Теория множеств

Операции над множествами: объединение, пересечение, разность, декартово произведение

Операция объединения множеств

Объединением множеств и
называется множество, обозначаемое ,
состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат или или ,
то есть

.

Например, если ,
, ,
то ,
,
.

Операции над множествами удобно иллюстрировать фигурами, называемыми
диаграммами Венна (другое название — круги Эйлера). На рисунке ниже слева большим и малым
кругами обозначены соответственно множества А и В, а справа — результат объединения
этих множеств (заштрихованная фигура).

На основе теории множеств создана концепция реляционных баз данных, а на основе
операций над множествами — реляционная алгебра и её операции — используемые
в языке запросов к базам данных SQL. Операция объединения есть в реляционной алгебре.

Операция пересечения множеств

Пересечением множеств и
называется множество, обозначаемое и
состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат каждому из множеств и ,
то есть

.

Например, если ,
, ,
то ,
,
.

На рисунке ниже — результат пересечения множеств А и В —
заштрихованная фигура.

В одном из материалов сайта показано, как выглядит пересечение множеств
решений систем линейных неравенств.

Операция пересечения есть в реляционной алгебре,
используемой для манипулирования данными в языках запросов к базам данных, например, SQL.

Разность множеств

Разностью множеств и
называется множество, обозначаемое и
состоящее из всех тех и только тех элементов множества , которые не являются элементами множества ,
то есть

.

Например, если ,
, ,
то ,
,
,
,
.

На рисунке ниже слева — результат разности множеств А и В, а справа —
результат разности множеств В и А.

Операция разности есть в реляционной алгебре,
используемой для манипулирования данными в языках запросов к базам данных, например, SQL.

Пример 5. Выполните следующие операции над множествами:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

Пример 6. Согласно опросу 100 покупателей рынка, купивших цитрусовые,
апельсины купили 29 покупателей, лимоны — 30 покупателей, мандарины — 9, только мандарины — 1,
апельсины и лимоны — 10, лимоны и мандарины — 4, все три вида фруктов — 3 покупателя. Сколько покупателей
не купили ни одного вида перечисленных здесь цитрусовых? Сколько покупателей купили только лимоны?

Операция декартова произведения множеств

Для определения ещё одной важной операции над множествами — декартова
произведения множеств введём понятие упорядоченного набора длины n. Длиной набора называется число n его компонент

Набор, составленный
из элементов ,
взятых именно в этом порядке, обозначается. При этом iя ()
компонента набора есть

Длиной набора называется число n его компонент. Набор, составленный
из элементов ,
взятых именно в этом порядке, обозначается .
При этом iя ()
компонента набора есть .

Сейчас последует строгое определение, которое, возможно, не сразу понятно,
но после этого определения будет картинка, по которой станет понятно, как получить декартово
произведение множеств.

Декартовым (прямым) произведением множеств
называется множество, обозначаемое
и состоящее из всех тех и только тех наборов длины n, i-я компонента
которых принадлежит .

Например, если ,
,
,

то

,

,

А теперь обещанная картинка

На картинке точками (узлами) дерева обозначены элементы множеств
,
,
.
Для получения каждой упорядоченной тройки (так как перемножаем три множества) нужно пройти
каждый полный маршрут от корня дерева (start) к конечным точкам и записать все пройденные точки.
Таким образом, получаем декартово произведение множеств:

Операция декартова произведения есть в реляционной алгебре,
используемой для манипулирования данными в языках запросов к базам данных, например, SQL.

Дополнительная литература

• Девлин, Кейт (1993), The Joy of Sets (2-е изд.), Springer Verlag, ISBN 0-387-94094-4
• Феррейрос, Хосе (2007), Лабиринт мысли: история теории множеств и ее роль в современной математике, Базель: Биркхойзер, ISBN 978-3-7643-8349-7
• Кунен, Кеннет (1980), Теория множеств: Введение в доказательства независимости, Северная Голландия, ISBN 0-444 -85401-0 CS1 maint: ref = harv (ссылка )
• Поттер, Майкл (2004), Теория множеств и ее философия: критическое введение, Oxford University Press
• Плитка, Мэри (2004), Философия теории множеств: историческое введение в Кантора ‘s Paradise, Dover Publications, ISBN 978-0-486-43520-6
• Smullyan, Raymond M. ; Фиттинг, Мелвин (2010), Теория множеств и проблема континуума, Dover Publications, ISBN 978-0-486-47484-7
• Монк, Дж. Дональд (1969), Введение в теорию множеств, McGraw-Hill Book Company, ISBN 978-0898740066

История

Георг Кантор

Математические темы обычно возникают и развиваются в результате взаимодействия между многими исследователями. Теория множеств, однако, была основана в одной статье 1874 года Георга Кантора : «Об одном свойстве совокупности всех действительных алгебраических чисел «.

Начиная с V века до нашей эры, начиная с Греческий математик Зенон Элейский на Западе и первые индийские математики на Востоке, математики боролись с концепцией бесконечности. Особенно примечательно это работа Бернара Больцано в первой половине XIX века. Современное понимание бесконечности началось в 1870–1874 годах и было мотивировано работой Кантора в реальном анализе. Встреча 1872 года между Кантором и Ричардом Дедекиндом повлияли на мышление Кантора и достигли высшей точки в работе Кантора 1874 года.

Работа Кантора изначально поляризовала математиков того времени. Карл Вейерштрасс и Дедекинд поддерживали Кантор, Леопольд Кронекер, который теперь считается основателем математического конструктивизма, не сделал этого. Канторовская теория множеств в конечном итоге получила широкое распространение ad, благодаря полезности канторовских понятий, таких как взаимно-однозначное соответствие между множествами, его доказательством того, что действительных чисел больше, чем целых, и «бесконечности бесконечностей» «(» рай Кантора «) в результате операции power set. Эта полезность теории множеств привела к статье «Mengenlehre», внесенной в 1898 году Артуром Шенфлисом в энциклопедию Клейна.

Следующая волна ажиотажа в теории множеств пришла примерно в 1900 году, когда она была открыта. что некоторые интерпретации канторовской теории множеств породили несколько противоречий, называемых антиномиями или парадоксами. Бертран Рассел и Эрнст Цермело независимо друг от друга обнаружили простейший и наиболее известный парадокс, который теперь называется парадоксом Рассела : рассмотрите «множество всех множеств, которые не являются членами самих себя. «, что ведет к противоречию, поскольку он должен быть членом самого себя, а не самого себя. В 1899 году Кантор сам задал вопрос «Какое кардинальное число множества всех множеств?» И получил связанный с этим парадокс. Рассел использовал свой парадокс в качестве темы в своем обзоре континентальной математики 1903 года в своей книге Принципы математики.

В 1906 году английские читатели получили книгу «Теория множеств точек, написанная мужем и женой Уильям Генри Янг и Грейс Чизхолм Янг, опубликовано Cambridge University Press.

Импульс теории множеств был таков, что дебаты о парадоксах не привели к отказу от нее. Работа Цермело в 1908 году и работа Абрахама Френкеля и Торальфа Сколема в 1922 году привели к набору аксиом ZFC, который стал наиболее часто используемым набором аксиом теории множеств. Работа аналитиков, например, Анри Лебега, продемонстрировала огромную математическую полезность теории множеств, которая с тех пор стала неотъемлемой частью современной математики. Теория множеств обычно используется в качестве базовой системы, хотя в некоторых областях, таких как алгебраическая геометрия и алгебраическая топология — теория категорий считается предпочтительной основой.

Наивная теория множеств[править]

До второй половины XIX века понятие «множество» не рассматривалось как математическое («множество книг на полке», «множество человеческих добродетелей» и др. — все это бытовые обороты). Положение изменилось, когда немецкий математик Георг Кантор разработал свою программу стандартизации математики, в рамках которой любой математический объект должен быть тем или иным «множеством». Например, натуральное число с позиции Кантора следует рассматривать как множество, состоящее из единственного элемента другого множества, называемого «натуральным рядом», который, в свою очередь, сам является множеством, так как удовлетворяет так называемую аксиому Пеано. При этом общему понятию «множества», которое рассматривалось им как центральное для математики, Кантор давал весьма размытые определения, вроде «множество есть многое, мыслимое как единое», и т. д. Это полностью соответствовало намерению самого Кантора, который подчеркнуто называл свою программу не «теорией множеств», сам этот термин появился много позже, а «учением о множествах» (по-немецки: Mengenlehre).

Программа Кантора вызвала резкие протесты со стороны многих его современников-математиков. Особенно выделялся своим непримиримым к ней отношением Леопольд Кронекер, который считал, что математическими объектами могут считаться только натуральные числа и то, что к ним непосредственно сводится, известна его фраза о том, что «Бог создал натуральные числа, а все остальное — дело рук человеческих». Полностью отвергли теорию множеств и такие авторитетные математики, как Герман Шварц и Анри Пуанкаре. Однако, некоторые другие математики — в частности, Готлоб Фреге, Рихард Дедекинд и Давид Гильберт — поддержали Кантора в его намерении перевести всю математику на теоретико-множественный язык. В частности, теория множеств стала основой: теории меры, топологии, функционального анализа.

Однако вскоре выяснилось, что направление Кантора на отсутствие ограничений при операциях с множествами (выраженное им самим в принципе «сущность математики заключается в ее свободе») несовершенна изначально, а именно, был обнаружен ряд теоретико-множественных антиномий: оказалось, что при использовании теоретико-множественных представлений некоторые утверждения могут быть доказаны вместе со своими возражениями, а тогда, согласно правилам классической логики высказываний, может быть «доказано» абсолютно любое утверждение. Антиномии ознаменовали собой полный провал программы Кантора.

Отображение множеств

Отображение множества  во множество – это правило, по которому каждому элементу множества  ставится в соответствие элемент (или элементы) множества . В том случае если в соответствие ставится единственный элемент, то данное правило называется однозначно определённой функцией или просто функцией.

Функцию, как многие знают, чаще всего обозначают буквой  – она ставит в соответствие каждому элементу  единственное значение , принадлежащее множеству .

Ну а сейчас я снова побеспокою множество  студентов 1-го ряда и предложу им 6 тем для рефератов (множество ):

 Векторы  Матрицы  Определители Комплексные числа (о, да!)  Теория пределов Что такое производная?

Установленное (добровольно или принудительно =)) правило  ставит в соответствие каждому студенту  множества  единственную тему реферата  множества .

…а вы, наверное, и представить себе не могли, что сыграете роль аргумента функции =) =)

Элементы множества  образуют область определения функции (обозначается через ), а элементы множества  – область значений функции (обозначается через ).

Построенное отображение множеств имеет очень важную характеристику: оно является взаимно-однозначным или биективным (биекцией). В данном примере это означает, что каждому студенту поставлена в соответствие одна уникальная тема реферата, и обратно – за каждой темой реферата закреплён один и только один студент.

Однако не следует думать, что всякое отображение биективно. Если на 1-й ряд (к множеству ) добавить 7-го студента, то взаимно-однозначное соответствие пропадёт – либо один из студентов останется без темы (отображения не будет вообще), либо какая-то тема достанется сразу двум студентам. Обратная ситуация: если к множеству  добавить седьмую тему, то взаимнооднозначность отображения тоже будет утрачена –  одна из тем останется невостребованной.

Уважаемые студенты на 1-м ряду, не расстраивайтесь – остальные 20 человек после пар пойдут прибирать территорию университета от осенней листвы. Завхоз выдаст двадцать голиков, после чего будет установлено взаимно-однозначное соответствие между основной частью группы и мётлами…, а Вольдемар ещё и в магазин сбегать успеет =)

Теперь разберёмся со «школьной» функцией одной переменной. Пожалуйста, загляните на страницу Функции и графики (отроется на соседней вкладке), и в Примере 1 найдите график линейной функции .

Задумаемся, что это такое? Это правило , которое каждому элементу  области определения (в данном случае это все значения «икс») ставит в соответствие единственное значение . С теоретико-множественной точки зрения, здесь происходит отображение множества действительных чисел во множество действительных чисел:

Первое множество мы по-обывательски называем «иксами» (независимая переменная или аргумент), а второе – «игреками» (зависимая переменная или функция).

Далее взглянем на старую знакомую параболу  . Здесь правило  каждому значению «икс» ставит в соответствие его квадрат, и имеет место отображение:

Итак, что же такое функция одной переменной? Функция одной переменной  – это правило , которое каждому значению независимой переменной  из области определения ставит в соответствие одно и только одно значение .

Как уже отмечалось в примере со студентами, не всякая функция является взаимно-однозначной. Так, например, у функции  каждому «иксу» области определения  соответствует свой уникальный «игрек», и наоборот – по любому значению «игрек» мы сможем однозначно восстановить «икс». Таким образом, это биективная функция.

! На всякий случай ликвидирую возможное недопонимание: моя постоянная оговорка об области определения не случайна! Функция может быть определена далеко не при всех «икс», и, кроме того, может быть взаимно-однозначной и в этом случае. Типичный пример:  

А вот у квадратичной функции не наблюдается ничего подобного, во-первых: – то есть, различные значения «икс» отобразились в одно и то же значение «игрек»; и во-вторых: если кто-то вычислил значение функции и сообщил нам, что , то не понятно – этот «игрек» получен при  или при ? Что и говорить, взаимной однозначностью здесь даже не пахнет.

Задание 2: просмотреть графики основных элементарных функций и выписать на листок биективные функции. Список для сверки в конце этого урока.

Литература

• Н. Бурбаки. Основания математики. Логика. Теория множеств // Очерки по истории математики / И. Г. Башмакова (перевод с французского). — М.: Издательство иностранной литературы, 1963. — С. 37—53. — 292 с. — (Элементы математики).
• Г. Кантор. Труды по теории множеств. — М.: Наука, 1985. — 430 с. — (Классики науки). — 3450 экз..
• К. Куратовский, А. Мостовский. Теория множеств / Перевод с английского М. И. Кратко под редакцией А. Д. Тайманова. — М.: Мир, 1970. — 416 с.
• Ф. А. Медведев. Развитие теории множеств в XIX веке. — М.: Наука, 1965. — 232 с. — 2500 экз.
• А. Френкель, И. Бар-Хиллел. Основания теории множеств / Перевод с английского Ю. А. Гастева под редакцией А. С. Есенина-Вольпина. — М.: Мир, 1966. — 556 с.

Обобщения

Средствами теории категорий, зачастую противопоставляемой теории множеств и с инструментальной, и с дидактической точек зрения, Ловер и Тирни (англ. Miles Tierney) в 1970 году создали теорию топосов, изучаемый ею объект — элементарный топос — построен по принципу схожести с поведением множеств в теоретико-множественном понимании, элементарными топосами удалось представить практически все варианты теории множеств.

Теория нечётких множеств — расширение теории множеств, предложенное в 1960-х годах Лотфи Заде в рамках концепции нечёткой логики, в нечёткой теории вместо отношения принадлежности элементов к множеству рассматривается функция принадлежности со значениями в интервале \displaystyle{ }: элемент чётко не принадлежит множеству если функция его принадлежности равна нулю, чётко принадлежит — если единице, в остальных случаях отношение принадлежности считается нечётким. Применяется в теории информации, кибернетике, информатике.

Теория мультимножеств, в применении к теории сетей Петри называемая теорией комплектов, рассматривает в качестве основного понятия наборы элементов произвольной природы, в отличие от множества, допускающие присутствие нескольких экземпляров одного и того же элемента, отношение включения в этой теории заменено функцией числа экземпляров: \displaystyle{ \sharp (a,A) } — целое число вхождений элемента \displaystyle{ a } в мультимножество \displaystyle{ A }, при объединении комплектов число экземпляров элементов берётся по максимуму вхождений (\displaystyle{ \sharp (a, A_1 \cup A_2) = \max (\sharp (a, A_1), \sharp (a, A_2) }), при пересечении — по минимуму (\displaystyle{ \sharp (a, A_1 \cap A_2) = \min (\sharp (a, A_1), \sharp (a, A_2) }). Используется в теоретической информатике, искусственном интеллекте, теории принятия решений.

Альтернативная теория множеств — теория, развиваемая чехословацкими математиками с 1970-х годов, в основном в работах Петра Вопенки (чеш. Petr Vopěnka), основывающаяся на чёткой формализации множества как объекта, индуктивно построимого из пустого множества и заведомо существующих элементов, для свойств объектов, допускающих рассмотрения их в целой совокупности, вводится понятие классов, а для изучения подклассов множеств используется концепция полумножеств.

Бесконечные множества

Конечные множества (имеющие конечное число элементов) являются очень конструктивными
математическими объектами. Их можно (по крайней мере в принципе) «изобразить» на бумаге или
в памяти компьютера. Иначе обстоит дело с бесконечными множествами.
Например, не существует «самого большого» натурального числа и множество \(\mathbb N = \{0,1,2,…\}\) бесконечно.

Различают потенциальную и актуальную бесконечности.
Первая подразумевает, что конкретное число \(x\in\mathbb N\)
может быть сколь угодно большим.
Актуальная бесконечность представляет совокупность всех натуральных чисел или всех точек
отрезка \(\), как самостоятельный математический объект (законченную совокупность).
С актуальными бесконечностями связаны определённые проблемы, однако сейчас мы их обсуждать
не будем, а введём понятие счётного множества.
Множество называется счётным, если все его элементы можно пронумеровать,
т.е. каждому элементу поставить в соответствие уникальное натуральное число.

\(\diamond\)
Любое подмножество натуральных чисел \(\mathbb N = \{0,1,2,…\}\) счётно.
Например, упорядоченные по возрастанию чётные числа можно пронумеровать, перечислив их как \(\{0,2,4,…\}\)
или при помощи функции соответствия \(f(n)=2n\) такой, что \(f(0)=0\), \(f(1)=2\), \(f(2)=4\),….

\(\diamond\)
Счётны целые числа, которых кажется «больше», чем натуральных.
Их перечисление такое: \(\{0,-1,1,-2,2,-3,3,…\}\)
или при помощи функции
\(f(n)\), равной \(n/2\) при чётных \(n\) и \(-(n+1)/2\)
— при нечётных.

\(\diamond\)
Множество рациональных чисел \(\mathbb Q\)
— это все несократимые дроби \(p/q\),
где \(p,q \in \mathbb N\) и \(q\neq 0\).
Каждому числу \(p/q\)
можно присвоить уникальный номер \(n=2^p\cdot 3^q\), поэтому множество \(\mathbb Q\)
счётно.
Так как любое число единственным образом раскладывается на множители,
то по данному \(n\)
можно получить \(p\), \(q\)
и наоборот.
Заметим, что рациональные числа (как и целые) нельзя
перечислить по возрастанию и введенная нумерация даёт
последовательность \(\{0,\,1,\,2,\,1/2,\,3,\,4,\,1/3,\,3/2,\,…\}\).

\(\diamond\)
Счётно множество всех строк конечной длины, состоящих из букв конечного алфавита.
Такие строки можно упорядочить сначала по длине (строки из одного символа, строки из двух символов и т.д.),
а строки одинаковой длины отсортировать по алфавиту ( лексографический порядок).
Каждая строка в таком списке имеет свой порядковый номер.

\(\diamond\)
Любые определения, формулы, доказательства и алгоритмы счётны, т.к. являются конечными строками
из букв конечного алфавита. \(\square\)

Свойства операций над множествами

Операции над множествами обладают свойствами, аналогичными правилу свойств сложения, умножения и вычитания чисел:

Коммутативность – переместительные законы:

• умножения S ∩ D = D ∩ S;

• сложения S ∪ D = D ∪ S. 

Ассоциативность – сочетательные законы:

• умножения (S ∩ F) ∩ G = S ∩ (F ∩ G);

• сложения (S ∪ F) ∪ G = S ∪ (F ∪ G). 

Дистрибутивность – законы распределения:

• умножения относительно вычитания S ∩ (F – G) = (S ∩ F) – (S ∩ G);

• умножения относительно сложения G ∩ (S ∪ F) = (G ∩ S) ∪ (G ∩ F);

• сложения относительно умножения G ∪ (S ∩ F) = (G ∪ S) ∩ (G ∪ F). 

Транзитивность — законы включения:

• если S ⊆ Fи F ⊆ J, то S ⊆ J;

• если S ⊆ F и F ⊆ S, то S = F. 

Идемпотентность объединения и пересечения:

• S ∩ S = S;

• S ∪ S = S.

О других свойствах операций можно узнать из картинки:

Возражения против теории множеств как основы математики

С самого начала теории множеств возражали против нее как основы математики. Наиболее частое возражение против теории множеств, которое Кронекер высказывалось в первые годы существования теории множеств, начинается с конструктивистской точки зрения, согласно которой математика слабо связана с вычислениями. Если эта точка зрения будет предоставлена, то рассмотрение бесконечных множеств, как в наивном, так и в аксиоматической теории множеств, вводит в математику методы и объекты, которые невозможно вычислить даже в принципе. Возможность использования конструктивизма в качестве альтернативы математике была значительно увеличена благодаря влиятельной книге Эрретта Бишопа «Основы конструктивного анализа».

Другое возражение, выдвинутое Анри Пуанкаре заключается в том, что определение множеств с использованием схем аксиом спецификации и замены, а также аксиомы сильного множества вводит отрицательную способность, тип округлости, в определения математических объектов. Сфера применения математики, основанной на предсказаниях, хотя и меньше, чем у общепринятой теории Цермело-Френкеля, но гораздо больше, чем у конструктивной математики, до такой степени, что Соломон Феферман сказал, что «весь научно применимый анализ могут быть разработаны ».

Людвиг Витгенштейн философски осудил теорию множеств за ее коннотации математического платонизма. Он писал, что «теория множеств ошибочна», поскольку она строится на «бессмыслице» фиктивного символизма, имеет «пагубные идиомы» и что бессмысленно говорить о «всех числах». Витгенштейн отождествлял математику с алгоритмической человеческой дедукцией; потребность в надежном фундаменте математики казалась ему бессмысленной. Более того, поскольку человеческие усилия неизбежно конечны, философия Витгенштейна требовала онтологической приверженности радикальному конструктивизму и конечности. Мета-математические утверждения, которые, по Витгенштейну, включали в себя любое утверждение, количественно оценивающее бесконечные области, и, таким образом, почти вся современная теория множеств, не являются математикой. Немногие современные философы приняли взгляды Витгенштейна после зрелищной ошибки в Замечаниях об основах математики : Витгенштейн попытался опровергнуть теоремы Гёделя о неполноте, прочитав только аннотацию. Как отмечали рецензенты Крайзель, Бернейс, Даммет и Гудштейн, многие из его критических замечаний не относились к статье полностью.. Только недавно такие философы, как Криспин Райт, начали реабилитировать аргументы Витгенштейна.

Теоретики категорий предложили теорию топосов в качестве альтернативы традиционной аксиоматической теории множеств. Теория Топоса может интерпретировать различные альтернативы этой теории, такие как конструктивизм, теория конечных множеств и теория вычислимых множеств. Топои также создают естественную среду для принуждения и обсуждения независимости выбора от ZF, а также обеспечивают основу для бессмысленной топологии и каменных пространств.

Активной областью исследований является однолистные основания и связанные с ними теория гомотопического типа. В рамках теории гомотопических типов набор может рассматриваться как гомотопический 0-тип с универсальными свойствами множеств, возникающими из индуктивных и рекурсивных свойств высших индуктивных типов. Такие принципы, как аксиома выбора и закон исключенного середины, могут быть сформулированы способом, соответствующим классической формулировке в теории множеств, или, возможно, спектром различных способов, уникальных для теория типов. Некоторые из этих принципов могут оказаться следствием других принципов. Разнообразие формулировок этих аксиоматических принципов позволяет проводить подробный анализ формулировок, необходимых для получения различных математических результатов.

Действия над множествами. Диаграммы Венна

Диаграммы Венна (по аналогии с кругами Эйлера) – это схематическое изображение действий с множествами. Опять же предупреждаю, что я рассмотрю не все операции:

1) Пересечение множеств характеризуется логической связкой И и обозначается значком

Пересечением множеств  и  называется множество , каждый элемент которого принадлежит и множеству , и множеству . Грубо говоря, пересечение – это общая часть множеств:
Так, например, для множеств :

Если у множеств нет одинаковых элементов, то их пересечение пусто. Такой пример нам только что встретился при рассмотрении числовых множеств:

Множества рациональных и иррациональных чисел можно схематически изобразить двумя непересекающимися кругами.

Операция пересечения применима и для бОльшего количества множеств, в частности в Википедии есть хороший .

2) Объединение множеств характеризуется логической связкой ИЛИ и обозначается значком

Объединением множеств  и  называется множество , каждый элемент которого принадлежит множеству  или множеству :

Запишем объединение множеств : – грубо говоря, тут нужно перечислить все элементы множеств  и , причём одинаковые элементы (в данном случае единица на пересечении множеств) следует указать один раз.

Но множества, разумеется, могут и не пересекаться, как это имеет место быть с рациональными и иррациональными числами:

В этом случае можно изобразить два непересекающихся заштрихованных круга.

Операция объединения применима и для бОльшего количества множеств, например, если  , то:

, при этом числа вовсе не обязательно располагать в порядке возрастания (это я сделал исключительно из эстетических соображений). Не мудрствуя лукаво, результат можно записать и так:

3) Разностью множеств  и  называют множество , каждый элемент которого принадлежит множеству  и не принадлежит множеству :
Разность  читаются следующим образом: «а без бэ». И рассуждать можно точно так же: рассмотрим множества . Чтобы записать разность , нужно из множества  «выбросить» все элементы, которые есть во множестве :

Пример с числовыми множествами: – здесь из множества целых чисел исключены все натуральные, да и сама запись  так и читается: «множество целых чисел без множества натуральных».

Зеркально: разностью множеств  и  называют множество , каждый элемент которого принадлежит множеству  и не принадлежит множеству :
Для тех же множеств  – из множества  «выброшено» то, что есть во множестве .

А вот эта разность оказывается пуста: . И в самом деле – если из множества натуральных чисел исключить целые числа, то, собственно, ничего и не останется

Кроме того, иногда рассматривают симметрическую разность , которая объединяет оба «полумесяца»: – иными словами, это «всё, кроме пересечения множеств».

4) Декартовым (прямым) произведением множеств  и  называется множество  всех упорядоченных пар , в которых элемент , а элемент

Запишем декартово произведение множеств : – перечисление пар удобно осуществлять по следующему алгоритму: «сначала к 1-му элементу множества  последовательно присоединяем каждый элемент множества , затем ко 2-му элементу множества  присоединяем каждый элемент множества , затем к 3-му элементу множества  присоединяем каждый элемент множества »:

Зеркально: декартовым произведением множеств  и  называется множество  всех упорядоченных пар , в которых . В нашем примере: – здесь схема записи аналогична: сначала к «минус единице» последовательно присоединяем все элементы множества , затем к «дэ» – те же самые элементы:

Но это чисто для удобства – и в том, и в другом случае пары можно перечислить в каком угодно порядке – здесь важно записать все возможные пары. А теперь гвоздь программы: декартово произведение  – это есть не что иное, как множество точек  нашей родной декартовой системы координат

А теперь гвоздь программы: декартово произведение  – это есть не что иное, как множество точек  нашей родной декартовой системы координат .

Задание для самостоятельного закрепления материала:

Выполнить операции , если:

1) ;
2)

Множество  удобно расписать перечислением его элементов.

И пунктик с промежутками действительных чисел:

3)

Напоминаю, что квадратная скобка означает включение числа в промежуток, а круглая – его невключение, то есть «минус единица» принадлежит множеству , а  «тройка» не принадлежит множеству . Постарайтесь разобраться, что представляет собой декартово произведение данных множеств. Если возникнут затруднения, выполните чертёж

Краткое решение задачи в конце урока.

Упорядоченные множества

В дан­ном мно­же­ст­ве $X$ мож­но ус­та­но­вить по­ря­док, т. е. оп­ре­де­лить для не­ко­то­рых пар $x′, x″$ эле­мен­тов это­го мно­же­ст­ва к.-л. пра­ви­ло пред­ше­ст­во­ва­ния (сле­до­ва­ния), вы­ра­жае­мое сло­ва­ми эле­мент $x′$ пред­ше­ст­ву­ет эле­мен­ту $x″$ (или, что то же, эле­мент $x″$ сле­ду­ет за эле­мен­том $x’$ ), что за­пи­сы­ва­ет­ся $x′≺x″$; при этом пред­по­ла­га­ет­ся, что для дан­но­го от­но­ше­ния по­ряд­ка вы­пол­не­но ус­ло­вие тран­зи­тив­но­сти, т. е. ес­ли $x≺x′$ и $x′≺x″$, то $x≺x″$. Мно­же­ст­во, рас­смат­ри­вае­мое вме­сте с к.-л. ус­та­нов­лен­ным в нём по­ряд­ком, на­зы­ва­ет­ся час­тич­но упо­ря­до­чен­ным мно­же­ст­вом; ино­гда – упо­ря­до­чен­ным мно­же­ст­вом. Од­на­ко ча­ще упо­ря­до­чен­ным мно­же­ст­вом на­зы­ва­ет­ся час­тич­но упо­ря­до­чен­ное мно­же­ст­во, в ко­то­ром по­ря­док удов­ле­тво­ря­ет сле­дую­щим до­пол­нит. тре­бо­ва­ни­ям (ли­ней­но­го по­ряд­ка): 1) ни­ка­кой эле­мент не пред­ше­ст­ву­ет са­мо­му се­бе; 2) из вся­ких двух разл. эле­мен­тов $x, x′$ один пред­ше­ст­ву­ет дру­го­му, т. е. ес­ли $x≠x′$, то или $x≺x′$, или $x″≺x$.

При­ме­ры.

1) Лю­бое мно­же­ст­во, эле­мен­та­ми ко­то­ро­го яв­ля­ют­ся не­ко­то­рые мно­же­ст­ва $x$, яв­ля­ет­ся час­тич­но упо­ря­до­чен­ным по вклю­че­нию, ес­ли счи­тать, что $x≺x′$, ес­ли $x⊂x′$.

2) Лю­бое мно­же­ст­во функ­ций $f$, оп­ре­де­лён­ных на чи­сло­вой пря­мой, ста­но­вит­ся час­тич­но упо­ря­до­чен­ным, ес­ли счи­тать, что $f_1≺f_2$, то­гда и толь­ко то­гда, ко­гда для ка­ж­до­го дей­ст­ви­тель­но­го чис­ла $x$ спра­вед­ли­во не­ра­вен­ст­во $f_1(x)⩽f_2(x)$.

3) Лю­бое мно­же­ст­во дей­ст­ви­тель­ных чи­сел ли­ней­но упо­ря­до­че­но, ес­ли счи­тать, что мень­шее из двух чи­сел пред­ше­ст­ву­ет боль­ше­му.

Два упо­ря­до­чен­ных мно­же­ст­ва на­зы­ва­ют­ся по­доб­ны­ми, или имею­щи­ми один и тот же по­ряд­ко­вый тип, ес­ли ме­ж­ду ни­ми мож­но ус­та­но­вить вза­им­но од­но­знач­ное со­от­вет­ст­вие, со­хра­няю­щее по­ря­док. Эле­мент упо­ря­до­чен­но­го мно­же­ст­ва на­зы­ва­ет­ся пер­вым, ес­ли он пред­ше­ст­ву­ет всем ос­таль­ным эле­мен­там; ана­ло­гич­но оп­ре­де­ля­ет­ся и по­след­ний эле­мент. Напр., в упо­ря­до­чен­ном мно­же­ст­ве всех дей­ст­ви­тель­ных чи­сел нет ни пер­во­го, ни по­след­не­го эле­мен­та; в упо­ря­до­чен­ном мно­же­ст­ве всех не­от­ри­ца­тель­ных чи­сел нуль есть пер­вый эле­мент, а по­след­не­го эле­мен­та нет; в упо­ря­до­чен­ном мно­же­ст­ве всех дей­ст­ви­тель­ных чи­сел $x$, удов­ле­тво­ряю­щих не­ра­вен­ст­вам $a⩽x⩽b$, чис­ло $a$ есть пер­вый эле­мент, $b$ – по­след­ний.

Упо­ря­до­чен­ное мно­же­ст­во на­зы­ва­ет­ся впол­не упо­ря­до­чен­ным, ес­ли оно са­мо и вся­кое его пра­виль­ное под­мно­же­ст­во име­ют пер­вый эле­мент. По­ряд­ко­вые ти­пы впол­не упо­ря­до­чен­ных мно­жеств на­зы­ва­ют­ся по­ряд­ко­вы­ми, или ор­ди­наль­ны­ми, чис­ла­ми. Ес­ли впол­не упо­ря­до­чен­ное мно­же­ст­во ко­неч­но, то его по­ряд­ко­вое чис­ло есть на­ту­раль­ное чис­ло. По­ряд­ко­вый тип бес­ко­неч­но­го впол­не упо­ря­до­чен­но­го мно­же­ст­ва на­зы­ва­ет­ся транс­фи­нит­ным чис­лом.

Некоторая онтология

Набор является чистым, если все его члены являются наборами, все члены его членов являются наборами и скоро. Например, набор {{}}, содержащий только пустой набор, является непустым чистым набором

В современной теории множеств принято ограничивать внимание вселенной фон Неймана чистых множеств, и многие системы аксиоматической теории множеств предназначены для аксиоматизации только чистых множеств. У этого ограничения есть много технических преимуществ, и теряется небольшая общность, потому что практически все математические концепции могут быть смоделированы с помощью чистых множеств

Множества во вселенной фон Неймана организованы в совокупную иерархию в зависимости от того, насколько глубоко вложены их элементы, элементы элементов и т. Д. Каждому набору в этой иерархии присваивается (с помощью трансфинитной рекурсии ) порядковый номер α {\ displaystyle \ alpha}, известный как его ранг. Ранг чистого набора X {\ displaystyle X}определяется как наименьшая верхняя граница всех преемников рангов членов Икс {\ Displaystyle X}. Например, пустому набору присваивается ранг 0, тогда как набору {{}}, содержащему только пустой набор, назначается ранг 1. Для каждого порядкового номера α {\ displaystyle \ alpha}набор V α {\ displaystyle V _ {\ alpha}}определяется как состоящий из всех чистых множеств с рангом меньше α {\ displaystyle \ alpha}. Вся вселенная фон Неймана обозначается V {\ displaystyle V}.