Основное уравнение МКТ
\displaystyle{ p = \frac{1}{3}m_0nv^2 }, где \displaystyle{ m_0 } — масса одной молекулы газа, n — концентрация молекул, \displaystyle{ v^2 } — среднеквадратичная скорость молекул.
Основное уравнение МКТ связывает макроскопические параметры (давление, объём, температура) газовой системы с микроскопическими (масса молекул, средняя скорость их движения).
Релятивистское выражение для этой формулы имеет следующий вид:\displaystyle{ p = \frac{2\rho c^2 (\gamma — 1) }{3}= \frac {2 \rho c^2 }{3} \left( \frac {1}{\sqrt {1- v^2/ c^2 }}-1 \right) \approx \frac {\rho v^2}{3}, }
где \displaystyle{ \rho = m_0 n } — плотность движущегося вещества, \displaystyle{ c } — скорость света, \displaystyle{ \gamma =\frac {1}{\sqrt {1- v^2/ c^2 }} } — Лоренц-фактор.
Вывод основного уравнения МКТ
Пусть имеется кубический сосуд с ребром длиной \displaystyle{ l } и одна частица массой \displaystyle{ m } в нём.
Обозначим скорость движения \displaystyle{ v_x }, тогда перед столкновением со стенкой сосуда импульс частицы равен \displaystyle{ mv_x }, а после — \displaystyle{ -mv_x }, поэтому стенке передается импульс \displaystyle{ p = 2mv_x }.
Время, через которое частица сталкивается с одной и той же стенкой, равно \displaystyle{ t = \frac{2l}{v_x} }.
Отсюда следует:
- \displaystyle{ F_x = \frac{p}{t} = \frac{2mv_x^2}{2l} }
Так как давление \displaystyle{ p = \frac{F}{S} }, следовательно сила \displaystyle{ F = p*S }
Подставив, получим: \displaystyle{ p_xS = \frac{mv_x^2}{l} }
Преобразовав: \displaystyle{ p_x = \frac{mv_x^2}{lS} }
Так как рассматривается кубический сосуд, то \displaystyle{ V=Sl }
Отсюда:
\displaystyle{ p_x = \frac{mv_x^2}{V} }.
Соответственно, \displaystyle{ p_y = \frac{mv_y^2}{V} } и \displaystyle{ p_z = \frac{mv_z^2}{V} }.
Таким образом, для большого числа частиц верно следующее: \displaystyle{ P_x = N\frac{m\bar{v_x^2}}{V} }, аналогично для осей y и z.
Поскольку \displaystyle{ v^2 = v_x^2 + v_y^2 + v_z^2 }, то \displaystyle{ \bar{v_x^2} = \bar{v_y^2} = \bar{v_z^2} = \frac{1}{3}\bar{v^2} }. Это следует из того, что все направления движения молекул в хаотичной среде равновероятны.
Отсюда \displaystyle{ P_x = P_y = P_z = P = \frac{Nm\bar{v^2}}{3V} }
или \displaystyle{ PV = \frac{N}{3}m\bar{v^2} }.
Пусть \displaystyle{ \,E_k } — среднее значение кинетической энергии одной молекулы, тогда:
\displaystyle{ PV = \frac{2}{3}NE_k = {\nu}RT }, откуда, используя то, что \displaystyle{ {\nu}=\frac{N}{N_A} }(количество вещества), а \displaystyle{ R=N_Ak }, имеем \displaystyle{ {E_k}= \frac{3}{2}kT }.
Основные положения МКТ
Молекулярно-кинетической теорией называют учение о строении и свойствах вещества на основе представления о существовании атомов и молекул как наименьших частиц химического вещества. В основе молекулярно-кинетической теории лежат три основных положения:
Все вещества — жидкие, твердые и газообразные — образованы из мельчайших частиц — молекул, которые сами состоят из атомов («элементарных молекул»). Молекулы химического вещества могут быть простыми и сложными и состоять из одного или нескольких атомов. Молекулы и атомы представляют собой электрически нейтральные частицы. При определенных условиях молекулы и атомы могут приобретать дополнительный электрический заряд и превращаться в положительные или отрицательные ионы (соответственно: катионы и анионы).
Атомы и молекулы находятся в непрерывном хаотическом движении и взаимодействии, скорость которого зависит от температуры, а характер — от агрегатного состояния вещества.
Частицы взаимодействуют друг с другом силами, имеющими электрическую природу. Гравитационное взаимодействие между частицами пренебрежимо мало.
Атом — наименьшая химически неделимая частица элемента (атом железа, гелия, кислорода). Молекула — наименьшая частица вещества, сохраняющая его химические свойства. Молекула состоит из одного и более атомов (вода — Н2О — 1 атом кислорода и 2 атома водорода). Ион — атом или молекула, у которых один или несколько электронов лишние (или электронов не хватает).
Молекулы имеют чрезвычайно малые размеры. Простые одноатомные молекулы имеют размер порядка 10-10 м. Сложные многоатомные молекулы могут иметь размеры в сотни и тысячи раз больше.
Беспорядочное хаотическое движение молекул называется тепловым движением. Кинетическая энергия теплового движения растет с возрастанием температуры. При низких температурах молекулы конденсируются в жидкое или твердое вещество. При повышении температуры средняя кинетическая энергия молекулы становится больше, молекулы разлетаются, и образуется газообразное вещество.
В твердых телах молекулы совершают беспорядочные колебания около фиксированных центров (положений равновесия). Эти центры могут быть расположены в пространстве нерегулярным образом (аморфные тела) или образовывать упорядоченные объемные структуры (кристаллические тела).
В жидкостях молекулы имеют значительно большую свободу для теплового движения. Они не привязаны к определенным центрам и могут перемещаться по всему объему жидкости. Этим объясняется текучесть жидкостей.
Идеальный газ
В газах расстояния между молекулами обычно значительно больше их размеров. Силы взаимодействия между молекулами на таких больших расстояниях малы, и каждая молекула движется вдоль прямой линии до очередного столкновения с другой молекулой или со стенкой сосуда. Среднее расстояние между молекулами воздуха при нормальных условиях порядка 10-8 м, то есть в сотни раз превышает размер молекул. Слабое взаимодействие между молекулами объясняет способность газов расширяться и заполнять весь объем сосуда. В пределе, когда взаимодействие стремится к нулю, мы приходим к представлению об идеальном газе.
Идеальный газ — это газ, молекулы которого не взаимодействуют друг с другом, за исключением процессов упругого столкновения и считаются материальными точками.
В молекулярно-кинетической теории количество вещества принято считать пропорциональным числу частиц. Единица количества вещества называется молем (моль). Моль — это количество вещества, содержащее столько же частиц (молекул), сколько содержится атомов в 0,012 кг углерода 12C. Молекула углерода состоит из одного атома. Таким образом, в одном моле любого вещества содержится одно и то же число частиц (молекул). Это число называется постоянной Авогадро: NА = 6,022·1023 моль-1.
Постоянная Авогадро — одна из важнейших постоянных в молекулярно-кинетической теории. Количество вещества определяется как отношение числа N частиц (молекул) вещества к постоянной Авогадро NА, или как отношение массы к молярной массе:
Массу одного моля вещества принято называть молярной массой M. Молярная масса равна произведению массы m0 одной молекулы данного вещества на постоянную Авогадро (то есть на количество частиц в одном моле). Молярная масса выражается в килограммах на моль (кг/моль). Для веществ, молекулы которых состоят из одного атома, часто используется термин атомная масса. В таблице Менделеева молярная масса указана в граммах на моль. Таким образом имеем еще одну формулу:
где: M – молярная масса, NA – число Авогадро, m0 – масса одной частицы вещества, N – число частиц вещества содержащихся в массе вещества m. Кроме этого понадобится понятие концентрации (количество частиц в единице объема):
Напомним также, что плотность, объем и масса тела связаны следующей формулой:
Если в задаче идет речь о смеси веществ, то говорят о средней молярной массе и средней плотности вещества. Как и при вычислении средней скорости неравномерного движения, эти величины определяются полными массами смеси:
Не забывайте, что полное количество вещества всегда равно сумме количеств веществ, входящих в смесь, а с объемом надо быть аккуратными. Объем смеси газов не равен сумме объемов газов, входящих в смесь. Так, в 1 кубометре воздуха содержится 1 кубометр кислорода, 1 кубометр азота, 1 кубометр углекислого газа и т.д. Для твердых тел и жидкостей (если иное не указано в условии) можно считать, что объем смеси равен сумме объемов ее частей.
Молекулярная физика. Молекулярно-кинетическая теория
Основные определения молекулярной физики
1. Молекулярно-кинетическая теория (МКТ) – раздел физики, учение, объясняющее свойства тел и происходящие с ними явления с точки зрения микроскопического строения этих тел.
2. Все вещества состоят из отдельных частиц (молекул, ионов и атомов), между которыми есть промежутки. Эти частицы не изменяются при изменении температуры или агрегатного состояния.
3. Частицы веществ постоянно и беспорядочно движутся. Средняя скорость движения частиц тем больше, чем выше температура тела. Соответственно частицы обладают кинетической энергией.
4. Частицы вещества взаимодействуют друг с другом: притягиваются и отталкиваются. Силы притяжения-отталкивания зависят от расстояния между частицами. Соответственно, частицы обладают потенциальной энергией.
5. Внутренняя энергия тела – сумма кинетических энергий движения и потенциальных энергий взаимодействия всех частиц тела между собой: молекул, атомов, ионов и других.
6. Кристаллическое тело – твёрдое тело, имеющее постоянную температуру плавления при постоянных внешних условиях. Большинство кристаллов являются поликристаллами. В расположении частиц монокристаллов существует дальний порядок.
7. Аморфное тело – твёрдое тело со слабо выраженной текучестью, плавно усиливающейся при нагревании. В расположении частиц аморфного тела обнаруживается лишь ближний порядок.
8. Жидкость – состояние вещества, при котором тело способно изменять форму под влиянием даже малых сил. Для изменения объёма вещества требуются большие силы. Расположение и движение частиц жидкости аналогичны наблюдаемым в аморфных телах.
9. Газ – состояние вещества, при котором тело способно изменять форму и объём под влиянием очень малых сил. При давлениях, близких к атмосферному, расстояния между частицами газа значительно больше их собственных размеров. Частицы газа постоянно и хаотично летают во всём доступном им пространстве; удары частиц о препятствия создают давление газа.
10. Насыщенным паром называют пар, находящийся в термодинамическом равновесии со своей жидкостью. Давление насыщенного пара не зависит ни от каких величин, кроме температуры жидкости и пара над её поверхностью.
11. Относительная влажность воздуха – физическая величина, равная отношению плотности водяного пара, содержащегося в воздухе, к плотности насыщенного водяного пара при той же температуре. Относительную влажность воздуха выражают в процентах и измеряют гигрометрами и психрометрами.
Упрощенный вывод ключевого уравнения молекулярно-кинетической теории
Пусть имеется число $N$ частиц с массой $m_0$ в определенном сосуде кубической формы. Поскольку молекулы движутся в хаотическом порядке, то события, которые состоят в движении одного из шести независимых направления в пространстве, совпадающие с осями декартовой системы координат, являются равновероятными.
Поэтому очевидно, что в каждом из шести направлений движется такое количество молекул: $\frac {1}{6} N$ частиц.
Предположим, что все частицы вещества обладают одинаковой скоростью $v$. Каждая из частиц, которая сталкивается со стенкой сосуда, передает ей импульс $\delta P =2 m_0 v$.
Если площадь стены $S$, а концентрация $n$ , то число частиц, что сталкиваются со стенкой сосуда за определенное время $\delta t$, будет равно $N = \frac {1}{6} nS \delta tv$.
Поскольку $p = \frac {F}{S}$, а $F = \frac {\delta P}{\delta t} N$ — суммарная сила взаимодействия частиц со стенкой сосуда, то подставив определенные значения, получаем, что $p = \frac {1}{3}m_0 n v^2$, так как $E_k = \frac {1}{2} mv^2$, то $p = \frac {2}{3} kT$.
