Древнегреческий ученый евклид: биография, главный труд, вклад в науку

Биография

Древнегреческий мыслитель Евклид стал первым математиком Александрийской школы и автором одного из наиболее древних теоретических математических трактатов. О биографии этого ученого известно намного меньше, чем о его работах. Так, в известном труде «Начала» Евклид изложил стереометрию, планиметрию, аспекты теории чисел, создал базу для последующего развития математики.

Биография Евклида предположительно началась в 325 году до нашей эры (это примерная дата, точный год рождения неизвестен) в Александрии. Некоторые исследователи предполагают, что будущий математик появился на свет в Тире, а большую часть взрослой жизни провел в Дамаске. Вероятно, Евклид происходил из богатой семьи, так как он учился в афинской школе Платона (на то время такое образование было доступно только состоятельным гражданам).

Портрет Евклида

Ученым удалось установить, что автор «Начал» был моложе известных последователей Платона, живших и творивших в период с 427 по 347 века до нашей эры, однако старше Архимеда, родившегося в 287 году и скончавшегося в 212 году до нашей эры. Евклид разбирался в философской концепции Платона и разделял ее основные положения.

Приведенная выше информация о личности и жизненном пути Евклида почерпнута исследователями из комментариев Прокла, написанных им к первой книге «Начала». Также известны высказывания Стобея и Паппа о личности древнегреческого мыслителя. Стобей якобы рассказывал, что в ответ на вопрос ученика о выгоде от науки Евклид приказал рабу выдать ему несколько монет. Папп же отмечал, что ученый умел быть любезным и мягким с любым человеком, который мог хоть в какой-то степени быть полезным для развития математических наук.

Портрет Евклида

Сохранившиеся данные о Евклиде настолько малочисленны и сомнительны, что бытовала версия о присвоении псевдонима «Евклид» целым коллективам ученых из древней Александрии. Евклида Александрийского путают с греческим философом Евклидом из Мегар, учеником Сократа, жившим в 400 столетии до нашей эры. В средние века Евклида из Мегар даже считали автором «Начал».

Аксиоматические методы

В изложении Евклида геометрии в Элементы Считается, что Евклид сформулировал первую «аксиоматизацию» очень интуитивно и неформально.

Аксиомы — это основные определения и утверждения, не требующие доказательства. То, как Евклид представил аксиомы в своей работе, позже превратился в аксиоматический метод.

В аксиоматическом методе определения и предложения устанавливаются таким образом, что каждый новый термин может быть исключен ранее введенными терминами, включая аксиомы, во избежание бесконечной регрессии.

Евклид косвенно поднял потребность в глобальной аксиоматической перспективе, что привело к развитию этой фундаментальной части современной математики.

Вклад в науку

Почти со времени написания его основной труд оказывал постоянное и значительное влияние. Это был основной источник геометрических рассуждений, теорем и методов, по крайней мере, до появления неевклидовой геометрии в 19-м веке. Иногда говорят, что, помимо Библии, «Начала» являются самыми часто переводимыми, публикуемыми и изучаемыми из всех книг, выпущенных в западном мире. Если исходить из его биографии, Евклид, возможно, не был первоклассным математиком, но он установил стандарт для дедуктивного мышления и геометрического обучения, который сохранялся практически без изменений в течение более 2000 лет.

Влияние и память

Первое печатное издание «Начал» на английском языке 1570 года «авторства» EVCLIDE of Megara

Учение Евклида, которое сочетало идеи элеатов и Сократа, получило развитие в трудах философов мегарской школы. «Элейскую» сторону разрабатывали Евбулид, Диодором и Алексин, «сократовскую» — Стильпон. Евклид и «мегарики» положили начало изучению логики высказываний. Вклад «мегариков» в историю философии включает опровержения противоположных их учению положений, а также создание нескольких известных софизмов, таких как парадоксы кучи, лжеца и других подобных. Из-за этого их также могут называть «эристиками» и «диалектиками». Софизмы «мегариков» должны были показать несостоятельность логических построений. Последователей Евклида, и соответственно мегарскую школу, раскритиковал Диоген, высказавшись в духе, что у него «не ученики, а желчевики». В данном случае Диоген путём игры слов («школа» — «σχολείο», «желчь» — «χολή») подчеркнул особый азарт и неприятие чужого мнения «мегариками». Одной из целей представителей данной философской школы было доказательство несостоятельности единичных чувственных представлений. В евклидовой предпосылке, что всё — Единое Благо, а то, что мы видим — лишь различные его стороны, нет места для правильных и неправильных мнений. Всё зависит от того, что нужно доказать. В этом мегарская школа является продолжательницей рационалистического подхода софистов, с той разницей, что их цель состояла не в практической выгоде при выступлениях на судах и в Народных собраниях, а в доказательстве ничтожности логических выводов, основанных на предположении о существовании множества различных по сути понятий.

Для древнегреческой философии после смерти Сократа были характерны попытки дополнить и соединить сократическое учение. Его пытаются связать с движениями пифагореизма, достижениями элеатов, Гераклита и других ранних философов-досократиков. Евклид создал школу новоэлеатов. Прежние мотивы стали применять к сократовской философии понятий. Мегарская философская школа через учителей Зенона Китийского Стильпона и Диодора Крона является предшественницей стоицизма.

В XIII—XVI веках Евклид из Мегары считался автором математических «Начал» (около 300 года до н. э.) своего знаменитого тёзки-математика. Первые печатные издания математического труда выходили «под авторством» Евклида из Мегары.

Литература

Авл Геллий. Аттические ночи. Книги I—Х. — Гуманитарная Академия, 2007. — 480 с. — (Bibliotheca classica). — ISBN 978-5-93762-027-9.
Диоген Лаэртский. О жизни, учениях и изречениях знаменитых философов / Редактор тома и автор вступительной статьи А. Ф. Лосев. — второе. — М.: Мысль, 1986. — (Философское наследие).
Платон. Собрание сочинений в четырёх томах / Общая редакция А. Ф. Лосева и В. Ф. Асмуса. — СПб.: Издательство Санкт-Петербургского университета:, 2007. — Т. 2. — 626 с. — ISBN 978-5-288-04160-0.
Гомперц Т. Греческие мыслители / Перевод с немецкого Д. Жуковского и Е. Герцык. Научная редакция нового издания, комментарии, примечания и предисловие А. В. Цыба. — СПб.: Алетейя, 1999. — Т. 2.
Зубов В. Эвклид из Мегары // Философская энциклопедия / Институт философии АН СССР. Главный редактор Ф. В. Константинов. — М.: Советская энциклопедия, 1970. — Т. 5. — С. 531.
Льюис Д. Г. Античная философия: От Евклида до Прокла. — Мн.: Галаксиас, 1998. — 224 с. — (История философии в биографиях). — ISBN 985-6269-14-8.
Döring Klaus. Eukleides aus Megara und die Megariker // Grundriss der Geschichte der Philosophie. Die Philosophie der Antike (нем.) / Hellmut Flashar (Hrsg.). — Basel: Schwabe&Co. Verlag, 1998. — Bd. 2/1. — ISBN 3-7965-1036-1.

Личная жизнь

О личной жизни Евклида мы практически ничего не знаем. Согласно одному преданию царь Птолемей, захотевший познать геометрию, обратился к математику за помощью.

Царь попросил Евклида показать ему легчайший путь к знаниям, на что мыслитель ответил: «К геометрии нет царской дороги». В результате данное высказывание стало крылатым.

Существуют доказательства, что Евклид открыл при Александрийской библиотеке частную математическую школу.

До наших дней не дошло ни одного достоверного портрета ученого. По этой причине все картины и скульптуры Эвклида являются просто плодом воображений их авторов.

Смерть и наследие

Год и причины смерти Евклида остаются для человечества тайной. В литературе встречаются туманные намёки на то, что он мог умереть около 260 г. до н.э. Наследие, оставленное учёным после себя, куда более значимо, чем впечатление, которое он производил при жизни. Его книги и труды продавались по всему миру до самого XIX века. Наследие Евклида пережило учёного на целых 200 веков, и служило источником вдохновения для таких личностей, как, например, Авраам Линкольн. По слухам, Линкольн всегда суеверно носил при себе «Начала», и во всех своих речах цитировал работы Евклида. Даже после смерти учёного, математики разных стран продолжали доказывать теоремы и издавать труды под его именем. В общем и целом, в те времена, когда знания были закрыты для широких масс, Евклид логическим и научным путём создал формат математики древности, который в наши дни известен миру под названием «евклидовой геометрии».

Философия

Евклид развивал философскую концепцию Платона о 4 элементах, которым сопоставляются 4 правильных многогранника:

огонь – тетраэдр;
воздух – октаэдр;
земля – куб;
вода – икосаэдр.

В таком контексте «Начала» могут пониматься, как оригинальное учение о построении «платоновых тел», т. е. 5 правильных многогранников.

Доказательство возможности построения подобных тел завершается утверждением того, что никаких иных правильных тел, кроме представленных 5, просто нет.

Стоит заметить, что для теорем и постулатов Евклида характерна причинно-следственная связь, помогающая увидеть логическую цепочку умозаключений автора.

Учение

Единое Благо

Учение Евклида сочетает идеи философской школы элеатов, в частности Парменида, и Сократа. Для Сократа добродетель едина, её содержание — благо. У элеатов всё сущее — едино. У Евклида эти два утверждения слились. Подобно элеатам и Пармениду Евклид утверждал, что существует некая единая и неизменная сущность, которая познаётся лишь разумом. Она, соответственно разным сторонам её восприятия, имеет название Мудрости, Бога, Разума и т. п. Лишь это единое «Добро» существует в действительности, всё остальное, противоположное ему, имеет временное и преходящие бытие. Монизм Евклида состоял в признании существовании лишь одной добродетели и одного бытия, которые в его философии неотделимы от понятия Бога. Таким образом Евклид придал учению элеатов этический характер философии Сократа.

Бытие для «мегариков» представляет нечто вечное, неделимое, неизменное, неподвижное Благо. В этой концепции они продолжают учение Сократа, который рассматривал вопросы определения «добродетели». Его ответы зачастую были противоречивыми и неясными. Определение «добродетели» практически невозможно с позиции релятивизма. То, что есть благо для одного, будет злом для другого. Евклид вводит понятие Блага-абсолюта. Оно единственное, что существует, всё остальное — видимая иллюзия. Справедливость, мудрость и другие понятия представляют собой разные стороны единого Блага.

Диалектика

Диалектика Евклида имеет существенные противоречия с методом Сократа. Сократ выводил новые заключения из первоначальных, не вызывающих сомнение, утверждений; переходил от общеизвестного к менее известному. Евклид отрицал способ рассуждения по аналогии. Ведь при таком методе поиска истины выводы происходят из аналогий на сходное, либо на несходное. В случае сходного лучше обращаться к самому предмету, несходного — сама аналогия неуместна и выводы такого сравнения закономерно окажутся ошибочными. Евклид критиковал не исходные утверждения, а выводимые из них заключения. По утверждению Диогена Лаэртского, Евклид строил доказательства апагогически, то есть показывая абсурдность следствия. Таким образом он, будучи учеником Сократа, нашёл наиболее слабый аспект метода познания своего учителя, который предполагал рассуждение по аналогии.

Ни одно, из упомянутых в античных источниках, шести сочинений Евклида (сократические диалоги «Ламприй», «Эсхин», «Феникс», «Критон», «Алкивиад» и «О любви») не сохранилось.

В начале XX века было распространено мнение, что у Евклида и «мегариков» было некое, сходное с теорией идей Платона, учение. Их отождествляли с «друзьями идей», которых Платон раскритиковал в «Софисте». Данная гипотеза не получила должной поддержки и была отвергнута.

Начала Евклида[править | править код]

Основная статья: Начала Евклида

Ватиканский манускрипт, т.1, 38v — 39r. Euclid I prop. 47 (теорема Пифагора).

Основное сочинение Евклида называется Начала. Книги с таким же названием, в которых последовательно излагались все основные факты геометрии и теоретической арифметики, составлялись ранее Гиппократом Хиосским, Леонтом и Февдием. Однако Начала Евклида вытеснили все эти сочинения из обихода и в течение более чем двух тысячелетий оставались базовым учебником геометрии. Создавая свой учебник, Евклид включил в него многое из того, что было создано его предшественниками, обработав этот материал и сведя его воедино.

Начала состоят из тринадцати книг. Первая и некоторые другие книги предваряются списком определений. Первой книге предпослан также список постулатов и аксиом. Как правило, постулаты задают базовые построения (напр., «требуется, чтобы через любые две точки можно было провести прямую»), а аксиомы — общие правила вывода при оперировании с величинами (напр., «если две величины равны третьей, они равны между собой»).

В I книге изучаются свойства треугольников и параллелограммов; эту книгу венчает знаменитая теорема Пифагора для прямоугольных треугольников. Книга II, восходящая к пифагорейцам, посвящена так называемой «геометрической алгебре». В III и IV книгах излагается геометрия окружностей, а также вписанных и описанных многоугольников; при работе над этими книгами Евклид мог воспользоваться сочинениями Гиппократа Хиосского. В V книге вводится общая теория пропорций, построенная Евдоксом Книдским, а в VI книге она прилагается к теории подобных фигур. VII–IX книги посвящены теории чисел и восходят к пифагорейцам; автором VIII книги, возможно, был Архит Тарентский. В этих книгах рассматриваются теоремы о пропорциях и геометрических прогрессиях, вводится метод для нахождения наибольшего общего делителя двух чисел (известный ныне как алгоритм Евклида), строится чётные совершенные числа, доказывается бесконечность множества простых чисел. В X книге, представляющей собой самую объёмную и сложную часть Начал, строится классификация иррациональностей; возможно, что её автором является Теэтет Афинский. XI книга содержит основы стереометрии. В XII книге с помощью метода исчерпывания доказываются теоремы об отношениях площадей кругов, а также объёмов пирамид и конусов; автором этой книги по общему признанию является Евдокс Книдский. Наконец, XIII книга посвящена построению пяти правильных многогранников; считается, что часть построений была разработана Теэтетом Афинским.

В дошедших до нас рукописях к этим тринадцати книгам прибавлены ещё две. XIV книга принадлежит александрийцу Гипсиклу (ок. 200 г. до н.э.), а XV книга создана во время жизни Исидора Милетского, строителя храма св. Софии в Константинополе (начало VI в. н. э.).

Начала предоставляют общую основу для последующих геометрических трактатов Архимеда, Аполлония и других античных авторов; доказанные в них предложения считаются общеизвестными. Комментарии к Началам в античности составляли Герон, Порфирий, Папп, Прокл, Симпликий. Сохранился комментарий Прокла к I книге, а также комментарий Паппа к X книге (в арабском переводе). От античных авторов комментаторская традиция переходит к арабам, а потом и в Средневековую Европу.

В создании и развитии науки Нового времени Начала также сыграли важную идейную роль. Они оставались образцом математического трактата, строго и систематически излагающего основные положения той или иной математической науки.

Мегарики

Евклид

Учеников Евклида часто именовали эристиками — спорщиками, позже мегариками (οί μεγαρικοί), еще позже диалектиками. В с связи с тем, что школа философии мегариков вышла из учений Сократа и получила название сократической, необходимо полагать, что и значимую основу учений и методов Сократа мегарики взяли себе на вооружение. Эта основа состояла в этической и метафизической составляющей. Также нельзя не упомянуть того факта, что мегарская школа получила огромное влияние софистов и элеатов, что серьезно отразилось на их концепциях. Необходимо подчеркнуть, что сначала мегарики строили свои парадигмы вокруг сократовской этики и концепции единства бытия элеатов немногим позже начали использовать и логику, используя методику Сократа вопросов и ответов и теорию о парадоксах Зенона Элейского.

Учение мегарской школы

К одному из подобных парадоксов относится следующий тезис одного из представителей мегарской школы: «истинно или ложно высказывание «Я лгу»?». Также широко известны апории Евбулида «Сорит», или «Куча» (с какого момента появится куча, если прибавлять по одному зерну? Возникает ли куча в результате прибавления одного зерна?) и «Лысый» (с какого момента человек становится лысым, если волосы с головы выпадают по одному?)

Стилпон утверждал, что если кто-то говорит «человек» не называя конкретно ни одного человека, то, следовательно, говорит «никто», отвергая таким образом все общие понятия. Филон, ученик Стилпона и другие представители школы проводили исследования разных формы логической импликации. Диодор Крон отрицал движение, утверждая, что ничего не движется, но оказывается продвинувшимся, также отождествлял возможное и действительное.

Наибольшую значимость в общем учении мегарской школы имеют два направления:

Мегарики и Аристотель. Аристотель критикует мегариков за неструктурные учения о возможности.
Мегарики и стоики. Нельзя оспаривать и проникновение идей стоицизма в основы учения мегариков и влияние мегарской школы, а точнее пропозициональной логики на становление различного рода учения стоиков.

Стоики и представители течения диалектиков, вышедшие из поздних мегариков, создали иную, ярко отличающуюся от Аристотелевской логику.

В подобной логике за основную единицу могли быть приняты уже не предикаты, а целые высказывания. Мегарская школа оказала большое влияние на развитие логики.

Постулаты

В Элементы Евклид предлагает 5 постулатов, а именно:

1- Существование двух точек может привести к линии, которая их объединяет.

2- Возможно, что любой сегмент непрерывно удлиняется по прямой линии без ограничений, направленных в одном направлении.

3- Можно нарисовать центральный круг в любой точке и с любым радиусом.

4- Все прямые углы равны.

5- Если линия, которая пересекает две другие линии, образует углы, меньшие, чем прямые линии на той же стороне, эти линии, продолжающиеся бесконечно, разрезаются в области, в которой находятся эти меньшие углы.

Пятый постулат позже был сформулирован иначе: поскольку есть точка вне линии, через нее можно провести только одну параллель.

Евклид и античная философия[править | править код]

Йос ван Вассенхове (Юстус из Гента). Евклид, ок. . Урбино

Уже со времён пифагорейцев и Платона арифметика, музыка, геометрия и астрономия (т.наз. «математические» науки) рассматривались в качестве образца систематического мышления и предварительной ступени для изучения философии. Не случайно возникло предание, согласно которому над входом в платоновскую Академию была помещена надпись «Да не войдёт сюда не знающий геометрии».

Геометрические чертежи, на которых при проведении вспомогательных линий неявная истина становится очевидной, служат иллюстрацией для учения о припоминании, развитого Платоном в Меноне и других диалогах. Предложения геометрии потому и называются теоремами, что для постижения их истины требуется воспринимать чертёж не простым чувственным зрением, но «очами разума». Всякий же чертёж к теореме представляет собой идею: мы видим перед собой эту фигуру, а ведём рассуждения и делаем заключения сразу для всех фигур одного с ней вида.

Некоторый «платонизм» Евклида связан также с тем, что в Тимее Платона рассматривается учение о четырёх элементах, которым соответствуют четыре правильных многогранника (тетраэдр — огонь, октаэдр — воздух, икосаэдр — вода, куб — земля), пятый же многогранник, додекаэдр, «достался в удел фигуре вселенной». В связи с этим Начала могут рассматриваться как развёрнутое со всеми необходимыми посылками и связками учение о построении пяти правильных многогранников — так называемых «платоновых тел», завершающееся доказательством того факта, что других правильных тел, кроме этих пяти, не существует.

Для аристотелевского учения о доказательстве, развитого во Второй аналитике, Начала также предоставляют богатый материал. Геометрия в Началах строится как выводная система знаний, в которой все предложения последовательно выводятся одно за другим по цепочке, опирающейся на небольшой набор начальных утверждений, принятых без доказаельства. Согласно Аристотелю, такие начальные утверждения должны иметься, так как цепочка вывода должны где-то начинаться, чтобы не быть бесконечной. Далее, Евклид старается доказывать утверждения общего характера, что тоже соответствует любимому примеру Аристотеля: «если всякому равнобедренному треугольнику присуще иметь углы, в сумме равные двум прямым, то это присуще ему не потому что он равнобедренный, а потому что он треугольник» (An. Post. 85b12).

Причины значимости

Эта работа Евклида имела большое значение по разным причинам. В первую очередь, качество отраженных в нем знаний привело к тому, что текст использовался для обучения математике и геометрии на уровне базового образования.

Как упоминалось выше, эта книга продолжала использоваться в академических кругах до 18 века; Другими словами, он действовал примерно 2000 лет.

Игра Элементы Это был первый текст, с помощью которого можно было войти в область геометрии; Благодаря этому тексту впервые можно было провести глубокие рассуждения, основанные на методах и теоремах.

Во-вторых, способ, которым Евклид организовал информацию в своей работе, также был очень ценным и трансцендентным. Структура состояла из заявления, которое было достигнуто как следствие существования нескольких принципов, ранее принятых. Эта модель также была принята в области этики и медицины.

Философия

Евклид из Мегары переодевается женщиной, чтобы слушать учение Сократа в Афинах, к Доменико Мароли, c. 1650

Сам Евклид написал шесть диалогов — Ламприи, то Эсхин, то Феникс, то Crito, то Алкивиад, а Amatory диалог — но никто не выжил. Основным дошедшим до нас источником его взглядов является краткое изложение его взглядов. Диоген Лаэртиус. Философия Евклида была синтезом Eleatic и идеи Сократа. Сократ утверждал, что величайшее знание — это понимание добра. Элеаты утверждали, что величайшим знанием является единое универсальное Существо мира. Смешивая эти две идеи, Евклид утверждал, что добро — это знание этого существа. Таким образом, этот товар — единственное, что существует и имеет много названий, но на самом деле это одно. Он отождествлял элеатскую идею «Единого» с сократовской.Форма добра, «который он называл» Разум «,» Бог «,» Разум «,» Мудрость «и т. д. Это была истинная суть существование, и был вечным и неизменным. Идея универсального блага также позволила Евклиду отказаться от всего плохого, потому что он утверждал, что добро покрывает все вещи на Земле своими многочисленными именами. Евклид принял идею Сократа о том, что знание — это добродетель, и что единственный способ понять неизменный мир — это изучение философии. Евклид учил, что сами добродетели — это просто знание единого блага или Существа. Как он сказал: «Добро — Одно, но мы можем называть его несколькими именами, иногда мудростью, иногда Богом, иногда разумом», и он заявил: «Противоположности Добра не существует».

Евклида также интересовали концепции и дилеммы логика. Евклид и его последователи-мегарцы использовали диалог и эристический способ отстоять свои идеи. Эристический метод позволял им доказывать свои идеи, опровергая идеи того, с кем они спорили, и, следовательно, косвенно доказывал свою точку зрения (видеть сокращение до абсурда ). Нападая на демонстрацию, он атаковал не исходные посылки, а выводы, что, предположительно, означает, что он пытался опровергнуть своих оппонентов, сделав из их выводов абсурдные последствия. Он также отверг аргумент по аналогии. Его доктринальные наследники, Стоик логики, открыли самую важную школу логики в древности, кроме Аристотель с перипатетики.

Смерть

Предположительно, Евклид скончался в 260-тых годах до нашей эры. Точные причины смерти не известны. Наследие ученого пережило его на две тысячи лет и вдохновляло многих великих людей спустя столетия после его кончины.

Существует мнение, что политический деятель Авраам Линкольн любил цитировать высказывания Евклида в своих речах и имел при себе несколько томов «Начал».

Статуя Евклида

Ученые последующих лет базировали труды на работах Евклида. Так, русский математик Николай Лобачевский использовал материалы древнегреческого мыслителя для разработки гиперболической геометрии, или геометрии Лобачевского. Формат математики, который создал Евклид, ныне известен как «евклидова геометрия». Ученый также создал прибор для определения высоты тона струны и изучал интервальные соотношения, поспособствовав созданию клавишных музыкальных инструментов.

Биография Евклида

Евклид родился в середине 4-го века до нашей эры и жил в Александрии, на территории Египта; пик его творческой деятельности пришелся на время правления Птолемея I (323-283 до н.э), а его имя Евклид означает «известный, славный». В некоторых источниках он также упоминается, как Евклид Александрийский.

Вероятно, Евклид работал с командой математиков в Александрии, и он получил степень при помощи его математических работ. Некоторые историки считают, что работы Евклида, возможно, были результатом нескольких авторов, но большинство согласны с тем, что один человек – Евклид – был главным автором.

Вполне вероятно, что Евклид учился в Академии Платона в Афинах, и большая часть его знаний пришла оттуда. Именно там он впервые познакомился с математикой, а именно с одной ее частью – геометрией.

Современники описывали его, как доброго, приятного в общении человека. Например, историк Папп пишет, что Евклид был

О личной жизни математика неизвестно – почти все время он посвящал науке.

Философия

Евклид из Мегары переодевается женщиной, чтобы слушать учение Сократа в Афинах, к Доменико Мароли, c. 1650

биография

Точная дата рождения Евклида неизвестна. Исторические записи позволяют определить местонахождение его рождения где-то около 325 г. до н.э.

Что касается его образования, то считается, что оно имело место в Афинах, поскольку работа Евклида показала, что он глубоко знал геометрию, которая была порождена платонической школой, разработанной в этом греческом городе.

Этот аргумент остается в силе до тех пор, пока из этого не следует, что Евклид, похоже, не знал работ афинского философа Аристотеля; По этой причине нельзя окончательно утверждать, что формирование Евклида произошло в Афинах.