18.4 Полный момент электрона
Внутренний sи орбитальный lмоменты электрона складываются в его полный момент j:
(4.1)j = l + s.
Возможные значения jпри
заданных lи sопределяются правилом сложения моментов. Проекция момента jz
просто равна сумме проекций lz и sz:
Формулу (4.2) иллюстрирует рис.18.4.1:
В двенадцатой главе было введено квантовое число m, которое описывало проекцию орбитального момента на
выделенное направление. Теперь таких чисел стало три, обозначим их,
соответственно, ml, ms
и mj. Каждое из них лежит в
своём диапазоне:
Возможные значения jнаходим следующим способом. Сначала по (4.2) вычисляем все
проекции jz, определяемые комбинациями пар lz и sz. Затем воспользуемся
соотношением между искомой величиной jи соответствующим ей рядом (4.3c). Полученные числа перегруппируем так,
чтобы стало ясно, какому значению jсоответствует каждый набор проекций.
Сначала рассмотрим случай равного нулю орбитального момента. Его
проекция принимает единственное (нулевое) значение, следовательно, проекция
полного момента повторяет значения проекции спина, их два:
jz = ±1/2.
Две такие проекции может иметь только момент, равный
половине:
j = 1/2.
Четыре квантовых числа — n,
угловой орбитальный момент l,
спин sи
полный момент jопределяют
уровень атома. В обозначении уровня они зашифровываются следующим образом. Сначала
приводится главное квантовое число n,
а затем следует информация о моментах. На уровне строки вслед за nзаписывается
символ орбитального квантового числа, в соответствии с табл. 16.7.1. Информация о спине расположена слева вверху от символа l, а значение полного момента записывается на месте правого нижнего
индекса:
(4.4)n2s+1символ
lj.
Принято записывать не сам спин s, а число его возможных проекций 2s+1, которое называют мультиплетностью. Физический
смысл мультиплетности станет ясен после того, как будут выведены правила
сложения моментов. Итак, состояния с равным нулю орбитальным моментом при
заданном nимеют
ровно один уровень: n2s1/2.
Теперь рассмотрим случай l > 0,
то есть, орбитальный момент больше спинового. Однозначного решения здесь нет.
Действительно, существует пара проекций, lz= lи
ms=1/2,
которой соответствует максимально возможная сумма, равная l+1/2.
Из (4.2) и (4.3) следует, что момент равен j = l+1/2. Но такой момент
имеет всего 2l+2 проекции, в то
время как орбитальный и спиновый моменты образуют 2(2l+1) пар. Легко видеть, что два последних числа
совпадают только при l=0. Таким
образом, если l1, то атом
имеет, по крайней мере, два уровня. Перед тем, как поставить задачу для
произвольного l, решим её в двух частных случаях: l=1 и l=2.
1.l=1. Выпишем в таблицу все 6 возможных значений суммы ml+ms:
|
–1 |
+1 |
||
|
–1/2 |
–3/2 |
–1/2 |
+1/2 |
|
+1/2 |
–1/2 |
+1/2 |
+3/2 |
Первая строка содержит все возможные значения
ml, а
первый столбец — все значения ms.. На пересечении каждой строки и столбца написана сумма mj= ml+ms. Красным цветом
помечены четыре проекции mj, соответствующие моменту, равному
3/2. Оставшиеся два числа, очевидно, описывают момент j=1/2. Таким
образом, в p–состояниях
возможны два уровня: j=1/2
и j=3/2.
2.l=2. Аналогичным образом оформим
таблицу из 2·(2·2+1)=10 чисел:
|
–2 |
–1 |
+1 |
+2 |
||
|
–1/2 |
–5/2 |
–3/2 |
–12 |
+1/2 |
+3/2 |
|
+1/2 |
–3/2 |
–1/2 |
+1/2 |
+3/2 |
+5/2 |
Здесь последовательности красных и чёрных чисел указывает на
значения полного момента, равные, соответственно, 5/2 и 3/2.
3.Произвольное
значение l1.
Выпишем таблицу сумм lz + sz
в два ряда:
|
–l |
–l+1 |
–l+2 |
… |
l–2 |
l–1 |
l |
|
|
–1/2 |
–l–1/2 |
–l+1/2 |
–l+3/2 |
… |
l–5/2 |
l–3/2 |
l–1/2 |
|
+1/2 |
–l+1/2 |
–l+3/2 |
–l+5/2 |
… |
l–3/2 |
l–1/2 |
l+1/2 |
Хорошо видно, что 2l+2=2(l+1/2)+1 числа красного ряда соответствуют
полному моменту j= l+1/2, а 2l =2(l–1/2)+1 чёрных числа являются проекциями
момента, равного l–1/2.
Собирая вместе полученные результаты, приходим к выводу, что
положительным значениям орбитального момента соответствуют два значения полного
момента:
(4.5)j = l
±1/2.
Приведём обозначения
соответствующих уровней:
n2p1/2, n2p3/2, n2d3/2, n2d5/2, n2f5/2, n2f7/2 и т.д…
Напомним, что в
приближении чисто кулоновского поля энергии уровней с одним и тем же значением nоказываются
одинаковыми. Кулоновское вырождение снимается релятивистскими и радиационными эффектами.
Два из них — спин–орбитальное взаимодействие и зависимость массы электрона от
скорости мы рассмотрим в этой главе.
Итак, для s =
½ мы показали, что, если орбитальный момент не меньше спинового:ls, то состояние с заданным значением lимеет 2s+1 уровень. Величину 2s+1 называют мультиплетностью и
приводят вместо спина в обозначении уровня (4.4). Мы убедились также, что при l<sчисло
уровней не равно 2s+1. Тем не менее, и в
этом случае в левом верхнем углу приводят именно значение мультиплетности.
Откуда взялись атомы?
Как известно, сейчас различные атомы сгруппированы в таблицу Менделеева. В ней насчитывается 118 (а если с предсказанными, но еще не открытыми элементами — 126) элементов, не считая изотопов. Но так было далеко не всегда.
В самом начале формирования Вселенной никаких атомов не было и подавно, существовали лишь элементарные частицы, под воздействием огромных температур взаимодействующие между собой. Как сказал бы поэт, это был настоящий апофеоз частиц. В первые три минуты существования Вселенной, из-за понижения температуры и совпадения еще целой кучи факторов, запустился процесс первичного нуклеосинтеза, когда из элементарных частиц появились первые элементы: водород, гелий, литий и дейтерий (тяжелый водород). Именно из этих элементов образовались первые звезды, в недрах которых проходили термоядерные реакции, в результате которых водород и гелий «сгорали», образуя более тяжелые элементы. Если звезда была достаточно большой, то свою жизнь она заканчивала так называемым взрывом «сверхновой», в результате которого атомы выбрасывались в окружающее пространство. Так и получилась вся таблица Менделеева.
Вселенная
Сверхтонкая структура атомных спектров
Взаимодействие магнитных моментов электронов в атоме с ядром ведет к дополнительному расщеплению энергоуровней. Как результат: линии тонкой структуры дополнительно расщепляются, возникает сверхтонкая структура линий спектра. Данное расщепление весьма мало (около тысячных нм). Его наблюдают при помощи спектральных приборов, которые имеют высокую разрешающую способность.
Сверхтонкая структура была открыта Майкельсоном в $1891$ г. при помощи интерферометра Фабри и Перо. Позднее, было выявлено, что некоторые линии спектра имеют более $10$ близко расположенные компоненты. К $1910$ г. был получен большой объем экспериментальных данных, однако его объяснение стало возможным только после создания квантовой теории.
Первые измерения спинов и магнитных моментов ядер были изначально получены при исследовании сверхтонкой структуры линий спектра. Данный метод не был точен и утратил свое значение на сегодняшний момент. Все сведения о спинах и магнитных моментах в дальнейшем получали методом ядерного магнитного резонанса.
Гипотеза Паули предполагала, что сверхтонкая структура линий спектра появляется вследствие взаимодействия магнитного момента атомного ядра с магнитным полем, которое создано электронной оболочкой (орбитальным и спиновым моментами электронов). Помимо этого ядро может обладать электрическим квадрупольным моментом, электрическими и магнитными мультиполями, которые взаимодействуют с электронной оболочкой. Данная гипотеза полностью подтверждена. Основную роль играет магнитный дипольный момент ядра. Он взаимодействует с магнитным полем электронной оболочки, которая окружает ядро. Это взаимодействие ведет к расщеплению энергетических уровней. С этим связана (в основном) сверхтонкая структура энергоуровней и линий спектра.
Замечание 2
Отметим, что в спектральном приборе наблюдают сверхтонкая структура не энергетических уровней, а спектральных линий. Каждая линия спектра сверхтонкой структурой появляется как результат перехода атома с одного подуровня на другой. Допустимые переходы определены правилами отбора.
Интенсивности линий спектра сильно зависят от кратности вырождения энергетических уровней, между которыми идут квантовые переходы.
Пример 1
Задание: Ядро составлено из двух нуклонов. Полные моменты этих нуклонов равны: $j_1=\frac{5}{2}$ и $j_2=\frac{3}{2}$ , какие значения может принимать момент количества движения ядра ($I$), которое составлено из вышеупомянутых нуклонов?
Решение:
Если составить ядро из $2$ нуклонов с полными моментами $j_1=\frac{5}{2}$ и $j_2=\frac{3}{2}$, то момент количества движения ядра может быть равен одному из целых чисел, равного длине стороны треугольника, две остальные стороны которого равны $j_1$ и $j_2$, то есть запишем:
\
Так как выполняется неравенство (1.1), то:
\
Так как длина стороны треугольника не может быть больше суммы (4) или меньше разности (1), то механический момент ядра в нашем случае может иметь значения:
\
Ответ: $I=1,2,3,4.$
Пример 2
Задание: Какое явление получило название азотной катастрофы?
Решение:
До того, как были открыты нейтроны, считали, что ядро составлено из протонов и электронов. Рассмотрим ядро атома азота: $N^{14}_7.$ Если ядро содержит протоны и электроны, то в нем содержится: $14$ протонов и $7$ электронов:
\
Спины протона и электрона равны $\frac{1}{2}\hbar .$ Получается, что спин ядра азота должен быть полуцелым. Эмпирически же получалось, что величина спина ядра азота равна $1$. Данный факт и получил наименование: «азотная катастрофа».
Так, измерение значений спинов ядер подтолкнуло к выводу о том, что электроны не входят в состав ядер атомов.
На самом деле, ядро атома азота содержит $7$ протонов и $7$ нейтронов:
\
Получается, что спин ядра атома азота будет целым.
18.1. Магнитомеханические явления
Движущийся по замкнутой орбите электрон, подобно
электрическому току, возбуждает в окружающем пространстве магнитное поле,
равное полю магнита с моментом
,
где S — площадь, охватываемая орбитой электрона, а τ —
период обращения. Энергия взаимодействия атома с магнитным полем определяется
напряжённостью поля Н и магнитным моментом атома μ.
Перепишем формулу (1.3.3) первой главы:
.
В силу пропорциональности магнитного и механического
моментов это означает зависимость энергии от проекции орбитального момента, или,
иными словами, — снятие вырождения по магнитному квантовому числу. Перейдём к
количественному описанию в рамках классической механики.
Площадь кеплерова эллипса можно выразить через момент вращения
,
откуда следует связь между модулями механического и
магнитного моментов электрона:
.
Магнитный момент любой заряженной частицы направлен вдоль той же прямой, что и
механический, причём у частицы с отрицательным зарядом — в противоположную
сторону. Величина
называется гиромагнитным отношением. Из (1.1) следует, что в случае
орбитального движения электрона его гиромагнитное отношение равно
Все полученные здесь результаты могут быть кратко изложены в
векторной форме:
Знак перед γ определяется зарядом частицы. Например, у электрона он
отрицательный. Отметим, что (1.4) непосредственно получается из общих
определений механического и магнитного моментов:
Здесь m — масса частицы, q — её заряд
(для электрона m = me,
q = –e).
Наличие связи между механическим и магнитным моментами неоднократно
проверялось в разных экспериментах. На рис.18.1.1 схематически изображён опыт
Эйнштейна и де Гааза.
Стержень из вещества с парамагнитными свойствами
подвешивался на кварцевой нити с прикреплённой к ней зеркальцем. Стержень
помещался внутри катушки, по которой пропускали переменный ток. Зеркало
освещается узконаправленным пучком света, который отражается на экране в виде
светового пятна. Если частота тока совпала с частотой крутильных колебаний, то пятно
расплывается в полоску света. Этот опыт показал, что электроны обладают
одновременно магнитным и механическим моментами.
Барнетт выполнил в некотором смысле обратный эксперимент. В нём раскручивался,
а потом быстро останавливался проводящий цилиндр. В момент остановки в образце
появлялся электрический ток.
Магнитный момент квантуется аналогично механическому. Подставляя в
(1.1) условие квантования (15.1.7) и меняя обозначение
nφ на ml, получим
Знак здесь, в отличие от (1.4), не имеет значения, так как
квантовое число ml принимает
равные по модулю положительные и отрицательные значения.
Таким образом, магнитный момент стационарной орбиты является целым
кратным от магнетона Бора (1.3.4). В силу (1.4) связь между абсолютной
величиной и проекцией момента (12.3.5), распространяется и на магнитный момент
атома. Следовательно, проекция вектора μ
на направление внешнего магнитного поля может иметь 2l+1 значение.
Сказанное иллюстрирует рис.18.1.2.
Важную роль в развитии атомной физики сыграли опыты Штерна и
Герлаха по исследованию отклонения атомных пучков в неоднородном магнитном
поле. Схема опыта приведена на рис.18.1.3. В сосуде, где создан глубокий
вакуум, печка K испускает атомы некоторого химического
элемента. С помощью диафрагм B и B’
создаётсярезкоограниченный
пучок. Прежде чем попасть на фотопластинку P, пучок проходит через неоднородное магнитное поле,
создаваемое электромагнитом со специально профилированными наконечниками N и S. Сила, действующая на атом,
согласно (1.3.3), зависит от угла между H и m. Следовательно,
пучок должен расщепиться на 2l+1 компоненту.
Опыты Штерна и Герлаха действительно обнаружили расщепление
атомного пучка и, тем самым, подтвердили квантование момента. Они же показали,
что атомы иногда проявляют свойства, необъяснимые в модели орбитального
момента. В экспериментах с водородом, щелочными металлами, серебром, золотом
отсутствовала несмещённая компонента, и число пучков оказывалось равным двум,
то есть, чётным. У всех перечисленных элементов собственный орбитальный момент
равен нулю, поэтому следовало ожидать только одной — несмещённой компоненты. Кроме
того, расстояние между следами пучков на фотопластинке в этих случаях становилось
вдвое больше.
На рис. 18.1.4 приведены два случая. Слева
— расщепление, объясняемое в модели орбитального момента при l=2:
видно пять компонент с несмещённым пучком в центре. Справа
— расщепление на два пучка, причём тому же самому значению магнитного поля
отвечает вдвое бóльшее расстояние между ними, чем на левом рисунке.
18.9 Коэффициенты векторного сложения.
В четвёртом разделе мы изложили способ
определения полного момента электрона j,
если известны его спиновый s
и орбитальный l моменты. Сначала вычисляются
все проекции полного момента по формуле (18.4.2). Перепишем её, применив
обозначения формулы (18.4.3):
(9.1)mj = ml+ ms.
Например, пара моментов l=1
и s=½ образует сформированную в
таблице 18.4.1 матрицу из шести элементов. В нижней и верхней строках матрицы имеются повторяющиеся значения mj = ±½. Они
соответствуют различным комбинациям угловых и спиновых частей полной волновой
функции электрона
Волновая функция состояния с заданными значениями полного момента jи
одной из его проекций mjявляется линейной
комбинацией функций (9.1) с такими значениямиmlиms,которые удовлетворяют
условию (9.1)
На языке линейной алгебры сумма (9.3) означает переход от базиса (lmlsms)
к базису (lsjmj).
Это преобразование не затрагивает радиальную часть волновой функции, и в
дальнейшем мы будем выписывать только угловые и спиновые множители:
В общем случае, при сложении двух произвольных угловых моментов,
например, J1 и J2:
волновая функция ФJMпредставляется в виде суммы
Часто бывает удобнее пользоваться обозначениями Дирака:
где — трансформационная
матрица перехода от базиса (J1M1J2M2) к базису (J1J2JM). Элементы этой матрицы или соответствующие им множители в формуле (9.6)
называются коэффициентами Клебша–Гордана.
Существует более симметричная форма для коэффициентов разложения — так
называемые 3j–символы
Вигнера . Коэффициенты Клебша–Гордана
связаны с 3j–символами
соотношением
Перечислим самые важные для нас свойства симметрии 3j–символов Вигнера
.
Они инвариантны относительно чётной перестановки столбцов:
а при нечётной перестановке меняют знак на (–1)a+b+c.
Далее, 3j–символы отличны от нуля только при одновременном выполнении двух
условий. Во–первых, сумма трёх чисел в нижней строке
должна быть равна нулю:
Это условие с очевидностью вытекает из (9.1) и (9.8). Во–вторых, элементы верхней строки должны подчиняться правилу треугольника Δ(abc).
Оно гласит, что ни одно из трёх чисел не может быть меньше разности двух других
и не может превысить их сумму. Правило треугольника, по существу, является
отражением теоремы сложения моментов, частные случаи которой рассмотрены в
четвёртом разделе этой главы.
Коэффициенты Клебша–Гордона подчиняются
условиям ортогональности:
В совокупности с (9.8) эти условия дают полезное для расчётов свойство
3j–символов:
Общие формулы для вычисления 3j–символов громоздки, но для важнейших
частных случаев они приведены в монографии И.И. Собельмана
«Введение в теорию атомных спектров»,ФИЗМАТГИЗ, 1963.
Но для равного нулю полного момента (J=0, соответственно, и M=0) 3j–символ вычисляется совсем просто:
Приведём таблицу коэффициентов Клебша–Гордона для атома водорода или
водородоподобного иона (s=½).
Таблица 18.9.1.
Коэффициенты Клебша–Гордана для одноэлектронной
системы.
|
ms j |
+ ½ |
– ½ |
|
l + ½ |
||
|
l – ½ |
Пользуясь ею, можно вычислить коэффициенты разложения волновых функций
полного момента по волновым функциям
базиса (lmlsms),
то есть, по спиновым и угловым функциям . Отметим, что сумма квадратов коэффициентов в таблице 18.9.1
по строкам и столбцам равна единице.
Теперь мы можем более глубоко
проанализировать правило сложение моментов и выяснить причину повторяющихся
проекций. Например, рассмотрим таблицу 18.4.1, где вычислен полный момент p–электрона.
Выпишем соответствующие разложения волновых функций:
Красным цветом мы выделили две формулы, описывающие состояние с mj=1/2. Верхняя формула
отвечает значению j=1/2,
а для второй j=3/2.
Сравнивая коэффициенты в правой части обеих формул, приходим
к следующему выводу: состояние с полным моментом j=3/2 и проекцией mj=½ на две трети включает
в себя состояние исходного базиса и на одну треть — состояние
. С другой стороны, уровень p1/2 на одну треть «состоит»
из и на две трети — из .
Спиновый магнитный момент
Спин является частью полного механического момента импульса частицы, и если
последняя заряжена, то спину по формулам классической электродинамики можно
поставить в соответствие определённый магнитный дипольный момент. При этом
часто используется так называемое гиромагнитное отношение как отношение
магнитного момента к механическому моменту. Для частицы с массой m, зарядом qи спином Sспиновый магнитный момент μ равен:
где безразмерная величина gназывается g-фактором. Для чисто орбитального
(например, кругового) вращения элементов заряженного вещества частицы вокруг
оси g-фактор должен быть равен 1. У электрона g-фактор почти точно равен 2, что
существенно отличает спин от орбитального вращения. Отличие g-фактора электрона
от 2 в квантовой электродинамике обосновывается как следствие взаимодействия
заряда электрона с окружающим электромагнитным полем, включая самодействие поля
электрона. За счёт спинового магнитного момента частицы могут взаимодействовать
друг с другом и с внешними магнитными полями.
Как правило принимается, что нейтрино электрически
нейтральны, но при наличии некоторой ненулевой массы покоя у них не исключается
наличие магнитного момента. Формула
для предполагаемого магнитного момента нейтрино имеет вид:
где есть масса-энергия
нейтрино в электронвольтах, –
магнетон Бора. Если исходить из оценок массы-энергии нейтрино, не превышающих
значение 1 eV, то из соображений ограниченности электромагнитной энергии по
сравнению с энергией покоя ожидается, что магнитный момент нейтрино не
превышает 10−14.
Из имеющихся экспериментальных данных магнитный момент нейтрино не превышает
1,2 × 10–10 от величины магнитного момента электрона.
Наличие спина у составных частиц приводит к соответствующему спиновому
магнитному моменту. Многие нейтральные адроны, невзирая на равенство нулю у них
суммарного заряда, обладают магнитным моментом, причём направление магнитного
момента обычно противоположно спину. Это ясно указывает на их сложную
внутреннюю электромагнитную структуру. С точки зрения кварков, которым
приписываются различные заряды, магнитные моменты адронов приблизительно могут
быть получены как комбинации спиновых и орбитальных магнитных моментов
составляющих адроны кварков.
В веществе большинства тел магнитные моменты атомов направлены случайным
образом в различные стороны и взаимно вычитают друг друга, обращая суммарное
магнитное поле в нуль. В ферромагнитных материалах
ниже температуры Кюри возникает внутренняя магнитная упорядоченность за счёт
доменной структуры. В каждом домене магнитные моменты атомов выстраиваются
приблизительно параллельно, усиливая общее магнитное поле. В свою очередь
магнитные поля доменов суммируются векторно, приводя
к достаточно устойчивой намагниченности ферромагнетиков и превращая их в
магниты.
Магнитная упорядоченность возникает и под действием внешнего магнитного
поля. В парамагнитных материалах магнитные моменты атомов устанавливаются вдоль
приложенного магнитного поля, тогда как в диамагнитных веществах атомные
магнитные моменты направлены против поля и ослабляют его. Электронный
парамагнетизм есть следствие ориентации электронных магнитных моментов, которые
начинают прецессировать вдоль направления поля. Диамагнетизм вытекает из
действия закона электромагнитной индукции, согласно которому при изменении
магнитного потока в системе зарядов возникает электродвижущая сила.
Появляющееся по действием
этой силы движение зарядов приводит к магнитному полю, направленному
противоположно исходному магнитному полю (правило Ленца). Считается, что
существенная доля магнитных моментов атомов связана со спином электронов, хотя
вклады в магнитные эффекты делают и орбитальные магнитные моменты электронов.
История открытия и строение
Понятия атома было известно еще в Древней Греции. Атомизм – физическая теория, которая гласит, что все материальные предметы состоят из неделимых частиц. Наряду с Древней Грецией, идеи атомизма параллельно развивался еще и в Древней Индии.
Не известно, рассказали тогдашним философам об атомах инопланетяне, или они додумались сами, но экспериментально подтвердить данную теорию химики смогли много позже – только в семнадцатом веке, когда Европа выплыла из пучины инквизиции и средневековья.
Долгое время господствующим представлением о строении атома было представление о нем как о неделимой частице. То, что атом все-таки можно разделить, выяснилось только в начале двадцатого века. Резерфорд, благодаря своему знаменитому опыту с отклонением альфа-частиц, узнал, что атом состоит из ядра, вокруг которого вращаются электроны. Была принята планетарная модель атома, в соответствии с которой электроны вращаются вокруг ядра, как планеты нашей Солнечной системы вокруг звезды.
Планетарная модель
Современные представления о строении атома продвинулись далеко. Ядро атома, в свою очередь, состоит субатомных частиц, или нуклонов – протонов и нейтронов. Именно нуклоны составляют основную массу атома. При этом протоны и нейтроны также не являются неделимыми частицами, и состоят из фундаментальных частиц — кварков.
Ядро атома имеет положительный электрический заряд, а электроны, вращающиеся по орбите – отрицательный. Таким образом, атом электрически нейтрален.
Ниже приведем элементарную схему строения атома углерода.
Схема строения атома
