Конструкция, принцип работы дифференциала
Дифференциалы, используемые на авто, делаются на основе обычного редуктора планетарного типа. Основными его составными компонентами являются:
- корпус, он же — чашка (выполняет роль ведущего элемента);
- сателлиты;
- ведомые шестеренки;
Видео: Как работает дифференциал / How Differential Steering Works (на русском)
https://youtube.com/watch?v=qbcwdSSq5h4
Эта конструкция может использовать разные виды зубчатых передач:
- Цилиндрические.
- Конические.
- Червячные;
Видео: Дифференциал, обзор конструкции, принцип действия
Редуктор состоит из двух шестерён (малой ведущей и большой ведомой). Часто ведомую из-за ее размера называют еще зубчатым колесом. Вот к ней и крепиться чашка при помощи болтового соединения. Внутри чашки сделаны оси для крепления сателлитов. Количество их может варьироваться в зависимости от значения крутящего момента. На легковых авто, где усилия не особо высокие, устанавливается по два сателлита, на внедорожниках же их количество может составлять 4 штуки.
Сателлиты находятся в постоянном зацеплении с правой и левой ведомыми шестернями (вторые получаются зажатыми между первыми). Ведомые шестеренки закрепляются посредством шлицевого соединения на полуосях (в переднеприводных авто они соединены с приводными валами).
Количество зубьев на ведомых шестернях может быть как одинаковым (симметричный дифференциал), так и разным (ассиметричный). Первый тип обеспечивает распределение вращения по полуосям (приводным валам) в равном соотношении, а у второго это выполняется в строго определенных значениях.
Из-за этих особенностей симметричный тип используется в качестве межколесного, а ассиметричный – межосевого дифференциалов.
Работает планетарный узел так: во время прямолинейного движения оба колеса ведущей оси получают одинаковое сопротивление от дорожного полотна. Вращение, получаемое от коробки передач передается на ведомое зубчатое колесо редуктора, а вместе с ним и крутиться чашка дифференциала с размещенными в ней сателлитными осями. Поскольку сопротивление одинаково, то сателлиты осуществляют передачу крутящего момента на ведомые шестеренки в одинаковых соотношениях, то есть скорость вращения их, а вместе с ними и полуосей, равна. При этом сателлиты лишь передают вращение, сами же они остаются неподвижными относительно своих осей.
При вхождении в поворот, колеса начинают двигаться по разным радиусам. При этом, идущее по внутреннему радиусу получает большее сопротивление, чем внешнее. Это сопротивление обеспечивает замедление вращения ведомой шестеренки, из-за чего сателлиты начинают крутиться на осях. В результате начала движения сателлитов, скорость вращения полуоси наружного колеса возрастает, то есть происходит изменение угловых скоростей полуосей (приводных валов). Примечательно, что общая скорость вращения обеих полуосей соответствует скорости вращение зубчатого колеса редуктора, но увеличенной вдвое. При этом крутящий момент от разницы угловых скоростей не меняется, и он разделяется на ведущие колеса равномерно.
В результате такой работы узла при прохождении поворотов удается избежать появления пробуксовки и увеличения нагрузки на элементы трансмиссии.
Схема работы дифференциала
Существует две разновидности подобных механизмов – это симметричный и несимметричный дифференциал. Первая модификация способна передавать крутящий момент на полуоси в равной степени. На их работу не влияют угловые скорости ведущих колес.
Вторая модификация обеспечивает регулировку крутящего момента между колесами ведущей оси, если они начинают вращаться с разной скоростью. Нередко такой дифференциал устанавливается между осями полноприводного транспорта.
Подробней о режимах работы дифференциала. Механизм по-разному срабатывает при таких ситуациях:
- Машина прямо едет;
- Автомобиль выполняет маневр;
- Ведущие колеса начинают буксовать.
При прямолинейном движении
Когда машина едет прямо, сателлиты просто являются связующим звеном между осевыми шестернями. Колеса автомобиля вращаются с одинаковой скоростью, поэтому чашка вращается, как единая труба, которая соединяет обе полуоси. Крутящий момент распределяется между двумя колесами равномерно. Обороты колес соответствуют оборотам ведущей шестерни.
При повороте
В повороте, а это обычный режим работы дифференциала, поскольку идеальных прямых в природе не существует, одно из колёс всегда будет вращаться быстрее. Сателлиты придут в движение относительно своих осей, но связь между полуосевыми шестернями и корпусом не утратят. То есть момент продолжит передаваться от корпуса к колёсам, причём всё в том же соотношении 50/50.
Это очень любопытно рассмотреть с точки зрения мощности. Момент одинаков, а скорость у внешнего от поворота колеса больше, то есть и мощность на него передаётся пропорционально большая. И это неудивительно, так как чем больше скорость, тем выше потери, которые компенсируются добавкой мощности. При этом ни малейших помех вращению колёс с разной скоростью создаваться не будет, в отличие от жёсткой связи.
При пробуксовке
Гораздо менее приятно дела обстоят в том случае, когда одно из колёс попало на относительно скользкий участок дороги и сорвалось в пробуксовку при разгоне. Сцепления с дорогой нет, а значит момент сопротивления покрытия резко падает. Но этот момент всегда равен тяговому, это закон физики. Значит и тяговый момент упадёт.
Свободный симметричный дифференциал делит тягу пополам между колёсами. Всегда 50/50. То есть при падении момента на одном до нуля, на втором он обнулится автоматически. Автомобиль начнёт терять скорость, а если речь идёт о трогании с места на льду или жидкой грязи, то он просто там и останется, не сумев выехать из засады. В этом главный недостаток свободного дифференциала.
Он может передать усилие только то, которое способно переварить колесо, находящееся в худших условиях. Даже если второе будет на сухом чистом асфальте, автомобиль никуда не поедет. Вся энергия уйдет на быстрое и бесполезное вращение буксующего колеса.
Блокировка дифференциала и система курсовой устойчивости
Принудительная блокировка дифференциала с гидравлическим приводом Чтобы крутящий момент полуосей снова стал одинаковым, нужно блокировать действие сателлитов или обеспечить его передачу от чашки на нагруженную полуось.
Это особенно актуально для машин повышенной проходимости, имеющих полный привод 4Х4. Не только потому что они предназначены для езды по местности с тяжелыми дорожными условиями. Стоит машине, оснащенной тремя дифференциалами (два межколесных, один межосевой), хотя бы в одной из четырех точек потерять сцепление – величина крутящего момента остальных колес устремится к нулевому значению, и машина откажется ехать.
Избежать неприятностей помогает блокировка, которая может быть либо частичной, либо полной (зависит от степени перераспределения усилий между полуосями), а также либо ручной, либо автоматической (зависит от степени контроля со стороны водителя).
Хорошо себя зарекомендовали самоблокирующиеся дифференциалы, распределяющие крутящий момент, учитывая его разность на полуосях или исходя из значений угловых скоростей.
Наиболее сложным совершенным способом устранить недостатки узла является электронная блокировка, реализуемая на базе системы курсовой устойчивости, датчики которой контролирует все необходимые параметры во время движения автомобиля. На основе полученных данных работа автомобиля корректируется автоматически.
Дифференциал «Торсен»
Можно сказать, что данный дифференциал — это слияние двух английских слов: torque и sensing. Первое переводится как крутящий момент, а второе означает чувствительный к крутящему моменту. В корпусе сателлиты располагаются в плоскости, перпендикулярной к его оси. Между собой их объединяет прямозубое зацепление, в то время как с полуосевыми шестернями они соединены посредством червячной передачи.
При вхождении в поворот полуосевая шестерня, которая связана с отстающим колесом, приводит во вращение сателлит, а он уже передает вращение на другой сателлит шестерню полуоси. Благодаря такой жесткой кинематической связи колеса автомобиля вращаются с разной угловой скоростью.
При необходимости осуществляется блокировка механизма. Делается это за счет силы трения, которая возникает в червячной передаче из-за разности моментов на колесах. К сожалению, и у этой конструкции есть недостатки. Механизм довольно сложен в производстве и ремонте.
Для чего нужен дифференциал в автомобиле
Узел выполняет 2 задачи:
- расщепляет один поток энергии на два разных;
- обеспечивает вращение ведущих колес транспортного средства с разной частотой.
С первым пунктом все понятно: источник вращения в транспортном средстве один, ведущих колес два (в случае с вездеходами или полноприводными автомобилями даже больше). Зачем же нужна разная скорость вращения? Это необходимо в первую очередь на поворотах. Если бы при их выполнении колеса вращались одинаково, машина попросту опрокинулась бы. Дифференциал разрывает жесткую связь между двумя частями ведущей оси и тем самым:
- повышает КПД авто;
- снижает расход топлива;
- предотвращает явление паразитной циркуляции мощности, которое возникает, если частота вращения колес не согласована;
- делает более надежным сцепление ведущих колес и дорожного покрытия.
Иными словами, узел обеспечивает разное вращение двух элементов или разделяет 1 поток вращения на 2 и более. Отсюда и его название – слово «differentia» в переводе с латинского языка означает «разница».
Нюансы применения
ДФЦ необходимы для обеспечения передачи крутящего момента на ведущие колёса и ведущие мосты. Если говорить применительно к грузовому и легковому транспорту, то здесь подавляющее большинство автомобилей, вне зависимости от типа привода, используют межколёсный тип дифференциалов. Он требуется для передачи необходимого вращения колёсам.
Также существует понятие межосевого ДФЦ, который отвечает за распределение момента между мостами. Такая конструкция используется только на машинах с полным приводом.
В зависимости от используемой зубчатой передачи, различают червячные, конические и цилиндрические механизмы. А если отталкиваться от количества зубцов на шестернях полуоси, то деление идёт на несимметричные и симметричные.
В случае с мостами машин на полном приводе, оптимальным выбором считается несимметричный тип с цилиндрической передачей. Это объясняется способностью такой системы распределять момент пропорционально.
Для транспортных средств, имеющих задний и полный привод, принято использовать конические симметричные ДФЦ. Но специалисты отмечают, что наиболее универсальным вариантом является именно червячный вариант. Он подходит для всех устройств и для всех видов привода.
Примеры решения дифференциала функции
Пример 1
Задача
Найти дифференциал функции
Решение
Найдём производную данной функции.
Дифференциал будет равен произведению данной функции на дифференциал независимого аргумента :
Ответ
Пример 2
Задача
Найти дифференциал функции
Решение
Найдём производную данной функции.
Дифференциал будет равен произведению данной функции на дифференциал независимого аргумента :
Ответ
Пример 3
Задача
Найти дифференциал функции
Решение
Найдём производную данной функции.
Дифференциал будет равен произведению данной функции на дифференциал независимого аргумента :
Ответ
Пример 4
Задача
Найти дифференциал функции
Решение
Найдём производную данной функции.
В этом примере квадратный корень извлекается из суммы . Поэтому сначала вычисляем производную от квадратного корня, а затем умножаем ее на производную от подкоренного выражения:
Дифференциал будет равен произведению данной функции на дифференциал независимого аргумента :
Ответ
Пример 5
Задача
Найти дифференциал функции
Решение
Найдём производную данной функции.
По правилам дифференцирования показательной функции с основанием , производная этой функции равна произведению самой функции на производную функции, являющейся показателем степени:
Дифференциал будет равен произведению данной функции на дифференциал независимого аргумента :
Ответ
Пример 6
Задача
Найти дифференциал функции
Решение
Найдём производную данной функции.
Дифференциал будет равен произведению данной функции на дифференциал независимого аргумента :
Ответ
Пример 7
Задача
Найти дифференциал функции
Решение
Найдём производную данной функции.
По правилу вычисления производной от дроби, получаем:
Дифференциал будет равен произведению данной функции на дифференциал независимого аргумента :
Ответ
Пример 8
Задача
Найти дифференциал функции
Решение
Найдём производную данной функции.
Функция является сложной, поэтому процесс нахождения производной будет происходить в два этапа.
Обозначим . Исходная функция примет следующий вид:
Найдём её производную по таблице основных тригонометрических функций:
Далее найдём производную :
Производная сложной функции будет равна произведению и :
Дифференциал будет равен произведению данной функции на дифференциал независимого аргумента :
Ответ
Пример 9
Пример 9
Задача
Найти дифференциал функции
Решение
Найдём производную данной функции.
Данная функция является сложной, т.к. подкоренным выражением является функция синус.
Найдём производную данной функции, как произведение производных корня и синуса:
Окончательно получаем:
Дифференциал будет равен произведению данной функции на дифференциал независимого аргумента :
Ответ
Пример 10
Задача
Найти дифференциал функции
Решение
Найдём производную данной функции.
Процесс нахождения произвоной данной функции будет происходить в три этапа: на первом этапе требуется определить производную функции косинус, на втором – производную от корня, на третьем – производную от дроби подкоренного выражения.
Найдём производную
По таблице производных определяем, что
Т.к. аргумент косинуса сам является функцией от , то необходимо найти его производную по :
Подкоренное выражение является дробью, поэтому необходимо также найти производную этой дроби :
Перемножая найденные производные, получаем окончательный результат:
Дифференциал будет равен произведению данной функции на дифференциал независимого аргумента :
Ответ
О разных формах записи дифференциала
Дифференциал функции в точке x и обозначают
или
Следовательно,
(1)
или
, (2)
поскольку дифференциал функции y = f(x) равен произведению её производной на приращение независимой переменной.
Замечание. Нужно помнить, что если x – исходное значение аргумента,
а
— наращенное значение, то производная в выражении дифференциала берётся в исходной точке x ; в формуле (1) этого не видно из записи.
Дифференциал функции можно записать в другой форме:
(3)
или
(4)
Пример 1. Найти дифференциалы функций:
1) ;
2) ;
3) ;
4) .
Решение. Применяя формулы дифференцироивания степенной и логарифмической функций из , а также формулу (4), находим:
1) ;
2) ;
3) ;
4) .
Найти дифференциалы самостоятельно, а затем посмотреть решения
Пример 2. Найти дифференциал функции
в точке ,
1) выделив линейную часть;
2) по формуле.
Пример 3. Найти дифференциал функции
в точке .
Пример 4. Найти дифференциал функции
в точках и .
В основном же задачи на дифференциалы — это более сложные, чем
рассмотренные выше для разминки, поэтому стоит посетить страницу с решением задач на
дифференциалы сложных функций. Скорее всего, вызывающие у вас трудности задачи именно
к таким и относятся.
Виды самоблокирующихся дифференциалов
Дифференциалы, у которых блокирование происходит в автоматическом режиме, называются самоблокирующимися. В них, при определенных условиях происходит самостоятельная блокировка, без какого-либо участия водителя. Точно также он и разблокируется.
Видео: Кардан Главная передача Дифференциал
Самый простой самоблокирующийся дифференциал – дисковый, имеющий в своей конструкции дополнительный элемент – пакет фрикционных дисков, одна часть которого жестко соединена с чашкой дифференциала, а вторая – с одной из осей. При этом диски прижаты друг к другу.
Действует такая блокировка очень просто: при прямолинейном движении машины чашка и полуось вращаются с одной скоростью, а вместе с ними и фрикционный пакет.
В случае повышения угловой скорости на одной из полуосей, она начинает вращаться быстрее чашки. При этом одна часть фрикционного пакета (закрепленная на оси) ускоряется относительно второй. А поскольку они прижаты, то между ними возникает сила трения, которая и препятствует повышению угловой скорости, соответственно крутящий момент на колесе с большим сопротивлением повышается.
Вискомуфта в качестве межосевого дифференциала
Примерно так же действует и вязкостная муфта, она же вискомуфта, которая сейчас является достаточно распространенным способом заблокировать дифференциал в автоматическом режиме. Но из-за больших габаритных размеров ее в качестве межколесной блокировки не используют. Муфта устанавливается только на межосном дифференциале, как вспомогательное устройство, а в некоторых случаях она полностью его заменяет.
Конструкция этой муфты такая: имеется герметичный корпус, с помещенным в нее пакетом дисков, одна половина которого жестко связана с ведущим валом (от которого подается вращения) а вторая – с ведомым.
Вискомуфта в разобраном состоянии
Все пространство между дисками заполнено дилатантной жидкостью, особенность которой заключается в повышаемой вязкости при перемешивании.
Действует вискомуфта примерно также же, как и дисковая блокировка. Пока валы вращаются с одной скоростью, перемешивание жидкости, расположенной между дисками, не происходит. Но как только появляется разница в скоростях вращения, диски начинают мешать жидкость из-за чего она становиться более вязкой. В результате повышения вязкости жидкости, которая при большой разнице скоростей может стать практически твердой, выравнивается угловая скорость на валах.
Существует также электронная блокировка дифференциала, которая используется на межколесном дифференциале автомобиля. Причем в качестве основного рабочего элемента в ней выступает антиблокировочная система тормозов.
Такая блокировка имеет свое обозначение – противопробуксовочная система, суть работы которой сводится к тому, что в случае увеличения угловой скорости на одном ведущем колесе, тормозная система притормаживает его, тем самым повышая крутящий момент на другом колесе.
Предназначение дифференциала в автомобиле
Основная задача дифференциала — обеспечивать колёсам разную скорость вращения. Такой способ вращательного движения необходим для правильного вхождения машины в повороты, при пробуксовке колес и в другие моменты. Когда машина поворачивает, то разные колёса описывают разные траектории. Если ведущие колеса будут двигаться с одинаковой скоростью, то выполнить поворот на такой машине будет очень сложно. Распределение моментов между приводимыми в движение колёсами происходит при помощи дифференциала.
Во время пробуксовки одного из колёс, обычный планетарный механизм начнёт работать в сторону увеличения крутящего момента. Колесо начинает буксовать ещё сильнее. Колесо, находящееся на твёрдой поверхности, перестанет крутиться. Для решения таких проблем дифференциальные устройства обеспечиваются блокировочными механизмами различных типов: ручными или автоматическими. Блокировка дифференциала значительно повышает проходимость полноприводного автомобиля. Пока хотя бы одно колесо цепляет дорогу, машина двигается.
Как работает дифференциал
Внутри корпуса дифференциала используется принцип планетарной передачи. На корпусе (чашке) дифференциала неподвижно закреплена ведомая шестерня, которая получает крутящий момент от шестерни главной передачи. Внутри корпуса есть оси, на которых установлены шестерни-сателлиты. Они и передают мощность на шестерни полуосей колес.
При прямолинейном движении шестерни-сателлиты не вращаются и передают крутящий момент в равной мере на обе полуоси. Но в повороте, когда внутреннее колесо встречает большее сопротивление и замедляется, его полуось тоже начинает вращаться медленнее. В таком случае сателлиты начинают вращаться и крутящий момент перераспределяется пропорционально на вторую полуось, которая начинает двигаться быстрее. Таким образом колеса вращаются с разной скоростью.
Еще один режим работы дифференциала — пробуксовка одного из колес (например, при движении по обледенелой поверхности). Принцип работы дифференциала такой, что он будет отправлять весь крутящий момент на то колесо, которое вращается легче. Возникает парадоксальная ситуация — вся мощность отправляется на колесо, которое пробуксовывает, а второе колесо почти не вращается. Чтобы выйти из ситуации нужна блокировка дифференциала. Инженеры придумали несколько вариантов как это можно сделать, поэтому появились различные виды дифференциалов.
Особенности вязкостной муфты
Представляет собой многодисковый механизм, где передающий момент увеличивается в связи с повышением разности в скорости вращения двух валов: ведущего и ведомого. Обычно такая схема актуальна для транспортных средств с полным постоянным приводом.
В основу работы вискомуфты для блокировки дифференциала на ВАЗ (или другого автомобиля) положено особенное свойство силиконовой жидкости. Если, к примеру, у масла при повышении температуры вязкость снижается, то здесь все наоборот – этот параметр тоже увеличивается. Сам механизм выглядит как цилиндр, где располагается набор перфорированных дисков, которые соединены с обоими валами. Также корпус заполнен этой жидкостью. На входной вал действует крутящий момент от двигателя через ведущий мост, а выходной отвечает за вращения колес.
При нормальном движении транспортного средства оба вала вращаются с одинаковой скоростью. Но стоит только одному из колес начать буксовать, входной вал основного главного моста вращается быстрее выходного. Вследствие трения о диски жидкость нагревается, что в итоге способствует передаче большей мощности на выходной вал.
Но, как и обычный дифференциал, вискомуфта тоже обладает недостатком. Для срабатывания механизма нужно определенное количество времени. К тому же, оптимальные параметры очень сложно подобрать. По этой причине большинство производителей предпочитают не иметь дело с подобным механизмом.
Неисправности
Свободный дифференциал достаточно надёжен и сам не сломается. Но его очень часто ломает водитель своими паническими действиями при буксовании автомобиля. Дело в том, что шестерёнки дифференциала работают на подшипниках скольжения, причём самых простейших. Они не рассчитаны на долгое и тяжёлое вращение под нагрузкой, когда крутится только одно колесо.
Антифрикционные шайбы перегреваются, зубья изнашиваются, появляются люфты и стуки, а при резкой остановке колеса, внезапно попавшего на асфальт после раскрутки, ломаются оси сателлитов и шлицевые соединения.
Ремонт чаще всего заключается в замене коробки дифференциала в сборе. Иногда можно поставить ремкомплект из шестерён и пальца с новыми регулировочными шайбами. Совсем редко обходятся только регулировкой подбором шайб.
Как устроен дифференциал
Классическим межколесным дифференциалом считают трехзвездный. Он подразумевает использование 3 шестерен. Если взглянуть на фото разобранного устройства, можно увидеть, что оно состоит из следующих элементов.
- Коробка (также деталь называют чашка, водило). Корпус, в котором располагаются шестерни. Он служит ведущим звеном конструкции, так имеет зубцы на внутренней поверхности.
- Сателлиты. Представляют собой пару маленьких шестеренок, расположенных на одной оси и вращающихся в одной плоскости.
- Солнца. Так называют ведомые шестерни.
- Ведущая шестерня. Передает вращение с коробки передач на приспособление.
На традиционных заднеприводных транспортных средствах узел располагается на заднем мосту. На переднеприводных он находится на переднем мосту. А на транспорте, который имеет полный привод, 2 дифференциала – один на переднем, второй на заднем мосту.
Не следует путать узел с редуктором. Первый представляет собой сложную конструкцию из шестерен для изменения крутящего момента, а второй – просто зубчатая пара, которая предназначена для его передачи.
Виды и их особенности дифференциалов
Видео: GPS Навигатор — описание и тест
Видов дифференциалов по месту установки – два:
- Межколесный.
- Межосевой.
Дифференциал заднеприводного автомобиля
Первый используется на всех легковых авто с одной ведущей осью, и в его задачу входит только выполнение своей функции. На заднеприводных авто он располагается в заднем мосту и устанавливается на редуктор. То есть редуктор передает вращение на полуоси не напрямую, а через дифференциал.
Дифференциал переднеприводного авто с приводным валом
Что касается переднеприводных авто, то из-за отсутствия карданной передачи и моста с редуктором, вращение от коробки передач передается напрямую на дифференциал (они размещены в одном корпусе), а от него уже оно поступает на приводные валы.
Межосевой дифференциал используется на полноприводных авто, у которых обе оси являются ведущими. Там он нужен для того, чтобы правильно распределять получаемое вращение по осям при движении по неровностям. К примеру, авто движется на подъем, в результате чего задняя ось находится в низком положении относительно передней. В результате происходит перераспределение массы авто, она начинает больше давить на задок, и установленный узел в этом случае повышает крутящий момент на задних ведущих колесах. И все выполняется с точностью до наоборот на спусках.
При этом на полноприводных авто также требуется распределение вращения и на колесах, поэтому у них в общей сложности используется 3 дифференциала (1 – межосевой и 2 – межколесных).
Первый дифференциал функции
Определение первого дифференциала функции
- Дифференциал функции в точке
- Пусть функция дифференцируема в некоторой точке . Тогда ее приращение в этой точке можно представить в виде суммы линейной функции от приращения ее аргумента и по сравнению с .Дифференциалом функции в точке называется главная линейная часть приращения функции, соответствующая приращению независимой переменной . То есть это приращение функции, в котором опущены слагаемые, содержащие бесконечно малые величины по сравнению с приращением аргумента . Дифференциал обозначается как или , и является функцией двух переменных: и . Он также называется дифференциалом первого порядка или первым дифференциалом.
- Дифференциал независимой переменной
- – это приращение аргумента функции:. Он является независимой переменной.
С учетом определений, дифференциал функции имеет следующий вид.(1.1) . Его также можно записать в одной из следующих форм.;;.
Поскольку дифференциал функции зависит от двух переменных, то его следовало бы писать так: . Однако, переменную , как правило опускают, и пишут сокращенно . При этом всегда подразумевают ее присутствие. То есть сначала мы вводим новую независимую переменную , являющуюся приращением аргумента функции, а затем, используя две независимые переменные и , определяем дифференциал.
В чем смысл первого дифференциала
Зачем вводят дифференциалы? Не проще ли использовать вместо них приращения независимой переменной и функции? – Дифференциалы вводят для сокращения записей расчетов, в которых используются стремящиеся к нулю приращения. На завершающем этапе таких расчетов выполняется предельный переход, в результате которого все о — малые функции от приращений стремятся к нулю. Поэтому применяют систему записи, в которой эти о — малые исключены с самого начала.
В строгом варианте, нужно выписать точные выражения для приращений, типа. По завершении алгебраических операций, выполняется предельный переход при , . Вместо этого с самого начала оставляют только главные части приращений, которые называются дифференциалами:. В результате получают выражения, линейные по дифференциалам, справедливые для приращений, когда они стремятся к нулю.
Можно сказать и так.Дифференциалы – это приращения, в которых отброшены все функции, о — малые от приращений независимых переменных.Первые дифференциалы – это выражения, в которых оставлены только линейные части приращений. Также говорят, чтоДифференциалы – это бесконечно малые приращения.
Геометрический смысл дифференциала
Если существует конечная производная функции в точке , то дифференциал функции в точке – это приращение ординаты касательной, проведенной к графику функции в точке , соответствующее приращению аргумента . Дифференциал независимой переменной – это приращение аргумента функции: .
Дифференциал функции в точке x – это приращение ординаты касательной, проведенной к графику в этой точке. Доказательство
На странице «Геометрический смысл производной» мы выяснили, что уравнение касательной к графику функции имеет вид:(1.2) , где .
В точке с абсциссой , ордината касательной равна . Рассмотрим точку , в которой приращение абсциссы равно . Из уравнения находим ординату касательной в этой точке:. Приращение ординаты касательной. Как видно, оно совпадает с дифференциалом функции в точке .
Свойства первого дифференциала
Арифметические свойства дифференциалов
Теорема Пусть функции и дифференцируемы в точке ; – постоянная. Тогда в этой точке(1.3) (дифференциал суммы функций);(1.4) (дифференциал произведения);(1.5) , при (дифференциал частного). Постоянный множитель можно выносить из-под знака дифференциала:(1.6) .
Доказательство следует из определения дифференциала и .;;;.
Инвариантность формы первого дифференциала
Теорема Пусть функцию можно представить как сложную: . При этом функция имеет производную в точке , а функция имеет производную в точке . Тогда дифференциал первого порядка функции, выраженный через переменную имеет ту же форму, что и дифференциал, выраженный через переменную . Эту же формулу можно записать так:.
Доказательство
По , в точке существует производная по . Применим эту теорему и подставим ..
Здесь мы выполнили доказательство, использую характеристики функций . Проделаем тоже самое, использую переменные ..
Можно проделать вывод и просто сделав подстановку .. В известном смысле с первыми производными можно обращаться как с дробями, составленными из дифференциалов.
Примечание. В формуле , является дифференциалом независимой переменной, то есть приращением переменной . В формуле , уже дифференциал зависимой переменной. Он может отличаться от приращения на о — малое по сравнению с при .;.
