ученый заявил о создании новой геометрии, которая отличалась от науки Евклида. Новая теория получила название геометрии Лобачевского. Похожие выводы сделали немецкий ученый Гаусс и венгерский математик Бойяи.

Создание новой геометрии произвело значительное влияние на развитие науки. Геометрия Лобачевского получила широкое применение в естествознании. Также новая наука существенно повлияла на развитие самой геометрии. Это наиболее ярко проявилось в последующем углублении представлений людей о пространстве. До теории Лобачевского считалось, что геометрией окружающего мира может быть исключительно евклидова наука.

Стремительное развитие математики в восемнадцатом веке стало причиной целого ряда важнейших открытий. В частности, немецкий ученый Риман создал новую геометрию. В его науке обобщались сведения из учений Евклида и Лобачевского.

В семидесятые годы девятнадцатого века появилась теория множеств. Согласно этому учению, фигура определяется как множество точек. Этот подход дал возможность посмотреть новым взглядом на геометрию Евклида и проанализировать ее основы. Они подверглись разного рода уточнениям в работах Гильберта.

Сравнение отрезков и углов

В этом разделе, как и во всех разделах математики, существует понятие сравнения. Две фигуры с идентичными размерами и формой называются равными. Самым простым методом нахождения равенства геометрических фигур является способ наложения. Рассмотрим этот метод сравнения поподробнее.

Правило определения равенства геометрических фигур методом совмещения имеет следующую формулировку: геометрические фигуры, полностью совмещенные наложением друг на друга, считаются равными.

Сравнение отрезков.

Для сравнения отрезков методом совмещения, необходимо начало отрезка наложить на начало другого отрезка, если при этом совпадут и концы, то тогда отрезки считаются равными.

Например:

На рисунке видно, что начало отрезка АВ совпадает с началом отрезка СМ, при этом совпадают и концы отрезков. Такие отрезки считаются равными АВ=СМ.

В случае, когда концы отрезков не совпадают, считается, что один отрезок больше другого.

Например

При наложении отрезка СР на отрезок ВК совпадают только начала отрезков. В таком случае отрезок ВК больше, чем отрезок СР.

Записывается в таком виде: ВК>СР или СР<ВК.

Важно помнить, что каждый отрезок имеет точку, делящую его на две равные части и называющуюся серединой отрезка. Например:

Например:

Точка В является серединой отрезка АС, поэтому АВ=ВС

А как же метод наложения используется при сравнении углов? Все очень просто!

При наложении угла 2 на угол 1 на первом рисунке, совпадают вершины, стороны угла, такие углы называют равными.

Записывается в таком виде: ∠1=∠2.

В случае, когда стороны не совпадают, один угол считается больше второго, ∠2>∠1 или∠1<∠2

На втором рисунке видно, что вершина и сторона угла совпадают при наложении, а вторые стороны угла не совпадают. Тогда считается, что угол 2 больше, чем угол1.

Записывается в таком виде:∠2>∠1

История[править | править код]

Женщина обучает детей геометрии. Иллюстрация из парижской рукописи Евклидовых «Начал», начало XIV века.

Традиционно считается, что родоначальниками геометрии являются древние греки, перенявшие у египтян ремесло землемерия и измерения объёмов тел и превратившие его в науку. Превращение это произошло путём абстрагирования от всяких свойств тел, кроме взаимного положения и величины. Наукой геометрия стала, когда от набора рецептов перешли к установлению общих закономерностей. Греки составили первые систематические и доказательные труды по геометрии. Центральное место среди них занимают составленные около 300 до н. э. «Начала» Евклида. Этот труд и поныне остаётся образцовым изложением в духе аксиоматического метода: все положения выводятся логическим путём из небольшого числа явно указанных и недоказываемых предположений — аксиом. Геометрия греков, называемая сегодня евклидовой, или элементарной, занималась изучением простейших форм: прямых, плоскостей, отрезков, правильных многоугольников и многогранников, конических сечений, а также шаров, цилиндров, призм, пирамид и конусов. Вычислялись их площади и объёмы. Преобразования в основном ограничивались подобием.

Средние века немного дали геометрии, и следующим великим событием в её истории стало открытие Декартом в XVII веке координатного метода («Рассуждение о методе», ). Точкам сопоставляются наборы чисел, это позволяет изучать отношения между формами методами алгебры. Так появилась аналитическая геометрия, изучающая фигуры и преобразования, которые в координатах задаются алгебраическими уравнениями. Примерно одновременно с этим Паскалем и Дезаргом начато исследование свойств плоских фигур, не меняющихся при проектировании с одной плоскости на другую. Этот раздел получил название проективной геометрии. Метод координат лежит в основе появившейся несколько позже дифференциальной геометрии где фигуры и преобразования все ещё задаются в координатах, но уже произвольными достаточно гладкими функциями.

Базовые геометрические объекты

Базовые геометрические фигуры — это точки, отрезки, лучи, прямые, плоскости.

Точка — это идеальный математический объект, у которого нет длины и ширины.

Отрезок — это часть прямой, у которого есть начало и конец.

Смежные отрезки — это отрезки, которые не лежат на одной прямой и имеют один общий конец. На рисунке изобразили смежные отрезки АВ и АС, где точка А — общий конец.

Прямая — это «не кривая». Более точное определение вряд ли можно сформулировать.

Когда мы рисуем прямую на листе бумаги, мы изображаем только ее часть, потому что прямая не имеет начала и конца.

Обозначать прямые принято малыми латинскими буквами (a, b, c), но можно и большими латинскими буквами (АВ, CD, MN). Точки всегда обозначают большими латинскими буквами (А, В, С).

Два варианта расположения точек относительно прямой:

1. Точки лежат на данной прямой. Или еще говорят, что прямая проходит через эти точки — на рисунке выше такими точками являются А и В. При решении задач для краткости используют запись A ∈ a (читается так: точка А принадлежит прямой a или точка А лежит на прямой a), аналогично будет и для точки В (B ∈ b).

2. Точки не лежат на данной прямой. Говорят так: прямая не проходит через эти точки — на рисунке такими точками являются С и D. При решении задач для краткости используют запись C ∉ a (читается так: точка С не принадлежит прямой a или точка С не лежит на прямой a), аналогично будет и для точки D (D ∉ a).

Важно знать

Через любые две точки можно провести прямую и притом только одну.

Если рассмотреть две прямые, то возможны два варианта их расположения:

1. Прямые пересекаются, то есть имеют одну общую точку.

   Для записи пересекающихся прямых используют специальный знак — ∩, то есть a∩b (читают: прямая a пересекает прямую b). Чтобы обозначить точку пересечения прямых, пишут a∩b = O (читается: прямая a пересекается с прямой b в точке O).

2. Прямые не пересекаются, то есть не имеют общих точек.

   Для записи не пересекающихся прямых используют специальный знак — , то есть m n (читают: прямая m не пересекает прямую n). В дальнейшем для обозначения не пересекающихся прямых мы будем использовать знак параллельности ||.

Луч — это часть прямой, ограниченная с одной стороны. Луч имеет начало, но не имеет конца.

На рисунке точка О разбивает прямую АВ на две части:

Каждая из этих частей называется лучом, а точка О является началом одного и другого луча.

Назовем получившиеся лучи:

• Луч ОА, точка О — начало луча ОА; конца у луча ОА нет.

• Луч ОВ, точка О — начало луча ОВ; конца у луча ОВ нет.

Лучи ОА и ОВ принадлежат одной прямой АВ. Лучи ОА и ОВ имеют общее начало (точка О). Лучи ОА и ОВ противоположно направлены. При таких условиях лучи ОА и ОВ называются дополнительными.

Плоскость — это бесконечная поверхность, к которой принадлежат все прямые, которые проходят через какие-либо две точки плоскости

Комбинации простейших объектов

Поговорим про комбинации простейших объектов. Например, две прямые, которые мы уже разглядели — либо пересекаются на плоскости, либо нет (тогда они параллельны).
 

Когда прямые пересекаются, можно ввести понятие отношения между двумя прямыми. Аналогично мы поступали с числами: ввели натуральные числа — количество предметов в множестве. А после этого изучали отношения между этими числами: дроби, возведение в степень.

Точно так же мы изучали множества, а после — отношения между множествами, функции.

Две прямые образуют углы. По сути, угол — это отношение между прямыми. Если один из них нулевой, то прямые параллельны. Если нет — прямые пересекаются.
 

Максимальный угол – это полный оборот, он составляет 360 градусов.

Угол — это часть плоскости, ограниченная двумя лучами, которые выходят из одной точки. Углы измеряются в градусах. Углов бесконечно много, так как от 0° до 360° угол может принимать бесконечное множество значений.

Есть разные виды углов, выделим самые часто встречающиеся:

• Если градусная мера угла меньше 90° — угол острый.

• Если градусная мера угла равна 90° — угол прямой.

• Если градусная мера угла больше 90°, но меньше 180° — угол тупой.

• Если градусная мера угла равна 180° — угол развернутый.

Общая точка, из которой исходят лучи, называется вершиной угла, а лучи — сторонами угла.

Два угла называются вертикальными, если их стороны являются дополнительными лучами. Свойство вертикальных углов звучит так: вертикальные углы равны.

Два угла называются смежными, если одна сторона у них общая, а две другие являются дополнительными лучами. Свойство смежных углов: сумма смежных углов равна 180°.

Биссектриса угла — это луч с началом в вершине угла, который делит угол на две равные части.

А теперь посмотрим на взаимное расположение трех прямых.

Первый случай: все три прямые параллельны.

Второй случай: две прямые параллельны, а третья их пересекает.

Третий случай: если провести три прямые на плоскости случайным образом, велика вероятность образования треугольника. Поэтому этой фигуре мы уделяем так много времени в школе на уроках геометрии.

9 класс

№ урока	Тема
1	Повторение 13 минут 19секунд
2	Подобие многоугольников. 11 минут 41секунд
3	Подобие треугольников 18 минут 38секунд
4	Второй признак подобия треугольников 15 минут 33секунд
5	Третий признак подобия треугольников 17 минут 8секунд
6	ешение задач с применением подобия треугольников. Повторение. 16 минут 9секунд
7	Элементы треугольника. Синус, Косинус и Тангенс. Острого угла прямоугольного треугольника 14 минут 17секунд
8	Осевая симметрия 9 минут 24секунд
9	Центральная симметрия. 16 минут 52секунд
10	Подобие геометрических фигур 11 минут 35секунд
11	Свойства подобных многоугольников 10 минут 13секунд
12	Подобие геометрических фигур 9 минут 40секунд
13	Свойства подобных многоугольников 11 минут 57секунд
14	Гомотетия и подобие 9 минут 23секунд
15	Решение задач 19 минут 22секунд
16	Геометрические фигуры, и их площади и периметры 20 минут 18секунд
17	Параллельный перенос 11 минут 14секунд
18	Решение задач и вопросы контрольной работы 7 минут 50секунд
19	Теорема Пифагора 16 минут 57секунд
20	Построение подобных многоугольников 10 минут 48секунд
21	Решение задач 14 минут 50секунд
22	Синус, косинус, тангенс и котангенс углов от 0° до 180° 12 минут 16секунд
23	Решение задач 19 минут 8секунд
24	Вычисление площади треугольника при помощи синуса угла. 12 минут 57секунд
25	Теорема синусов 9 минут 31секунд
26	Некоторые приложения теоремы синусов и теоремы косинусов 9 минут 47секунд
27	Угол между векторами и сколярное произведение двух векторов 12 минут 40секунд
28	Решение задач8 12 минут 5секунд
29	Решение треугольников 10 минут 28секунд
30	Решение задач (1 часть) 11 минут 47секунд
31	Проверка самостоятельной работы 11 минут 16секунд
32	Правильные многоугольники 9 минут 10секунд
33	Описанный многоугольник 17 минут 50секунд
34	Решение задач 16 минут 3секунд
35	Правильные многоугольники 13 минут 27секунд
36	Вписанные в правильный многоугольник и описанные около него окружности 9 минут 7секунд
37	Связь между радиусами вписанной окружности в правильной многоугольник и описанной около него окружности 8 минут 25секунд
38	Длина дуги окружности. Радианная мера угла 19 минут 45секунд
39	Длина окружности 19 минут 47секунд
40	Площадь круга 10 минут 12секунд
41	Практические упражнения и приложения 10 минут 45секунд
42	Измерение углов, образованных секущими окружностями 11 минут 1секунд
43	Проекция отрезков и пропорциональность 8 минут 22секунд
44	Решение задач (1- часть) 11 минут 47секунд
45	Свойства пропорциональных отрезков 11 минут 8секунд
46	Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике 10 минут 34секунд
47	Пропорциональные отрезки в круге 11 минут 47секунд
48	Практические упражнения и приложения 11 минут 45секунд
49	Решение задач (2-часть) 7 минут 14секунд
50	Решение задач 7 минут 46секунд
51	Решение задач (2 часть) 7 минут 25секунд

Геометрия в природе

В окружающей действительности геометрия присутствует повсеместно. Природа щедро внедрила правильные геометрические формы практически во все свои творения. В затейливых узорах снежинок, составленных из многоугольников, отчетливо просматриваются шестиосные симметричные формы, объединенные общим центром.

Вообще, легкие зимние снежинки – это яркое воплощением красоты и порядка окружающей нас природы, на каждом шагу являющей примеры многообразия геометрических форм, объединенных принципом единства.

Распускающиеся нежные цветы и колючие ветвистые кустарники – при внимательном рассмотрении содержат в своей структуре правильные линии, взаимодействующие по геометрическим законам.

Глава VII. Подобные треугольники

§ 1. Определение подобных треугольников

• 58. Пропорциональные отрезки
• 59. Определение подобных треугольников
• 60. Отношение площадей подобных треугольников
• Задачи

§ 2. Признаки подобия треугольников

• 61. Первый признак подобия треугольников
• 62. Второй признак подобия треугольников
• 63. Третий признак подобия треугольников
• Задачи

§ 3. Применение подобия к доказательству теорем и решению задач

• 64. Средняя линия треугольника
• 65. Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике
• 66. Практические приложения подобия треугольников
• 67. О подобии произвольных фигур
• Задачи

§ 4. Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника

• 68. Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника
• 69. Значения синуса, косинуса и тангенса для углов 30°, 45° и 60°
• Задачи
   
• Вопросы для повторения к главе VI
• Дополнительные задачи

7 класс

№ урока	Тема
1	Наука и предмет геометрии. Задачи предмета геометрии. 11 минут 47секунд
2	Простейшие геометрические фигуры: точка, прямая, плоскость. 14 минут 44секунд
3	Отрезок и луч. 16 минут 16секунд
4	Сравнение отрезков. 14 минут 44секунд
5	Длина отрезка и её свойства.Измерение отрезков. 16 минут 16секунд
6	Окружность и круг. 17 минут 45секунд
7	Угол. Сравнение углов. 13 минут 49секунд
8	Измерение углов. Транспортир. 16 минут 22секунд
9	Решение задач. 14 минут 9секунд
10	Виды углов. Биссектриса. 15 минут 59секунд
11	Смежные и вертикальные углы. 17 минут 46секунд
12	Решение задач по теме: «Смежные и вертикальные углы». 20 минут 25секунд
13	Последовательность рассуждений и их взаимосвязь при изучении геометрии. 20 минут 54секунд
14	Перпендикулярные прямые. 17 минут 26секунд
15	Метод доказательства от противного. 19 минут 38секунд
16	Решение задач на повторение. 16 минут 16секунд
17	Решение задач на повторение 17 минут 39секунд
18	Решение задач на повторение (часть 2) 17 минут 37секунд
19	Ломаная. Многоугольник 15 минут 4секунд
20	Треугольник. Виды треугольников 11 минут 39секунд
21	Решение задач по теме «Треугольник. Виды треугольников» 11 минут 46секунд
22	Основные элементы треугольника: Медиана, высота и биссектриса 16 минут 13секунд
23	Решение задач по теме «Основные элементы треугольника» 16 минут 32секунд
24	Первый признак равенства треугольников 17 минут 6секунд
25	Свойства равнобедренного треугольника 17 минут 16секунд
26	Второй признак равенства треугольников 15 минут 49секунд
27	Третий признак равенства треугольников 17 минут 12секунд
28	Свойства серединного перпендикуляра к отрезку 16 минут 1секунд
29	Решение задач по теме «Признаки равенства треугольников» 15 минут 30секунд
30	Параллельность прямых 20 минут 19секунд
31	Углы, образованные при пересечении двух прямых и секущей 16 минут 24секунд
32	Признаки параллельности двух прямых 16 минут 24секунд
33	Признаки параллельности двух прямых (продолжение) 14 минут 3секунд
34	Обратная теорема 20 минут 8секунд
35	Углы, образованные двумя параллельными прямыми и секущей 10 минут 42секунд
36	Решение задач по теме: «Углы, образованные двумя параллельными прямыми и секущей» 14 минут 25секунд
37	Решение задач и повторение 10 минут 41секунд
38	Теорема о сумме внутренних углов треугольника 16 минут 16секунд
39	Решение задач по теме «Сумма внутренних углов треугольника» 12 минут 7секунд
40	Свойство внешнего угла треугольника 17 минут 48секунд
41	Решение задач по теме «Свойство внешнего угла треугольника» 16 минут 39секунд
42	Свойства прямоугольного треугольника 11 минут 34секунд
43	Признаки равенства прямоугольных треугольников 14 минут 7секунд
44	Решение задач по теме «Признаки равенства прямоугольных треугольников» 17 минут 52секунд
45	Свойство биссектрисы угла 19 минут 32секунд
46	Соотношения между сторонами и углами треугольника 15 минут 9секунд
47	Неравенство треугольника 17 минут 23секунд
48	Решение задач по теме «Неравенство треугольника» 15 минут 48секунд
49	Задачи на построение с помощью циркуля и линейки 16 минут 18секунд
50	Построения угла, равного данному 10 минут 19секунд
51	Построение биссектрисы угла 13 минут 2секунд
52	Построение прямой, перпендикулярной к данной прямой 10 минут 6секунд
53	Деление отрезка пополам 13 минут 0секунд
54	Построение треугольника по трем данным его сторонам 13 минут 24секунд
55	Решение задач на построение 16 минут 52секунд
56	Решение задач и повторение 20 минут 8секунд
57	Ступени решения геометрических задач 13 минут 0секунд
58	Задачи на вычисление 14 минут 51секунд
59	Задачи на доказательство 10 минут 40секунд
60	Задачи на доказательство 10 минут 4секунд
61	Прямая. Отрезок. Луч. Окружность 11 минут 40секунд
62	Угол. Виды углов. Смежные и вертикальные углы. Перпендикулярные прямые 12 минут 36секунд
63	Треугольник. Виды треугольников. Элементы треугольника. Признаки равенства треугольников 12 минут 54секунд
64	Параллельные прямые. Признаки параллельности прямых 12 минут 52секунд
65	Сумма внутренних углов треугольника. Внешний угол. Свойства прямоугольного треугольника. Неравенство треугольника 13 минут 2секунд