Виды
Существуют различные виды СС:
- Непозиционные. В них значение не зависит от ее позиции.
- Позиционные. «Итог» зависит от того, где именно стоит тот или иной компонент.
- Однородные.
- Неоднородные.
Каждый вариант предусматривает свои ключевые особенности.
Позиционный тип
Здесь значение каждой цифры будет зависеть от ее разряда в числе. Пример – для человека привычна 10-я СС. Она является позиционной. 453 рассмотрено в виде примера. Тут 4 – это сотни, что указывает на 400, 5 – десятки (50), 3 – единицы (3). Чем больше разряд, тем выше окажется значение.
Непозиционный тип
Самый древний вариант. Каждый компонент – это отдельная величина. Она никак не зависит от разряда. В программировании не используется, поэтому рассматривать его более подробно не рекомендуется.
Однородный тип
Однородный вариант – это тот, в котором для всех позиций числа набор допустимых символов будет одинаковым. Пример – десятичная система. Для записи элемента можно использовать в каждом разряде только одну цифру. А именно – от 0 до 9. Запись 450 допускается (1-й разряд – 0, 2 – 5, 3-й – 4), а вот 4F5 – нет.
Смешанный тип
В нем в каждом разряде допускается разный набор других позиций. Пример – это измерение времени:
- в секундах – 60 символов;
- в часах – 24;
- в сутках – 365.
Теперь можно рассмотреть, какие СС встречаются в информатике чаще всего.
Основные позиционные СС, правила перевода
Двоичная система счисления
Систему, на которой основывается работа компьютеров, придумал гениальный немецкий ученый Г.В. Лейбниц (еще до 19 века!). Он придумал и описал СС, в которой все вычисления проводятся при помощи двух простейших символов – 0 и 1.
Компьютер, как механическое устройство, получает команды в виде двоичной кодировки. Он не в силах понять сложные задания, человеческую речь, музыку или тысячи оттенков, а переводя/кодируя всю необходимую информацию при помощи 0 и 1 (сеть, отсутствие сети), можно передать ему любые команды или информацию. Естественно, такие задания выглядят как огромные массивы двух знаков.
Алгоритм перевода чисел из десятичной в двоичную систему:
- Деление на основу СС до тех пор, пока не останется в остатке значение меньше значения основы.
- Записать остатки, от последнего к первому.
- Первый ноль можно не писать.
111 0100 11002
Этот порядок действия позволят переводить в любую позиционную СС. В данном случае, основа – 2, остаток < или равен =.
Обратный алгоритм перевода из двоичной в десятичную систему счисления:
Записать число развернуто, то есть, сколько сотен, десятков и единиц в нем, но учитывая основу – 2
Объяснение. Развернутая форма записи 579: 5*102+7*101+9*10= 57910.
Обычно мы пользуемся свернутой формой записи чисел, то есть без разбивки на разряды и умножения на основу.
- Умножить и суммировать полученные значения.
А чтобы было легче, пользуются готовой таблицей степеней 2.
Альтернативный способ преобразования для гуманитариев
Для начала нужно написать степени двойки, начиная с самой большой:
Далее нужно отнимать от числа максимальную степень двойки и напротив нее ставить 1, если есть в исходном варианте или 0, если его нет. Перевод числа 579
Обратно еще проще. Подсчитать количество знаков – это будет степень 2 в степени -1. И так далее. А проще при помощи той же таблицы:
Если же оно на 1 больше, то число будет начинаться и заканчиваться на 1, а внутри – сплошные 0.
Восьмеричная СС
Основой такой системы является 8, а числа восьмеричной системы 0-7. Данная система счисления является позиционной и целочисленной. Применяется в сферах, связанных с цифровыми технологиями, особенно в Linux-программном обеспечении (права доступа, исполнения).
Пример: Перевести 5798 из десятичной в восьмеричную систему счисления:
Обратный перевод из восьмеричной СС в десятичную:
11038 = 1∙83+1∙82+0∙81+3∙8 = 512+64+0+3 = 57910
Таблица степеней
Альтернативный вариант таблицы степеней
Классификация систем счисления
Системы счисления подразделяются на позиционные и непозиционные.
Позиционные системы счисления
Позиционные системы счисления (СС) — это системы счисления, в которых количественный эквивалент каждой цифры (её вес) зависит от ее положения (позиции) в записи числа. Путем долгого развития человечество пришло к созданию позиционного принципа записи чисел, который состоит в том, что каждая цифра, содержащаяся в записи числа, занимает определенное место, называемое разрядом. Отсчет разрядов производится справа налево. Единица каждого следующего разряда всегда превосходит единицу предыдущего разряда в определенное число раз. Это отношение носит название основание системы счисления (у непозиционных систем счисления понятия «разряда» и «основания» отсутствуют).Например:число 237 состоит из 3 цифр. Понятно, что отдельно взятая цифра 7 больше чем цифра 2. Однако, в составе числа, двойка стоит на позиции сотен, а семёрка — на позиции единиц, поэтому количественное представление двойки — две сотни, или двести, а семёрка — всё та же семь.Многие, кроме десятичной СС, о других позиционных системах не имеют представления, хотя и часто ими пользуются. Например:
- шестидесятиричная (Древний Вавилон) — первая позиционная система счисления. До сих пор при измерении времени используется основание равное 60 (1 мин = 60 с, 1 ч = 60 мин);
- двенадцатеричная система счисления (широкое распространение получила в XIX в. Число12 — «дюжина»: в сутках две дюжины часов. Счет не по пальцам. а по суставам пальцев. На каждом пальце руки, кроме большого, по 3 сустава — всего 12;
В настоящее время наиболее распространенными позиционными системами счисления являются десятичная, двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная.Общее свойство всех позиционных систем счисления: при каждом переходе влево (вправо) в записи числа на один разряд величина цифры увеличивается (уменьшается) во столько раз, чему равно основание системы счисления.Достоинства позиционных систем счисления:
- в позиционных системах счисления устранены все недостатки непозиционных:
- в них можно записать любое число (как натуральное, таки действительное);
- запись чисел компактна и удобна;
- благодаря поразрядной организации записи чисел с ними легко проводить математические операции.
Непозиционные системы счисления
В непозиционных системах счисления величина, которую обозначает цифра, не зависит от положения в числе. Например: Римская система счисления.Из многочисленных представителей этой группы в настоящее время сохранила свое значение лишь римская система счисления, где для обозначения цифр используются латинские буквы:
| I | V | X | L | С | D | М |
| 1 | 5 | 10 | 50 | 100 | 500 | 1000 |
С их помощью можно записывать натуральные числа. Например, число 1995 будет представлено, как MCMXCV (М-1000,СМ-900,ХС-90 и V-5).Правила записи чисел в римской системе счисления:
- если большая цифра стоит перед меньшей, они складываются, например: VI – 6 (5+1);
- если меньшая цифра стоит перед большей, то из большей вычитается меньшая, причем в этом случае меньшая цифра уже повторяться не может, например: XL — 40 (50-10), XXL – нельзя;
- цифры М, С, Х, I могут повторяться в записи числа не более трех раз подряд;
- цифры D, L, V могут использоваться в записи числа только по одному разу.
Например, запись XXX обозначает число 30, состоящее из трех цифр X, каждая из которых, независимо от места ее положения в записи числа, равна 10. Запись MCXX1V обозначает 1124, а самое большое число, которое можно записать в этой системе счисления, это число MMMCMXCIX (3999). Для записи еще больших чисел пришлось бы вводить все новые обозначения. По этой причине, а также по причине отсутствия цифры ноль, римская система счисления не годится для записи действительных чисел.Таким образом, можно констатировать следующие основные недостатки непозиционных систем счисления:
- в них нельзя записать любое число;
- запись чисел обычно громоздка и неудобна;
- математические операции над ними крайне затруднены.
Степени чисел в десятичной системе
Прежде чем приступать к обсуждению. В последние годы изучение данной темы как на информатике, так и на математике почти не обсуждается.
Для освоения систем счисления необходимо четкое и полное понимание использования степеней чисел, которое в курсе математики к моменту проведения первых уроков
по системам счисления (зачастую 5–6 класс) изучается недостаточно полно (только квадрат и куб).
Несмотря на то, что степень числа может принимать любое значение, нас будет интересовать только натуральные и нулевая степени на примере десятичной системы.
- Введем некоторые аксиомы.
- Любое число в нулевой степени равно единице a = 1.
- Любое число в первой степени равно самому себе a1 = a.
- an = .
Перевод шестнадцатеричных чисел в десятичную форму
Название «шестнадцатеричный» произошло от числа 16. Цифры 0 … 9 одинаковы и для шестнадцатеричной, и для десятичной систем счисления. Шестнадцатеричные цифры от A до F соответствуют десятичным числам от 10 до 15. Соответствие между десятичными числами (Decimal) и шестнадцатеричными (Hexadecimal) можно представить в виде таблицы:
| dec | hex |
|---|---|
| 1 | 1 |
| 2 | 2 |
| 3 | 3 |
| 4 | 4 |
| 5 | 5 |
| 6 | 6 |
| 7 | 7 |
| 8 | 8 |
| 9 | 9 |
| 10 | A |
| 11 | B |
| 12 | C |
| 13 | D |
| 14 | E |
| 15 | F |
| 16 | 10 |
| 17 | 11 |
| 18 | 12 |
| 19 | 13 |
| 20 | 14 |
Обычно шестнадцатеричные числа помечают специальным символом «h»: 12h, F8h, 10h и др.
Это позволяет избегать путаницы между десятичными и шестнадцатеричными числами, не содержащими букв: 12 — десятичное, 12h — шестнадцатеричное.
Для перевода чисел из hex- в dec- форму используется очень простой алгоритм.
Например, переведем A7h в десятичную форму:
| 1 | переводим обе цифры в десятичную форму | A => 107 => 7 |
| 2 | умножаем каждое число на коэффициент, соответствующий разряду числа (весовой коэффициент) | 10 * 161 = 1607 * 16 = 7 |
| 3 | складываем полученные числа | 160 + 7 = 167 |
Шестнадцатеричное число A7h соответствует десятичному числу 167.
Данный пример можно записать более компактно:
A => 10 * 161 = 1607 => 7 * 16 = 7 перевод числа A7h в десятичную форму
A7h = 160 + 7 = 167
Примеры перевода чисел из одной системы счисления в другую:
| Перевод 2E8h в десятичную форму: | Перевод AF1Ch в десятичную форму: | ||||||||||
|
|
|
||||||||||
| Весовые коэффициенты: | Перевод 3B8D2h в десятичную форму: | ||||||||||
|
|
Переведите следующие шестнадцатеричные числа в десятичную форму:
A7h 100h 4F8Ch 45h 5E9h 1000h FFh FFFh FFFFh
Двоичная система счисления
Микропроцессор, будучи устройством электронным, воспринимает цифры, как комбинации электрических сигналов.
Например, число может быть представлено так:
0 вольт соответствует цифре "0" 1 вольт соответствует цифре "1" ... 9 вольт соответствует цифре "9"
При этом вероятность возникновения ошибки (например, из-за колебаний напряжения) очень велика.
Наиболее надежным способом представления чисел в электронном устройстве, является двоичная система счисления:
0 ... 0,5 вольт соответствует цифре "0" 2,5 ... 5 вольт соответствует цифре "1"
Такая разница между уровнями сигналов (соответствующих «0» и «1») практически исключает ошибки связанные с колебаниями напряжения и другими искажениями сигнала.
Кроме того, значительно упрощается компонентная база компьютера.
Таким образом, двоичная система счисления стала единым стандартом представления чисел в любом «думающем» электронном устройстве.
Двоичная система оптимальна для разработки микропроцессорных систем, но очень неудобна для написания программ.
Чтобы упростить процесс общения с микропроцессором, были разработаны программы,
транслирующие шестнадцатеричные числа в двоичный код, и выполняющие обратное преобразование.
Одной из таких программ является Debug.
Для вывода на экран чисел в шестнадцатеричном формате, Debug использует небольшую подпрограмму,
которая переводит двоичные числа (обрабатываемые микропроцессором), в шестнадцатеричную форму.
Двоичные числа мы будем помечать индексом «b» (binary — двоичный), например: 10010111b
Рассмотрим число 1101b.
Все разряды числа характеризуются весовыми коэффициентами,
которые получаются возведением основания системы счисления (два) в степень, соответствующую номеру разряда.
Нумерация разрядов начинается с нуля.
Для перевода числа из двоичной системы в десятичную, необходимо выбрать весовые коэффициенты тех разрядов,
где есть единица (в случае числа 1101b, это: 23, 22 и 2).
Далее нужно сложить эти числа: 23 + 22 + 2 = 13
| Номера разрядов | 3 | 2 | 1 | |
|---|---|---|---|---|
| Весовые коэффициенты | 23 | 22 | 21 | 2 |
| Число | 1 | 1 | 1 |
Перевод числа 11010010b в десятичную форму:
| 27 | 26 | 25 | 24 | 23 | 22 | 21 | 2 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | ||||
| 27 + 26 + 24 + 21 = 210 |
Переведите следующие двоичные числа в десятичный формат:
0110b 0101b 10111001b 10101101b 1011b 1001b 10011001b 11111111b
По размеру двоичные числа делятся на следующие:
1 бит
1011 полубайт
1101 0011 байт
1001 0110 0101 1110 слово
Графически это разделение можно показать так:
sign bit bit byte
| | | |
1001 0110 1101 0111
| word |
| bin | hex | dec |
|---|---|---|
| 0000 | ||
| 0001 | 1 | 1 |
| 0010 | 2 | 2 |
| 0011 | 3 | 3 |
| 0100 | 4 | 4 |
| 0101 | 5 | 5 |
| 0110 | 6 | 6 |
| 0111 | 7 | 7 |
| 1000 | 8 | 8 |
| 1001 | 9 | 9 |
| 1010 | A | 10 |
| 1011 | B | 11 |
| 1100 | C | 12 |
| 1101 | D | 13 |
| 1110 | E | 14 |
| 1111 | F | 15 |
Рассмотрим таблицу, в которой отражено соответствие двоичных, шестнадцатеричных и десятичных чисел.
Из таблицы видно, что двоичная и шестнадцатеричная системы кратны между собой. Данную пропорциональность в размерности чисел можно сформулировать так:
1111b = Fh двоичный полубайт
11111111b = FFh двоичный байт
1111111111111111b = FFFFh двоичное слово
Благодаря кратности, преобразования чисел из двоичной системы в шестнадцатеричную, выполняются очень просто.
Двоичное число разбивается на декады (четырехбитные фрагметны):
1001001001011011b => 1001.0010.0101.1011b
Каждая декада переводится в шестнадцатеричный формат, аналогично преобразованию чисел из двоичной системы счисления в десятичную:
1001b = 23 + 2 = 9 => 9 0010b = 21 = 2 => 2 0101b = 22 + 2 = 5 => 5 1011b = 23 + 21 + 2 = 11 => B 1001.0010.0101.1011b = 925Bh
Переведите следующие числа в шестнадцатеричную форму:
1111b 1110b 10101001b 1010b 1001b 10001001b 1011b 1101b 11111111b
Арифметические действия с двоичными числами выполняются аналогично действиям с десятичными числами.
Например, сложение одноразрядных двоичных чисел выглядит так:
1 1 0 1 +0 +1 +1 1 1 10
Сложение четырехразрядных и восьмиразрядных двоичных чисел:
1111 111111 1101 01101110 +0011 +01011010 10000 13 + 3 = 16 11001000 110 + 90 = 200
Выполните следующие действия:
0101 + 1100 10100011 + 00110011 1110 + 0011 10110011 + 01011100
(проверку результатов выполните в шестнадцатеричной системе счисления)
Классификация позиционных систем
Двоичные
Определение
Двоичная система — система счисления, в которой в качестве базовых чисел выбираются степени числа два.
Чтобы не путать их с числами, записанными в десятичной системе счисления, справа внизу указывают основание системы счисления. Обычно число при этом заключают в скобки.
Двоичную систему использовали задолго до возникновения информационных технологий. Во втором тысячелетии до нашей эры народы Южной Америки кодировали двоичной системой свои записи, в том числе и не числовые. Узелок и ровный участок нити чередовались друг с другом.
В современной двоичной системе, на основе которой был создан телеграф, а позже — реле и переключатели, единица обозначает наличие сигнала, ноль — его отсутствие. Цифровые электронные схемы работают по тому же принципу. Также на нем основаны сигнальные системы, использующиеся до сих пор, например, азбука Морзе.
Восьмеричные
Когда-то два индейских племени решили, что им удобно при счете смотреть на восемь промежутков между пальцами, а не на сами пальцы. Восьмеричная система счисления отразилась в их языках, в которых только восемь слов, обозначающих цифры.
В двадцатом веке, когда для написания программ требовалось зашифровывать все больше информации в двоичной системе и упростить вычисления для людей, придумали альтернативную систему, которая позволила сократить количество цифр в коде. Число восемь — это два в кубе, поэтому перевести записи из двоичной системы в восьмеричную и обратно проще, чем в десятичную.
Десятичные
Элементы числовой базы, или ключевые числа, в десятичной системе счисления представляют собой степени десяти: 10 = 10^1, 100 = 10^2, 1000 = 10^3.
В системе всего десять цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Число 10 — основание системы счисления. Цифры от 0 до 9 представляют собой коэффициенты разложения числа по степеням десяти.
Родиной десятичной системы счисления считается Индия, хотя еще в вавилонской цивилизации с ее шестидесятеричной системой использовались закодированные десятичные цифры, а инки в своей узелковой письменности кодировали информацию десятью цветами. Но именно в Индии начали строго соблюдать порядок разрядов числа при записи и ставить ноль, чтобы избежать путаницы. Примерно в середине VIII века эту систему стали использовать другие страны. В Европе она распространилась к XVI веку и была названа «арабской».
Шестнадцатеричные
Шестнадцатеричные системы, как и восьмеричные, появились для упрощения взаимодействия с компьютером. Кроме арабских цифр, в них используются еще и латинские буквы от А до F. В разных языках программирования для записи чисел в шестнадцатеричной системе разные правила, называемые синтаксисом.
Пятеричная
Система, связанная с количеством пальцев на одной руке, использовалась в Китае и у некоторых племен Африки. В китайском языке у иероглифов, обозначающих цифры от шести до девяти, был один и тот же знак в начале — сокращенное обозначение цифры пять. Для записи чисел в этой системе используются цифры 0, 1, 2, 3, 4.
Двенадцатеричная
Если большим пальцем руки сосчитать число фаланг на других пальцах этой руки, получится двенадцать. Группы по двенадцать предметов называли во многих европейских языках словами, схожими с русским словом «дюжина»: duodezim на латыни, douzaine на французском, dozzina на итальянском, dozen на английском. Римляне пользовались двенадцатеричными дробями, \frac1{12} они называли унцией.
В Европе счет дюжинами долгое время, вплоть до XVIII века, сохранялся наравне с десятеричной системой. Дюжина дюжин составляла гросс (от немецкого слова «большой»), дюжина гроссов — массу. Признаки влияния числа 12 заметны в англо-американской системе линейных мер, в которой 1 фут равен 12 дюймам, 1 дюйм — 12 линиям, 1 линия — 6 точкам.
Шестидесятеричная
Первой позиционной системой счисления считается шестидесятеричная система в Древнем Вавилоне. Ее основание до сих пор применяют для измерения времени. Система счисления времени — смешанная, но для перевода минут в секунды или часы потребуется именно шестидесятеричная система.
Для измерения углов и записи координат (широты, долготы) тоже используют эту систему, так как изначально астрономические координаты записывали в шестидесятеричных дробях. По аналогии с часом градус делят на шестьдесят минут, минуту — на шестьдесят секунд.
Двадцатеричная
Двадцатеричную систему называют вигезимальной. Эта система, как и десятеричная, связана с количеством пальцев, поэтому многие народы изобрели ее независимо друг от друга. Основание 20 сохранилось в лингвистической структуре их языков, именно на нем основана система счета в разговорной речи. Например, во французском языке «восемьдесят» состоит из слов «четыре» и «двадцать».
Унарная система счисления: что это
Изначально для записи количества предметов ставилось столько единиц (I), сколько было объектов, что неудобно – число «палочек» приходилось каждый раз подсчитывать. Чуть упростило задачу введение иных символов, при записи огромных значений система также оказалась неудобной из-за громоздкости записи и ряда правил для вычисления значений.
Правила записи чисел римлянами:
- Меньшая цифра добавляется до большей, если идёт после неё.
- Если меньшая предшествует старшей – отнимается.
- Две меньших цифры рядом, если следуют перед большей, не ставятся.
- D, V, L используют в числе лишь раз.
- I, X. C, M – применяются до трёх раз.
Кроме сложности записи, восприятия информации, совершения математических операций СС не прижилась по причине простоты фальсификации. Если в десятичной более или менее незаметно можно исправить 3 на 8 и добавить единицу в конце или начале, заниматься фальсификациями с римскими цифрами намного проще. Потому от неё отказались.
В цифровой технике унарные СС не применяются по названным причинам.
Общие сведения
Числа записывают при помощи определенных математических символов, значение которых зависит от системы счисления (формы представления). Последней называется метод записи числа посредством определенной совокупности знаковых элементов — цифр. Не все учащиеся понимают отличие цифры от числового значения. В учебнике по информатике для 9 класса можно встретить и такое определение: системы счисления — набор символов, используемый для обозначения цифр.
Цифры классифицируются на 2 вида: арабские и римские. Первые применяются для устного счета и представлены диапазоном от 0 до 9, который называется десятичной формой представления. Римские имеют другие обозначения. Вот расшифровка некоторых из них, которую можно перечислить в виде следующих символов: 1 — I, 2 — II, 3 — III, 4 — IV, 5 — V, 6 — VI, 7 — VII, 8 — VIII, 9 — IX, 10 — X, 40 — XL, 50 — L, 90 — XC, 100 — C, 200 — CC, 400 — CD, 500 — D.
Системы счисления – виды, особенности
Система счисления (СС) – способ выражения чисел при помощи специальных правил и знаков, которые называются цифрами.
Все существующие системы делят на 2 группы:
- Позиционные системы счисления – такие, в которых, в зависимости от положения, цифры будет иметь разное значение. К этой группе относится арабская СС, в которой на первом месте справа цифра будет обозначать единицы, на втором – десятки, на третьем – сотни и так далее.
Чтобы выразить число 475, достаточно по порядку написать 3 символа, 475, выражая 5 единиц, 7 десятков и 4 сотни.
К этой группе также относятся СС с различными основаниями (2,8,16).
- Непозиционные СС – имеет значение именно знак, а не его положение. Единицы, десятки, сотни обозначаются определенными символами. Яркий представитель этой группы – римская СС.
Еще одна особенность – чтобы выразить число и не использовать сотни символов, применяется прибавление и вычитание. Написать 475 римскими знаками можно так CCCCXXXXXXXIIIII, но это нерационально. Если отнимать или прибавлять цифры, получится меньшее количество символов – CDLXXV. Цифра слева означает, что ее нужно отнять от большего числа, а справа – прибавить.
12 – XII
8 – VIII или IIX
Правильным считается тот вариант, при котором получается меньше символов.
Интересно. Первой позиционной СС была вавилонская и была она шестнадцатиричная! А в 19 веке использовали двенадцатеричную СС.
Алфавит СС – знаки, которые используются для обозначения цифр.
Основание – количество знаков, которыми кодируются числа. Еще оно показывает отличие между цифрами на разных позициях. Основание – целое число, начиная с 2.
Важно. Если в тексте идет речь о различных системах, то чтобы уточнить, какая используется основа, ставится подстрочный знак: 12548, 011001112
Примеры? Если же обозначения нет, по умолчанию это десятичная (12549).
Разряд – положение, позиция обозначения цифры в числе. Пример?
Классификация систем счисления
Все современные системы можно разделить на два класса: непозиционные и позиционные.
В непозиционных системах (например, римской) значение знаков зависит от порядка их записи. Так, если I стоит перед V (IV), то это означает 5–1 = 4, а если после (VI), то это означает 5+1 = 6.
В позиционной системе, основным примером которой является повсеместно используемая десятичная, значение цифры четко зависит от ее положения (разряда).
Например, число 333 записывается тремя одинаковыми цифрами, но значение их различается по четким правилам: три сотни, три десятка и три единицы (333=300+30+3).
Важно подчеркнуть, что возможна другая форма записи такого разложения:
333 = 300 + 30 + 3 = 3•102 + 3•101 + 3•10.
Принято считать, что основание 10 возникло в соответствии с количеством пальцев у человека.
Перевод чисел
Данное действие можно считать самым простым из всех, относящихся к системам счисления.
Каждая цифра числа образует слагаемое, которое надо записать, а потом произвести необходимые арифметические действия.
Прежде чем перейти к конкретным рассуждениям, надо отметить, что приводимые в заданиях числа, обычно не превышают 102410 или ненамного больше этого значения.
Это связано с разумным ограничением сложности вычислений.
| n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | |
| 2n | 1 | 2 | 4 | 8 | 16 | 32 | 64 | 128 | 256 | 512 | 1024 |
| n2* | 1 | 10 | 100 | 1000 | 10000 | 100000 | … |
Любое из производимых действий будет замкнуто на эту таблицу!
В десятичную систему
Вне зависимости от обсуждаемой системы счисления, любое число можно разбить на разряды, каждый из которых вносит определенный вклад в значение числа.
Общей закономерностью является то, что чем правее стоит цифра, тем меньшее значение она подразумевает.
В качестве первого примера рассмотрим число 1111n
В качестве второго примера рассмотрим число 1234n
Общая формула для перевода:
a1*n
+ a2*n1
+ a3*n2
+ a4*n3
+ … + ak*nk–1
где n — основание системы счисления, k — номер разряда числа.
Из десятичной системы
1. Остаток от деления
Последовательно делим число на основание до тех пор, пока не получим частное, равное нулю.
Остатки записываем.
После завершения вычислений записываем значения остатков
в обратном порядке. Полученное число и будет ответом.
Разложим два числа: 23 и 64.
| Делимое | Остаток | Смысл действия |
| 23105210 | 11101 | 23/2 = 22/2 + 1 = 11 + 111/2 = 5 + 15/2 = 4/2 + 1 = 2 + 12/2 = 1 + 1/2 = 0 + 1 |
102
| Делимое | Остаток | Смысл действия |
| 64321684210 | 0000001 |
64/2 = 32 + 32/2 = 16 + 16/2 = 8 + 8/2 = 4 + 4/2 = 2 + 2/2 = 1 + 1/2 = 0 + 1 |
102
В некоторых учебниках (например, Босовой) предлагается таблицу записи располагать горизонтально, что очень удобно для сравнительно небольших чисел (11).
В верхней строке записывается число. Остаток от деления (в нашем случае на 2) записывается под ним, а целая часть частного — в следующей колонке.
| Делимое | 23 | 11 | 5 | 2 | 1 |
| Остаток | 1 | 1 | 1 | 1 |
102
Способом деления можно перевести число в любую систему счисления. Давайте переведем 44 в троичную систему.
| Делимое | 44 | 14 | 4 | 1 |
| Остаток | 2 | 2 | 1 | 1 |
103
Трудно сказать, насколько комфортно ощущают себя люди, производящие привычное деление столь необычным образом.
Лично я испытываю значительный дискомфорт, особенно при переводе не в двоичную систему.
Поэтому, давайте перейдем к другому, менее «магическому» способу.
2. Разложение
Как известно, любое число можно представить в виде суммы чисел.
Таким образом становиться ясно, что для этих вычислений нужно
Порядок действий на практике
Пример 1. Переведем 900 в семеричную систему.
Пример 2. Переведем 900 в пятеричную систему.
Пример 3. Переведем 900 в двоичную систему.
В связи с довольно большой трудоемкостью, данный метод едва ли можно назвать слишком простым
для двоичной системы. Но он вполне понятен и, из-за необходимости четкой записи, всегда может быть легко проверен.
В некоторых случаях, когда число очень мало отличается от степени основания, перевод может оказаться значительно более быстрым, чем другие способы.
Из двоичной в восьми- и шестнадцатеричную системы
Это действие является основным для многих заданий. К сожалению, большинство учебников предлагает зазубрить примерно следующий принцип.
Для перевода из двоичной системы счисления в восьмеричную следует разбить двоичное число по три разряда справа налево.
Необходимо заметить, что 8 = 23, а 16 = 24. Именно поэтому в приведенном правиле и используются группы по три разряда, а для перевода в 16-ричную потребуются уже 4 разряда.
Внимательный читатель может заметить, что еще осталось 4 = 22. То есть двоичную систему также легко можно преобразовать и в четверичную.
Отсюда же следует, что раз 9 = 32, то троичная система легко преобразуется в девятеричную, если разбить её число на пары.
Как это делается на практике.
Факультативный материал по переводу в четверичную систему.
24
Из восьми и шестнадцатеричной систем в двоичную
Все также, как и в предыдущем разделе, только каждая цифра восьмеричного числа
превращается в три двоичных цифры, а шестнадцатеричного — в четыре.
Типичной ошибкой является незаписывание ведущих нулей (10 вместо 010).
Буквально пара слов о системах счисления и математике: сколько в числе нолей в конце, столько раз оно делится без остатка на основание системы.
Таблицы истинности
При помощи тех же нулей и единиц создаются таблицы истинности логических выражений, в которых описаны всевозможные варианты.
Основные логические операции
Например, конъюнкция является одной из логических операций. Она является истиной только в том случае, если два высказывания имеют истинные значения.
Логические переменные таблицы истинности обозначают p и q, а их значения выражают при помощи 0 и 1, где 0 – ложь, 1 – истина:
Фрагмент таблицы истинности для конъюнкции.
Так выражаются условия для всех логических операций.
Применяются таблицы истинности еще с начала 20 века в алгебре, логике, программировании.
