Непрерывные дроби в математике с примерами решения и образцами выполнения

Цепная дробь.doc

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ЛЕСНОГО ХОЗЯЙСТВА РФ

ПО ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКОЙ РАБОТЕ №

Студент 1 курса гр. 11Б-Л Кардапольцев А.О.

Преподаватель: Коновалова Е.Г.

Непрерывная дробь- — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — 4

Разложение в цепную дробь — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — 5

Приближение вещественных чисел рациональными — — 6

Историческая справка — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — 7

Библиографический список — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — 9

Целью моей исследовательской работы является исследование теории цепных дробей. В ней я попытаюсь раскрыть свойства подходящих дробей, особенности разложения действительных чисел в неправильные дроби, погрешности, которые возникают в результате этого разложения, и применение теории цепных дробей для решения ряда алгебраических задач.

Цепные дроби были введены в 1572 году итальянским математиком Бомбелли. Современное обозначение непрерывных дробей встречается у итальянского математика Катальди в 1613 году

Величайший математик XVIII века Леонардо Эйлер первый изложил теорию цепных дробей, поставил вопрос об их использовании для решения дифференциальных уравнений, применил их к разложению функций, представлению бесконечных произведений, дал важное их обобщение

Работы Эйлера по теории цепных дробей были продолжены М. Софроновым (1729-1760), академиком В.М. Висковатым (1779-1819), Д. Бернулли (1700-1782) и др. Многие важные результаты этой теории принадлежат французскому математику Лагранжу, который нашел метод приближенного решения с помощью цепных дробей дифференциальных уравнений.

Цепная дробь (или непрерывная дробь) — это математическое выражение вида

где aесть целое число и все остальные a_nнатуральные числа (то есть неотрицательные целые). Любое вещественное число можно представить в виде цепной дроби (конечной или бесконечной). Число представляется конечной цепной дробью тогда и только тогда, когда оно рационально. Число представляется периодической цепной дробью тогда и только тогда, когда оно является квадратичной иррациональностью.

2. Подходящие дроби

n-ой подходящей дробью для цепной дроби , называется конечная цепная дробь , значение которой равно некоторому рациональному числу . Подходящие дроби с чётными номерами образуют возрастающую последовательность, предел которой равен x. Аналогично, подходящие дроби с нечётными номерами образуют убывающую последовательность, предел которой также равен x.

Эйлер вывел рекуррентные формулы для вычисления числителей и знаменателей подходящих дробей:

Таким образом, величины p_n и q_n представляются значениями континуант:

Последовательности и являются возрастающими.

Числители и знаменатели соседних подходящих дробей связаны соотношением:

p_nq_{n — 1} — q_np_{n — 1} = ( — 1)n — 1,

(1)

которое можно переписать в виде

Откуда следует, что

История цепных выстрелов

Снимки цепей были введены в 1572 году итальянским математиком Бомбелли. Современное название непрерывной дроби встречается в 1613 году в итальянском математике Катальди

Величайший математик XVIII века Леонардо Эйлер первым описал теорию цепных выстрелов, поставил вопрос о ее использовании при решении дифференциальных уравнений, применил ее для разложения функций, для представления бесконечных работ и сделал важное обобщение

Работа Эйлера над теорией цепных выстрелов была продолжена М. Софроновым (1729-1760), академиком В. Висковатымом (1779-1819), Д. Бернулли (1700-1782) и другими. Многие важные результаты этой теории принадлежат французскому математику Лагранжу, который нашел метод приближенного решения с непрерывными долями дифференциальных уравнений.

Алгоритм Евклида позволяет найти представление (или разложение) любого рационального числа в виде непрерывной дроби. Частичные частные последовательные деления в системе уравнений получаются как непрерывные дробные элементы, поэтому непрерывные дробные элементы также называют частичными частными. Кроме того, уравнения системы показывают, что процесс разложения на цепную фракцию состоит из последовательного разделения всей части и превращения фракции.

Непрерывная дробь

Непрерывная дробь удовлетворяла бы физическим условиям, наложенным на Ь, но соотношение (34.8) приводит к простейшей форме статистического распределения по объему для / V галактик / ( / V), которое хорошо согласуется с результатами численных экспериментов. Таким образом, оно кажется разумным приближением, хотя строгую связь его с цепочкой уравнений ББГКИ еще предстоит исследовать. Иногда, для того чтобы продвинуться вперед, необходимо разрубить гордиев узел.

Непрерывная дробь (19.7) получается путем деления числителей функции Z ( р) и соответствующих остатков на знаменатели, начиная со слагаемых низших степеней. Схемы на рис. 19.3, а и б называют каноническими схемами К а у э — ра.

Непрерывные дроби имеют красивую теорию, которой посвящен целый ряд книг, например: О.

Непрерывные дроби для квадратичных иррациональностей имеют много приятных свойств, которые доказываются в упр.

Исли непрерывная дробь (4.1) имеет заданное разложение в ряд Тейлора, то ее элементы a, bt по формулам (4.8) — (4.12) определяются однозначно с точностью до эквивалентного преобразования; условия (4.13) определяют эти элементы однозначно.

Если данная непрерывная дробь с положительными членами сходится и если разлагая данное число z в непрерывную дробь рассматриваемого вида, мы не встретим ( как бы далеко разложение ни продолжали) ни одного числа z, меньшего нуля, то z равняется данной дроби.

Теория непрерывных дробей исторически ВОЭКИЕ-Л; из потребности замены рациональной дроби с большими числителей и з ж енгтедем другой рациональной дробью, у которой числитель и знаменатель были бы значительно меньше ( и меньше некоторого наперед заданного числа) и такой, чтобы ока по своей величине кал когло: и ьшг отличалась от исходной дробя. Необходимо заменить дробь 13o5 / a4S дробью Pk / Jh, где qk должно быть меньше J.

Алгоритм непрерывных дробей в арифметике, применяемый для приближенного представления иррациональных чисел с помощью рациональных, был распространен на функции — с целью приближенного представления иррациональных функций рациональными.

Способ непрерывных дробей заключается в том, что полученное передаточное отношение в виде простой дроби, не поддающейся разложению на множители, обращают в непрерывную дробь, допуская заранее некоторую неточность с целью получения из непрерывной дроби более удобного значения передаточного отношения.

Теория непрерывных дробей исторически возникла из потребности замены рациональной дроби с большими числителем и знаменателем другой рациональной дробью, у которой числитель и знаменатель были бы значительно меньше ( и меньше некоторого наперед заданного числа) и такой, чтобы она по своей величине как можно меньше отличалась от исходной дроби. Необходимо заменить дробь 1355 / 946 дробью Р / Ч где q должно быть меньше 100, а также сцепить погрешность, возникающую при такой замене. Представим дробь 1355 / 946 в виде непрерывной дроби и вычислим подходящие дроби.

В действительности непрерывная дробь (7.20) есть в точности дробь ( 1; 4.6.8), хотя метод ее построения совершенно иной.

Известны также другие непрерывные дроби для некоторых специальных функций, которые являются аппроксимациями Паде

В теории непрерывных дробей вводится также понятие бесконечной непрерывной дроби и доказывается, что любое действительное число может быть единственным образом записано в виде непрерывной дроби. При этом рациональные числа записываются в виде конечных, а иррациональные — в виде бесконечных непрерывных дробей.

Обобщение алгоритма непрерывных дробей, теория целых алгебраических чисел, относительные минимумы ковариант-ных форм, наконец, геометрия чисел — во всех этих областях Г. Ф. Вороному принадлежат фундаментальные результаты, и вместе с Минковским он по праву считается основателем геометрической теории чисел. Во многих вопросах Вороной продолжил и развил исследования Эр-мита и Дирихле и русских математиков Коркина, Золотарева, А.

Из теории непрерывных дробей известно, что полная величина непрерывной дроби заключается между каждыми двумя рядом стоящими приближениями. Поскольку q0 — величина малая в нашем случае, то значения Ьп и 612 незначительно отличаются между собой, а следовательно, можно вполне ограничиться вторым приближением.

Открытые проблемы

Предпринимались попытки найти закономерности в разложениях в непрерывную дробь кубических иррациональностей, а также других алгебраических чисел степени, большей 2, и трансцендентных чисел. Для некоторых трансцендентных чисел можно найти простую закономерность. Например, основание натурального логарифма представимо в виде

e=2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,…,1,1,2n−2,1,1,2n,…,{\displaystyle e=,}

а тангенс угла в 1 радиан — в виде

tg⁡1=1;1,1,3,1,5,1,7,…,1,2n+1,1,2n+3,….{\displaystyle \operatorname {tg} 1=.}

У числа π{\displaystyle \pi } простой закономерности не видно:

π=3;7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,14,2,1,1,2,2,2,2,1,84,2,1,1,15,…{\displaystyle \pi =}

Однако для обобщённой непрерывной дроби (см. ниже раздел ) прослеживается ясная закономерность.

Неизвестно, ограничены ли сверху неполные частные разложения таких чисел, как 23{\displaystyle {\sqrt{2}}} или π{\displaystyle \pi }.

7. Мотивация

Непрерывные дроби являются самыми «математически естественными» представлениями вещественных чисел.

Большинство людей знакомы с десятичным представлением вещественных чисел, которое может быть определено как

где a может быть любым целым числом, а последующие a_i являются одним из элементом {0,1,2,…,9}. В этом представление, число π, к примеру, может быть представлено как последовательность целых чисел .

Это десятичное представление имеет несколько проблем. Одна из них, многие рациональные числа не имеет конечного представления в этой системе. Например, число 1/3 представимо бесконечной последовательностью (0,3,3,3,3,…). Другая проблема заключается в том, что константа 10 является по сути произвольным выбором, который оказывает предпочтение числам, которые как-либо относятся к целому числу 10. Например, 137/1600 имеет конечное десятичное представление, тогда как 1/3 не имеет, не потому, что 137/1600 проще чем 1/3, а всего лишь потому, что 1600 делит степень 10 (106 = 1600 × 625). Запись как цепная дробь является представлением вещественных чисел, которая не имеет этих проблем.

Давайте рассмотрим как мы можем описать число, такое как 415/93, которое примерно равняется 4,4624. Это примерно 4.Вообще-то это чуть больше чем 4, около 4 + 1/2. Но 2 в знаменателе не совсем точно; там должно быть число чуть больше чем 2, примерно 2 + 1/6. Таким образом, 415/93 примерно равняется 4 + 1/(2 + 1/6). Но 6 в знаменателе не верно; настоящее значение чуть больше 6, 6+1/7. Таким образом, 415/93 является 4+1/(2+1/(6+1/7). Это точное значение.

Опуская некоторые обязательные части в выражении 4 + 1 / (2 + 1 / (6 + 1 / 7)) мы получим краткую нотацию . (Заметьте, что общепринято заменять только первую запятую точкой с запятой).

Представление как непрерывная дробь вещественного числа может быть определена таким образом. Она имеет несколько желательных свойств:

Представление как непрерывная дробь конечно тогда и только тогда когда число является рациональным.

Каждое рациональное число имеет по-существу единственное представление как непрерывная дробь. Каждое рациональное число можно представить в точности двумя способами, т.к. = . Математики предпочитают иметь взаимно-однозначное соответствие между рациональными числами и цепными дробями; первая, более короткая нотация выбрана в качество каноническое представления.

Представление как непрерывная дробь иррационального числа единственно.

Цепная дробь является периодической тогда и только тогда, когда число является квадратичной иррациональностью, т.е. имеет форму

для целых a, b, c, d; где b и d не ноль и c>1 и c не является точным квадратом.

К примеру, периодическая непрерывная дробь является золотым сечением, а периодическая непрерывная дробь является квадратным корнем из 2.

Раннее усечение представления числа x в виде цепной дроби приводит к рациональному приближению x, которая в определенном смысле является «наилучшим» рациональным приближением.

Последнее свойство чрезвычайно важно. У десятичного представления числа его нет

Усечение десятичного представления числа приводит к рациональному приближению числа, но обычно к не очень хорошему приближению. К примеру, усечение 1/7 = 0.142857… в разных местах приводит к приближениям таким как 142/1000, 14/100 и 1/10. Но очевидно лучшим рациональным приближением будет само число «1/7». Обрывая десятичное представление π мы получаем приближения такие как 31415/10000 и 314/100. Цепная дробь π начинается . Усекая это представление мы получаем отличные рациональные приближение 3, 22/7, 333/106, 355/113, 103993/33102, …. Знаменатели 314/100 и 333/106 почти одинаковые, но ошибка в приближении 314/100 в девятнадцать раз больше ошибки, чем в приближении 333/106. Как приближении π, более чем в сто раз точнее приближения 3,1416.

Мотивация

Непрерывные дроби дают самое «математически естественное» представление вещественных чисел.

где a может быть любым целым числом, а последующие a_i — элементы множества {0,1,2,…,9}. В этом представлении число π, к примеру, может быть представлено как последовательность целых чисел .

Это десятичное представление имеет несколько проблем. Одна из них: многие рациональные числа не имеют конечного представления в этой системе. Например, число 1/3 представимо бесконечной последовательностью (0,3,3,3,3,…). Другая проблема заключается в том, что константа 10 выбрана, по сути, произвольно, мы оказываем предпочтение числам, которые как-либо связаны с целым числом 10. Например, 137/1600 имеет конечное десятичное представление, тогда как 1/3 не имеет, не потому, что 137/1600 проще, чем 1/3, а всего лишь потому, что 1600 делит некоторую степень 10 (106 = 1600 × 625). Запись в виде цепной дроби не имеет этих проблем.

Давайте рассмотрим, как мы можем описать число 415/93, которое примерно равняется 4,4624. Это примерно 4. Вообще-то это чуть больше, чем 4, около 4 + 1/2. Но 2 в знаменателе не совсем точно; там должно быть число чуть больше, чем 2, примерно 2 + 1/6. Таким образом, 415/93 примерно равняется 4 + 1/(2 + 1/6). Но 6 в знаменателе неточно; настоящее значение чуть больше 6: это 6+1/7. Таким образом, 415/93 = 4+1/(2+1/(6+1/7)). Это точное равенство.

Опуская некоторые обязательные части в выражении 4 + 1 / (2 + 1 / (6 + 1 / 7)), мы получим краткую нотацию . (Заметим, что общепринято заменять только первую запятую точкой с запятой.)

Представление вещественного числа в виде непрерывной дроби может быть определено таким образом. Оно имеет несколько желательных свойств:

Непрерывная дробь конечна тогда и только тогда, когда число является рациональным.

Каждое рациональное число имеет, по существу, единственное представление непрерывной дробью. Каждое рациональное число можно представить в точности двумя способами, так как = . Математики предпочитают иметь взаимно-однозначное соответствие между рациональными числами и цепными дробями; первая, более короткая нотация выбрана в качестве канонического представления.

Представление непрерывной дробью иррационального числа единственно (если не использовать дроби с последним числом 1).

Цепная дробь является периодической тогда и только тогда, когда число является квадратичной иррациональностью, то есть имеет вид

для целых a, b, c, d; где b и d не ноль, c>1 и c не являются точными квадратами.

Отбрасывание «хвоста» цепной дроби, равной числу x, приводит к рациональному приближению x, которое в определенном смысле является «наилучшим» рациональным приближением.

Последнее свойство чрезвычайно важно. У десятичного представления числа его нет

Усечение десятичного представления числа приводит к рациональному приближению числа, но обычно к не очень хорошему приближению. К примеру, усечение 1/7 = 0.142857… в разных местах приводит к приближениям, в частности, 142/1000, 14/100 и 1/10. Но, очевидно, лучшим рациональным приближением будет само число «1/7». Обрывая десятичное представление π, мы получим, например, приближения 31415/10000 и 314/100. Цепная дробь π начинается так: . Обрывая это представление, мы получаем отличные рациональные приближения 3, 22/7, 333/106, 355/113, 103993/33102, …. Знаменатели 314/100 и 333/106 почти одинаковые, но ошибка в приближении 314/100 в девятнадцать раз больше ошибки в приближении 333/106. Как приближение π, более чем в сто раз точнее приближения 3,1416.

Повреждения дробью из газового ствольного оружия, Бабаханян Р.В., Исаков В.Д., Варданян Ш.А., 2002

Книги и учебники — Книги по юриспруденции и праву

Повреждения дробью из газового ствольного оружия, Бабаханян Р.В., Исаков В.Д., Варданян Ш.А., 2002. Экспертиза огнестрельной травмы всегда являлась и продолжает оставаться одной из наиболее актуальных проблем судебно-медицинской травматологии. Это связано со многими причинами, в том числе постоянным увеличением количества таких случаев. Так, например, число преступлений, совершенных с использованием огнестрельного оружия, боеприпасов и взрывных устройств в России в 1991 году составило 4 481, а в 1997 году уже было зарегистрировано 19 650.Наряду с традиционным огнестрельным оружием, постоянно появляются его новые виды, в частности, газовое ствольное оружие самообороны. Конструктивные особенности некоторых моделей такого оружия позволяют использовать при стрельбе дробь в качестве поражающего фактора.Целью настоящей монографии является ознакомление судебно-медицинских экспертов, экспертов-криминалистов и сотрудников правоохранительных органов с современными данными о газовом ствольном оружии комбинированного действия (огнестрельно-газовом) и возникающих при выстрелах из него дробовых повреждений.

Историческая справка

Античные математики умели
представлять отношения несоизмеримых
величин в виде цепочки последовательных
подходящих отношений, получая эту цепочку
с помощью алгоритма Евклида. По-видимому,
именно таким путём Архимед получил приближение:

— это 12-я подходящая дробь для

или
от 4-й подходящей дроби для
.

В V веке индийский математик Ариабхата применял
аналогичный «метод измельчения» для
решения неопределённых уравнений первой
и второй степени. С помощью этой же техники
было, вероятно, получено известное приближение
для числа π (355/113). В XVI веке Рафаэль Бомбелли извлекал
с помощью цепных дробей квадратные корни
(см. его алгоритм).

Начало современной
теории цепных дробей положил в 1613 году Пьетро
Антонио Катальди. Он отметил основное
их свойство (положение между подходящими
дробями) и ввёл обозначение, напоминающее
современное. Позднее его теорию расширил Джон
Валлис, который и предложил термин «непрерывная
дробь». Эквивалентный термин «цепная
дробь» появился в конце XVIII века.

Применялись эти дроби
в первую очередь для рационального
приближения вещественных чисел; например, Христиан
Гюйгенс использовал их для проектирования
зубчатых колёс своего планетария. Гюйгенс
уже знал, что подходящие дроби всегда
несократимы и что они представляют наилучшее
рациональное приближение.

В XVIII веке теорию цепных
дробей в общих чертах завершили Леонард
Эйлер и Жозеф Луи Лагранж.

Заключение

Данная
исследовательская работа показывает
значение цепных дробей в математике.

Их
можно успешно применить к решению
неопределенных уравнений вида

ax+by=c.

Основная
трудность при решении таких
уравнений состоит в том, чтобы
найти какое-нибудь его частное
решение. Так вот, с помощью цепных
дробей можно указать алгоритм для
разыскания такого частного решения.

Цепные
дроби можно применить и к
решению более сложных неопределенных
уравнений, например, так называемого
уравнения Пелля:

(
).

Бесконечные
цепные дроби могут быть использованы
для решения алгебраических и
трансцендентных уравнений, для быстрого
вычисления значений отдельных функций.

В
настоящее время цепные дроби
находят все большее применение
в вычислительной технике, ибо позволяют
строить эффективные алгоритмы
для решения ряда задач на ЭВМ.

Библиографический
список:

http://ru.wikipedia.org

Алгебра и
теория чисел. Под редакцией Н.Я. Виленкина,
М, “Просвещение”, 84.
И.М. Виноградов.
Основы теории чисел. М, “Наука”, 72.
А.А. Кочева.
Задачник-практикум по алгебре и теории
чисел. М, “Просвещение”, 84.
Л.Я. Куликов,
А.И. Москаленко, А.А. Фомин. Сборник задач
по алгебре и теории чисел. М, “Просвещение”,
93.

Е.С. Ляпин, А.Е. Евсеев.
Алгебра и теория чисел. М, “Просвещение”,

Примечания

↑
, с. 12.
, с. 18.
, с. 22, пункт 2.
Hardy, G. H.; Wright, E. M. Theorem 193 // An Introduction to the Theory of Numbers (англ.). — Fifth. — Oxford, 1979.
, с. 93—95.
M. Hall, On the sum and product of continued fractions, Annals of Math. 48 (1947) 966—993.
B. Diviš, On sums of continued fractions, Acta Arith. 22 (1973) 157—173.
T. W. Cusick and R. A. Lee, Sums of sets of continued fractions, Proc. Amer. Math. Soc. 30 (1971) 241—246.
, Х. М. Старк. Объяснение некоторых экзотических непрерывных дробей, найденных Бриллхартом, с. 155—156.
↑
последовательность A003417 в OEIS: разложение e в непрерывную дробь.
последовательность A093178 в OEIS: разложение tg1{\displaystyle \operatorname {tg} \,1} в непрерывную дробь.
последовательность A001203 в OEIS: разложение π{\displaystyle \pi } в непрерывную дробь.
последовательность A002945 в OEIS: разложение 23{\displaystyle {\sqrt{2}}} в непрерывную дробь.
На самом деле из-за постепенного замедления вращения Земли, и, соответственно, постепенного уменьшения числа суток в году, подобный календарь накопил бы фактическую ошибку в одни сутки уже через 4000 лет.
, с. 57.
Е. Ю. Смирнов. . МЦНМО (17 марта 2020). Дата обращения: 17 апреля 2020.
Хованский А. Н. Приложения цепных дробей и их обобщений к вопросам приближённого анализа (главы 1 и 2). — М.: Гостехиздат, 1956.
, с. 70—73.
.

1.2 Подходящие дроби.

Задаче разложения обыкновенной дроби в непрерывную дробь противостоит обратная задача – обращения или свертывания цепной дроби в простую дробь .

При этом основную роль играют дроби вида:

или

которые называются подходящими дробями данной непрерывной дроби или соответствующего ей числа .

Заметим, что = = . Считается, что подходящая дробь имеет порядокk.

Прежде чем приступить к вычислению подходящих дробей заметим, что переходит в , если в первой заменить выражением .

Имеем ,

, …,

при этом принимается, что , , , , , и так далее.

Закономерность, которую мы замечаем в построении формулы для (ее числителя и знаменателя ), сохраняется при переходе к и сохранится также при переходе отkк (k+1).

Поэтому, на основании принципа математической индукции, для любогоk, где , имеем

(1),

причем (2)

(3)

Далее, говоря о подходящих дробях (в свернутом виде), мы будем иметь в виду их форму .

Подходящие дроби

Подходящие дроби для золотого сечения

n-й («энной») подходящей дробью для цепной дроби x=a;a1,a2,a3,…{\displaystyle x=} называется конечная цепная дробь a;a1,…,an{\displaystyle }, значение которой есть некоторое рациональное число pnqn{\displaystyle p_{n}/q_{n}}. Подходящие дроби с чётными номерами образуют возрастающую последовательность, предел которой равен x{\displaystyle x}. Аналогично, подходящие дроби с нечётными номерами образуют убывающую последовательность, предел которой также равен x{\displaystyle x}. Таким образом, значение цепной дроби всегда находится между значениями соседних подходящих дробей.

Эйлер вывел рекуррентные формулы для вычисления числителей и знаменателей подходящих дробей:

p−1=1,p=a,pn=anpn−1+pn−2;{\displaystyle p_{-1}=1,\quad p_{0}=a_{0},\quad p_{n}=a_{n}p_{n-1}+p_{n-2};}

q−1=,q=1,qn=anqn−1+qn−2.{\displaystyle q_{-1}=0,\quad q_{0}=1,\quad q_{n}=a_{n}q_{n-1}+q_{n-2}.}

Таким образом, величины pn{\displaystyle p_{n}} и qn{\displaystyle q_{n}} являются полиномами от a,a1,…,an{\displaystyle a_{0},a_{1},\dots ,a_{n}}, называемыми континуантами:

pn=Kn+1(a,a1,…,an),{\displaystyle p_{n}=K_{n+1}(a_{0},a_{1},\dots ,a_{n}),}

qn=Kn(a1,a2,…,an).{\displaystyle q_{n}=K_{n}(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}).}

Последовательности как числителей {pn}{\displaystyle \{p_{n}\}}, так и знаменателей {qn}{\displaystyle \{q_{n}\}} подходящих дробей являются строго возрастающими.

Числители и знаменатели соседних подходящих дробей связаны соотношением

pnqn−1−qnpn−1=(−1)n−1.{\displaystyle p_{n}q_{n-1}-q_{n}p_{n-1}=(-1)^{n-1}.}

(1)

Подходящие дроби, как видно из этого соотношения, всегда несократимы. Перепишем соотношение в виде

pnqn−pn−1qn−1=(−1)n−1qn−1qn.{\displaystyle {\frac {p_{n}}{q_{n}}}-{\frac {p_{n-1}}{q_{n-1}}}={\frac {(-1)^{n-1}}{q_{n-1}q_{n}}}.}

Отсюда следует, что

|x−pn−1qn−1|<1qn−1qn<1qn−12.{\displaystyle \left|x-{\frac {p_{n-1}}{q_{n-1}}}\right|<{\frac {1}{q_{n-1}q_{n}}}<{\frac {1}{q_{n-1}^{2}}}.}

Приложения цепных дробей

Теория календаря

При разработке солнечного календаря необходимо найти рациональное приближение для числа дней в году, которое равно 365,2421988… Подсчитаем подходящие дроби для дробной части этого числа:

14; 729; 833; 31128; 132545⋯{\displaystyle {\frac {1}{4}};\ {\frac {7}{29}};\ {\frac {8}{33}};\ {\frac {31}{128}};\ {\frac {132}{545}}\cdots }

Первая дробь означает, что раз в 4 года надо добавлять лишний день; этот принцип лёг в основу юлианского календаря. При этом ошибка в 1 день накапливается за 128 лет. Второе значение (7/29) никогда не использовалось, поскольку оно мало отличается от следующего, гораздо более точного. Третья дробь (8/33), то есть 8 високосных лет за период в 33 года, была предложена Омаром Хайямом в XI веке и положила начало персидскому календарю, в котором ошибка в день накапливается за 4500 лет (в григорианском — за 3280 лет). Очень точный вариант с четвёртой дробью (31/128, ошибка в сутки накапливается только за 100000 лет) пропагандировал немецкий астроном Иоганн фон Медлер (1864 год), однако большого интереса он не вызвал.

Теория музыки

В теории музыки при построении равномерно темперированного строя требуют, чтобы интервал октавы 21{\displaystyle 2:1} делился на n{\displaystyle n} равных частей, и при этом интервал из m{\displaystyle m} таких частей был по возможности близок к интервалу квинты 32{\displaystyle 3:2}. Эти требования приводят к задаче отыскания рационального приближения для log2⁡1,5≈0,585{\displaystyle \log _{2}1{,}5\approx 0{,}585}. Третья подходящая дробь 35{\displaystyle 3/5} даёт равномерно темперированную пентатонику. Четвёртая подходящая дробь 712{\displaystyle 7/12} приводит к классическому делению октавы на 12 равных полутонов.

Решение сравнений первой степени

Рассмотрим сравнение: ax≡b(modm){\displaystyle ax\equiv b{\pmod {m}}}, где a, b{\displaystyle a,\ b} известны, причём можно считать, что a{\displaystyle a} взаимно просто с m{\displaystyle m}. Надо найти x{\displaystyle x}.

Разложим ma{\displaystyle {\frac {m}{a}}} в непрерывную дробь. Она будет конечной, и последняя подходящая дробь pnqn=ma{\displaystyle {\frac {p_{n}}{q_{n}}}={\frac {m}{a}}}. Подставим в формулу (1):

mqn−1−apn−1=(−1)n−1.{\displaystyle mq_{n-1}-ap_{n-1}=(-1)^{n-1}.}

Отсюда вытекает:

apn−1≡(−1)n(modm),{\displaystyle ap_{n-1}\equiv (-1)^{n}{\pmod {m}},}

или

a(−1)npn−1≡1(modm).{\displaystyle \ a(-1)^{n}p_{n-1}\equiv 1{\pmod {m}}.}

Вывод: класс вычетов x≡(−1)npn−1b(modm){\displaystyle x\equiv (-1)^{n}p_{n-1}b{\pmod {m}}} является решением исходного сравнения.

Другие приложения

Доказательство иррациональности чисел. Например, с помощью цепных дробей была доказана иррациональность значения дзета-функции Римана ζ(3){\displaystyle \zeta (3)} (константа Апери)
Решение в целых числах уравнения Пелля: x2−ny2=1{\displaystyle \;x^{2}-ny^{2}=1\;} и других уравнений диофантова анализа
Определение заведомо трансцендентного числа (см. теорема Лиувилля)
Алгоритмы факторизации SQUFOF и CFRAC.
Характеристика ортогональных многочленов
Характеристика устойчивых многочленов

Приближение вещественных чисел рациональными

Цепные дроби позволяют
эффективно находить хорошие рациональные
приближения вещественных чисел. А именно,
если вещественное число x разложить в цепную дробь,
то её подходящие дроби будут удовлетворять
неравенству:

Отсюда, в частности,
следует:

1) подходящая дробь
является наилучшим
приближением

для x среди всех дробей, знаменатель
которых не превосходит q_n;

2) мера иррациональности любого
иррационального числа не меньше 2.