Основные сведения о функции в алгебре

Введение.

В физике постоянно пользуются такими идеализированными понятиями, как материальные точки, точечные заряды, магнитные диполи и т. д. На самом деле сосредоточенных в точке масс или зарядов не существует. Когда говорят о материальной точке массы 1, то это идеализированная модель шара достаточно малого радиуса \(\varepsilon\) и массы 1. Если в пространстве нет других масс, то плотность материи в пространстве будет распределена по следующему закону:
$$
\delta_{\varepsilon}(x) = \left\{
\begin{array}{ll}
\displaystyle\frac{1}{4\pi\varepsilon^{3}/3}, & |x| \leq \varepsilon,\\
0, & |x| > \varepsilon,
\end{array} \right.\label{ref1}
$$
где \(x \in \boldsymbol{R}^{3}\). Заметим, что
$$
\int\limits_{\boldsymbol{R}^{3}} \delta_{\varepsilon}(x)\ dx = 1.\label{ref2}
$$
Если устремить \(\varepsilon\) к +0, то из \eqref{ref1} получим, что предельная плотность \(\delta(x)\) имеет вид
$$
\delta(x) = \left\{
\begin{array}{ll}
+\infty, & x = 0,\\
0, & x \neq 0.
\end{array} \right.\label{ref3}
$$

Зная плотность \eqref{ref3}, нельзя по ней восстановить массу при помощи интегрирования, так как функция \eqref{ref3} не интегрируема ни по Риману, ни в несобственном смысле.

Чтобы обойти это затруднение, рассмотрим вместо поточечного предела функций \(\delta_{\varepsilon}(x)\) при \(\varepsilon \rightarrow +0\) так называемый “слабый предел”.

Будем \(\delta_{\varepsilon}(x)\) рассматривать как линейный функционал над линейным пространством непрерывных в \(\boldsymbol{R}^{3}\) функций, ставящий в соответствие каждой непрерывной в \(\boldsymbol{R}^{3}\) функции \(\varphi(x)\) число
$$
(\delta_{\varepsilon}, \varphi) = \int\limits_{\boldsymbol{R}^{3}} \delta_{\varepsilon}(x) \varphi(x)\ dx = \int\limits_{|x| \leq \varepsilon} \frac{\varphi(x)\ dx}{4\pi\varepsilon^{3}/3}.\nonumber
$$
Применяя теорему о среднем, получаем, что
$$
\lim_{\varepsilon \rightarrow +0} (\delta_{\varepsilon}, \varphi) = \lim_{\varepsilon \rightarrow +0} \varphi(\tilde{x}_{\varepsilon}) = \varphi(0) = (\delta, \varphi),\label{ref4}
$$
где \(\delta\) есть линейный функционал, ставящий в соответствие непрерывной функции число \(\varphi(0)\).

Если для любой непрерывной функции выполнено равенство \eqref{ref4}, то говорят, что линейный функционал \(\delta\) есть слабый предел линейных функционалов \(\delta_{\varepsilon}\) при \(\varepsilon \rightarrow +0\).

При таком подходе по плотности легко восстановить массу точки. Она равна
$$
\lim_{\varepsilon \rightarrow +0} \int\limits_{\boldsymbol{R}^{3}} \delta_{\varepsilon}(x)\ dx = \lim_{\varepsilon \rightarrow +0} (\delta_{\varepsilon}, 1) = (\delta, 1) = 1.\nonumber
$$
Функционал \eqref{ref4} называют \(\delta\)-функцией Дирака.

Перейдем теперь к более строгому и систематическому изложению так называемых распределений или обобщенных функций.

ВВЕДЕНИЕ

Что такое математика? Это расчет? Это логика? Это символы? Фотографий? Графики? Оказывается, все это и многое другое. ЭТО НО ЯЗЫК. Универсальный язык, имеющий свои символы, символы, выражения, словарный запас, грамматику — все, что делает язык, — все это прекрасно аргументировано, уникально и однозначно по своему значению. Это язык, на котором написаны законы Вселенной. Следовательно, это язык, который мы должны выучить и исследовать, чтобы разгадать тайны природы. С этой философии мы должны начать обсуждение одной из самых прекрасных и фундаментальных тем математики, ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ.

ВИДЫ ФУНКЦИЙ

Функции можно классифицировать по тому, как они соотносят два набора.

One — одна или инъективная функция

теория функций: один к одному или инъективная функция

Цифра говорит сама за себя. Это когда функция связывает каждый элемент набора с уникальным элементом другого набора, это функция один к одному или инъективная функция.

Многие — одна функция

теория функций: функция «многие к одному»

И снова цифра не требует пояснений. Очевидно, что существует более одного прообраза одного изображения. Следовательно, отображение много к одному

Обратите внимание, что это не нарушает определение функции, поскольку ни один элемент из набора A не имеет более одного изображения в наборе B

Функция ONTO или функция SURJECTIVE

Теория функций: функция ONTO или функция SURJECTIVE

Когда все элементы множества B имеют хотя бы один прообраз, функция называется Онто или сюръективной. Сопоставление может быть один к одному или много к одному. Тот, что изображен выше, очевидно, много к одному при отображении

Обратите внимание, что изображение, использованное ранее для отображения взаимно однозначного сопоставления, также относится к отображению. Этот вид взаимного сопоставления также известен как ПРОБЛЕМА отображение

В функцию

Теория функций: функция INTO

Когда есть хотя бы одно изображение без какого-либо предварительного изображения, это функция INTO. В функции может быть один к одному или многие к одному. Тот, что изображен выше, очевидно, один в один.

18. Теория, ее сущность, структура и функции. Виды теорий

22.05.2011 10:59

Александр

Теория — наиболее развитая форма научного знания, дающая целостное отображение закономерных и существенных связей определенной области действительности. Примерами этой формы знания являются классическая механика Ньютона, эволюционная теория Ч. Дарвина, теория относительности А. Эйнштейна, и др.

Любая теория — это целостная развивающаяся система истинного знания (включающая и элементы заблуждения), которая имеет сложную структуру и выполняет ряд функций.

В современной методологии науки выделяют следующие основные элементы структуры теории:

1) Исходные основания — фундаментальные понятия, принципы, законы, уравнения, аксиомы и т. п.

2) Идеализированный объект — абстрактная модель существенных свойств и связей изучаемых предметов (например, «абсолютно черное тело», «идеальный газ» и т. п.).

3) Логика теории — совокупность определенных правил и способов доказательства, нацеленных на прояснение структуры и изменения знания.

4) Философские установки, социокультурные и ценностные факторы.

5) Совокупность законов и утверждений, выведенных в качестве следствий из основоположений данной теории в соответствии с конкретными принципами.

Многообразию форм идеализации и соответственно типов идеализированных объектов соответствует и многообразие видов (типов) теорий, которые могут быть классифицированы по разным основаниям (критериям). В зависимости от этого могут быть выделены теории: описательные, математические, дедуктивные и индуктивные, фундаментальные и прикладные, формальные и содержательные, «открытые» и «закрытые», объясняющие и описывающие (феноменологические), физические, химические, социологические, психологические и т. д.

Для современной (постнеклассической) науки характерны усиливающаяся математизация ее теорий (особенно естественнонаучных) и возрастающий уровень их абстрактности и сложности.

Общая структура теории специфически выражается в разных типах (видах) теорий.

Так, математические теории характеризуются высокой степенью абстрактности. Они опираются на теорию множеств как на свой фундамент. Решающее значение во всех построениях математики имеет дедукция.

Теории опытных (эмпирических) наук — физики, химии, биологии, социологии, истории — по глубине проникновения в сущность изучаемых явлений можно разделить на два больших класса: феноменологические и нефеноменологические.

Феноменологические (их называют также описательными, эмпирическими) описывают наблюдаемые в опыте свойства и величины предметов и процессов, но не вникают глубоко в их внутренние механизмы.

С развитием научного познания теории феноменологического типа уступают место нефеноменологическим (их называют также объясняющими). Они не только отображают связи между явлениями и их свойствами, но и раскрывают глубинный внутренний механизм изучаемых явлений и процессов, их необходимые взаимосвязи, существенные отношения, т.е. их законы.

Одним из важных критериев, по которому можно классифицировать теории, является точность предсказаний. По этому критерию можно выделить два больших класса теорий.

К первому из них относятся теории, в которых предсказание имеет достоверный характер.

В теориях второго класса предсказание имеет вероятностный характер, который обусловливается совокупным действием большого числа случайных факторов. Такого рода стохастические (от греч. — догадка) теории встречаются не только в современной физике но и в большом количестве в биологии и социально-гуманитарных науках в силу специфики и сложности самого объекта их исследования

А. Эйнштейн различал в физике два основных типа теорий — конструктивные и фундаментальные. Большинство физических теорий, по его мнению, является конструктивными, т.е. их задачей является построение картины сложных явлений на основе некоторых относительно простых предположений. Исходным пунктом и основой фундаментальных теорий являются не гипотетические положения, а эмпирически найденные общие свойства явлений, принципы, из которых следуют математически сформулированные критерии, имеющие всеобщую применимость.

Специфическую структуру имеют теории социально-гуманитарных наук.

< Предыдущая		Следующая >

Принципы экономической теории

Название принципа	Суть принципа
Ограниченности ресурсов	Противоречие между ограниченностью ресурсов и постоянной потребностью человека и общества в благах, порождает необходимость создавать эти блага. (главный принцип экономической теории – из которого вытекает необходимость экономической науки)
Рациональной деятельности	С одной стороны люди стараются  увеличить свои возможности в получении экономических благ, а с другой стороны, они пытаются минимизировать затраты на их приобретение.
Альтернативности выбора	Человек, в условиях ограниченности ресурсов, вынужден постоянно делать выбор между различными экономическими благами.
Приращения предельных величин	Факторы влияющие на принятие решения о выборе альтернативного варианта и его количестве ставятся в зависимость друг от друга. Принцип характеризует причины решения, принимаемого человеком, компанией или государством.
Равновесного анализа	Экономика как система стремится к оптимальной точке состояния рынка – “точке равновесия”.

Принципы в свою очередь являются основой законов экономической теории.

FUNCTION как отношение

Таким образом, другими словами и, возможно, в более общем смысле, функция — это отношение между двумя наборами A и B, где всем элементам в наборе A назначен элемент из набора B. называются ИЗОБРАЖЕНИЙ а элементы множества A называются ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ИЗОБРАЖЕНИЯ.

Процесс соотнесения элементов называется ОТОБРАЖЕНИЕ. Конечно, эти сопоставления могут быть выполнены разными способами, но мы не будем вызывать их все как функции. Только те отображения, которые связывают элементы таким образом, что каждый элемент в множестве A имеет ровно одно изображение в множестве B, должны называться функциями. Иногда его пишут как f: A–> B. Это следует читать как «f является функцией от A до B».

Множество A называется ДОМЕН функции и множество B называется CO-ДОМЕН функции. Если f таково, что изображение одного элемента a из множества A является элементом b из множества B, то мы пишем f (a) = b, читаем как ‘f of a равно b’, или ‘b — значение of f at a ‘, или’ b — изображение a под f ‘.

Понятие функции

Определение функции можно сформулировать по-разному. Рассмотрим несколько вариантов, чтобы усвоить наверняка.

1. Функция — это взаимосвязь между величинами, то есть зависимость одной переменной величины от другой.

Знакомое обозначение y = f (x) как раз и выражает идею такой зависимости одной величины от другой. Величина у зависит от величины х по определенному закону, или правилу, которое обозначается f.

Вывод: меняя х (независимую переменную, или аргумент) — меняем значение у.

2. Функция — это определенное действие над переменной.

Значит, можно взять величину х, как-то над ней поколдовать — и получить соответствующую величину у.

В технической литературе можно встретить такие определения функции для устройств, в которых на вход подается х — на выходе получается у. Схематично это выглядит так:

В этом значении слово «функция» используют и в далеких от математики областях. Например, так говорят о функциях ноутбука, костей в организме или даже о функциях менеджера в компании. В каждом перечисленном случае речь идет именно о неких действиях.

3. Функция — это соответствие между двумя множествами, причем каждому элементу первого множества соответствует один элемент второго множества. Это самое популярное определение в учебниках по математике.

Например, функция у = 2х каждому действительному числу x ставит в соответствие число y, которое в два раза больше, чем х.

Область определения — множество х, то есть область допустимых значений выражения, которое записано в формуле.

Например, для функции вида

область определения выглядит так:

х ≠ 0 (потому что на ноль делить нельзя)

И записать это можно так: D (y): х ≠ 0.

Область значений — множество у, то есть это значения, которые может принимать функция.

Например, естественная область значений функции y = x2 — это все числа больше либо равные нулю. Можно записать вот так: Е (у): у ≥ 0.

Для примера рассмотрим соответствие между двумя множествами — человек-владелец странички в инстаграм и сама страничка, у которой есть владелец. Такое соответствие можно назвать взаимно-однозначным — у человека есть страничка, и это можно проверить. И наоборот — по аккаунту в инстаграм можно проверить, кто им владеет.

В математике тоже есть такие взаимно-однозначные функции. Например, линейная функция у = 3х +2. Каждому значению х соответствует одно и только одно значение у. И наоборот — зная у, можно сразу найти х.

х	-3	-2	-1	1	2
у = 3х +2	-7	-4	-1	2	5	8

Рассмотрим другие типы соответствий между множествами.

Например, фрукты и цвет каждого:

У каждого фрукта есть свой цвет. Но такое соответствие нельзя назвать взаимно-однозначным. Например, яблоко может быть и красным, и желтым и даже зеленым.

Пример такого соответствия в математике — функция у = х2. Один и тот же элемент второго множества у = 4 соответствует двум разным элементам первого множества: х = 2 и х = -2.

Так на примере с фруктами можно показать соответствие, которое нельзя назвать функцией:

Видно, что в первом множестве есть элементы, которым соответствует два или три элемента из второго множества. Описать такое соответствие математически было бы сложнее.

Производная обобщенной функции.

Пусть \(f(x)\) — непрерывно дифференцируемая на \(\boldsymbol{R}\) функция; тогда функция \(f'(x)\) порождает регулярный функционал
$$
(f’, \varphi) = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} f'(x)\varphi(x)\ dx,\ \varphi \in \mathcal{D}.
$$
Интегрируя по частям, получаем, пользуясь тем, что \(\varphi = 0\) вне некоторого отрезка \(\), следующее равенство:
$$
(f’, \varphi) = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} f'(x)\varphi(x)\ dx =\\= \left.f(x)\varphi(x)\right|_{-\infty}^{+\infty}-\int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(x)\varphi'(x)\ dx =-\int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(x)\varphi'(x)\ dx.\nonumber
$$
Итак, в рассматриваемом случае
$$
(f’, \varphi) = -(f, \varphi’),\ \varphi \in \mathcal{D}.\label{ref19}
$$
Равенство \eqref{ref19} лежит в основе определения производной обобщенной функции.

Определение.

Производной обобщенной функции \(f \in \mathcal{D’}\) называется линейный и непрерывный функционал \(f’ \in \mathcal{D’}\) действующий на основные функции \(\varphi \in \mathcal{D}\) по правилу, выражающемуся формулой \eqref{ref19}.

Утверждение.

\(f’\) есть линейный и непрерывный функционал.

\(\circ\) Пусть \(\alpha\) и \(\beta\) — произвольные комплексные числа, a \(\varphi_{1}\) и \(\varphi_{2}\) — произвольные функции из пространства \(\mathcal{D}\). Тогда, пользуясь определением производной обобщенной функции и линейностью функционала \(f\), получаем равенство
$$
(f’, \alpha\varphi_{1} + \beta\varphi_{2}) = -(f, \alpha’\varphi_{1} + \beta’\varphi_{2}) = -\alpha(f, \varphi’_{1})-\beta(f, \varphi’_{2}) =\\= \alpha(f, \varphi’_{1}) + \beta(f, \varphi’_{2}),\nonumber
$$
из которого следует линейность функционала \(f’\).

Докажем, что \(f’\) — непрерывный функционал. Пусть \(\varphi_{n} \xrightarrow{\mathcal{D}} \varphi\). Нужно показать, что \(\displaystyle\lim_{n \rightarrow \infty}(f’, \varphi_{n}) = (f’, \varphi)\). Пользуясь формулой \eqref{ref19} и непрерывностью функционала \(f\), получаем, что
$$
\lim_{n \rightarrow \infty}(f’, \varphi_{n}) = -\lim_{n \rightarrow \infty}(f, \varphi’_{n}) = (-f, \varphi’) = (f’, \varphi),
$$
так как из \(\varphi_{n} \xrightarrow{\mathcal{D}} \varphi\) следует, что и \(\varphi’_{n} \xrightarrow{\mathcal{D}} \varphi’\).

Итак, \(f’\) есть линейный и непрерывный функционал, то есть \(f’ \in \mathcal{D’}\). \(\bullet\)

Производные высших порядков определяются для обобщенных функций по индукции:
$$
f^{(k)} = (f^{(k-1)})’,\ k = 2, 3, \ldots\nonumber
$$

Легко проверить, что для любой функции \(\varphi \in \mathcal{D}\) выполнено равенство
$$
(f^{(k)}, \varphi) = (-1)^{k}(f, \varphi^{(k)}).\nonumber
$$

Таким образом, обобщенные функции имеют производные всех порядков.

Пример 3.

Найти производную функции Хевисайда
$$
\theta(x) = \left\{
\begin{array}{ll}
1, & x \geq 0,\\
0, & x < 0.
\end{array} \right.\nonumber
$$

\(\vartriangle\) Функция Хевисайда локально интегрируема и поэтому порождает обобщенную функцию, действующую на основные функции по правилу
$$
(\theta, \varphi) = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \theta(x)\varphi(x)\ dx = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \varphi(x)\ dx.\nonumber
$$

Докажем, что \(\theta’ = \delta\). Для любой функции \(\varphi \in \mathcal{D}\) имеем равенство
$$
(\theta’, \varphi) = -(\theta, \varphi’) = -\int\limits_{0}^{+\infty} \varphi'(x)\ dx = \varphi(0) = (\delta, \varphi).
$$
Следовательно, \(\theta’, \delta\). \(\blacktriangle\)

Пример 4.

Пусть \(\psi(x)\) — бесконечно дифференцируемая функция, а \(f\) — обобщенная функция. Доказать формулу
$$
(\psi f)’ = \psi’f + \psi f’.\label{ref20}
$$

\(\vartriangle\) Воспользовавшись определением обобщенной функции \(\psi f\) и определением производной обобщенной функции, получаем, что для любой функции \(\varphi \in \mathcal{D}\) справедливо равенство
$$
((\psi f)’, \varphi) = -(\psi f, \varphi’) = -(f, \psi\varphi’) = -(f, (\psi\varphi)’-\psi’\varphi) =\\= -(f, (\psi\varphi)’) + (f, \psi’\varphi) = (f’, \psi\varphi) + (\psi’f, \varphi) =\\= (\psi f’, \varphi) + (\psi’f, \varphi) = (\psi f’ + \psi’ f, \varphi),\nonumber
$$
из которого следует формула \eqref{ref20}. \(\blacktriangle\)

Методы экономической теории

Методы формальной логики

• анализ – это мысленное расчленение изучаемого процесса или явления на составные части и исследование каждой из этих частей отдельно;
• синтез – это воссоздание единой картины, путем соединения элементов в единое целое;
• индукция – это метод познания, состоящий в переходе от единичных фактов к общим выводам и умозаключениям;
• дедукция – метод, позволяющий переходить от общих умозаключений к к частным;
• сравнение – метод, выявляющий сходства и различия явлений и процессов;
• аналогия – частный случай индукции, осуществляемый посредством переноса свойств с одного известного явления на другое;
• гипотеза – метод, основанный на формировании научно обоснованного предположения о возможных причинно-следственных связях явлений и процессов.

Общенаучные методы

• моделирование – научный метод, заключающийся в построении и последующем изучении моделей реально существующих объектов, с целью получения новых знаний и совершенствования объектов исследований;
• прогнозирование – научный метод, направленный на выявление тенденций развития экономического процесса.

Экономические методы

Выводы экономической теории непосредственно затрагивают интересы экономических субъектов, из-за чего всегда находятся люди, стремящиеся истолковать экономи­ческие концепции в свою пользу. Решить эту проблему полностью невозможно – экономическое знание никогда не сможет стать нейтральным и всегда будет затрагивать чьи-либо интересы. Однако снизить степень искажения можно с помощью применения позитивного и нормативного анализа.

Позитивный экономический анализ ищет объективные объяснения функционирования экономики, оперируя фактами, свободными от субъективных искажений.

Нормативный экономический анализ, напротив, выражает субъективные оценочные суждения о том, что и как должно быть. При этом цели, которые представляются важным одним субъектам, выглядят совершенно незначительными в глазах других, что  приводит к множеству противоречий. Проанализировать общественные противоречия и расставить приоритеты  помогает нормативный экономический анализ.

Методы смежных наук

• математические методы;
• статистические методы;
• методы экономико-математического моделирования;
• эксперимент и др.

К эффективному использованию ресурсов для максимального удовлетворения потребностей, люди начали стремиться ещё задолго до начала нашей эры, однако экономическая теория как наука начала зарождаться и активно развиваться лишь в 16-17 веке.

График гиперболы

Опять же вспоминаем тривиальную «школьную» гиперболу .

Выполним чертеж:
Основные свойства функции :

Область определения: .

Область значений: .

Запись  обозначает: «любое действительное число, исключая ноль»

В точке  функция терпит бесконечный разрыв. Или с помощью односторонних пределов: , . Немного поговорим об односторонних пределах. Запись  обозначает, что мы бесконечно близко приближаемся по оси  к нулю слева. Как при этом ведёт себя график? Он уходит вниз на минус бесконечность, бесконечно близко приближаясь к оси . Именно этот факт и записывается пределом . Аналогично, запись  обозначает, что мы бесконечно близко приближаемся по оси  к нулю справа.  При этом ветвь гиперболы уходит вверх на плюс бесконечность, бесконечно близко приближаясь к оси . Или коротко: .

Такая прямая (к которой бесконечно близко приближается график какой-либо функции) называется асимптотой.

В данном случае ось  является вертикальной асимптотой для графика гиперболы при .

Будет ГРУБОЙ ошибкой, если при оформлении чертежа по небрежности допустить пересечение графика с асимптотой.

Также односторонние пределы ,  говорят нам о том, что гипербола не ограничена сверху и не ограничена снизу.

Исследуем функцию на бесконечности: , то есть, если мы начнем уходить  по оси  влево (или вправо) на бесконечность, то  «игреки» стройным  шагом будут бесконечно близко приближаться к нулю, и, соответственно, ветви гиперболы бесконечно близко приближаться к оси .

Таким образом, ось  является горизонтальной асимптотой для графика функции, если «икс» стремится к плюс или минус бесконечности.

Функция  является нечётной, а, значит, гипербола симметрична относительно начала координат. Данный факт очевиден из чертежа, кроме того, легко проверяется аналитически: .

График функции вида  () представляет собой две ветви гиперболы.

Если , то гипербола расположена в первой и третьей координатных четвертях (см. рисунок выше).

Если , то гипербола расположена во второй и четвертой координатных четвертях.

Указанную закономерность места жительства гиперболы нетрудно проанализировать с точки зрения геометрических преобразований графиков.

Пример 3

Построить правую ветвь гиперболы

Используем поточечный метод построения, при этом, значения  выгодно подбирать так, чтобы делилось нацело:

Выполним чертеж:

Не составит труда построить и левую ветвь гиперболы, здесь как раз поможет нечетность функции. Грубо говоря, в таблице поточечного построения мысленно добавляем к каждому числу минус, ставим соответствующие точки и прочерчиваем вторую ветвь.

Детальную геометрическую информацию о рассмотренной линии можно найти в статье Гипербола и парабола.

Действительные функции

Область определения функции и множество ее значений могут быть любыми множествами. Например, числовые последовательности – это функции, областью определения которых является множество натуральных чисел, а множеством значений – вещественные или комплексные числа. Векторное произведение тоже функция, поскольку для двух векторов и имеется только одно значение вектора . Здесь областью определения является множество всех возможных пар векторов . Множеством значений является множество всех векторов. Логическое выражение является функцией. Ее область определения – это множество действительных чисел (или любое множество, в котором определена операция сравнения с элементом “0”). Множество значений состоит из двух элементов – “истина” и “ложь”.

В математическом анализе большую роль играют числовые функции.

Числовая функция

– это функция, значениями которой являются действительные или комплексные числа.

Действительная или вещественная функция

– это функция, значениями которой являются действительные числа.

Максимум и минимум

Действительные числа имеют операцию сравнения. Поэтому множество значений действительной функции может быть ограниченным и иметь наибольшее и наименьшее значения.

Ограниченная сверху (снизу) функция

Действительная функция называется ограниченной сверху (снизу), если существует такое число , что для всех выполняется неравенство:.

Ограниченная функция

Числовая функция называется ограниченной, если существует такое число , что для всех .

Максимумом (минимумом ) функции

, на некотором множестве , называют значение функции при некотором значении ее аргумента , при котором для всех ,.

Верхняя и нижняя грани

Верхняя грань (точная верхняя граница) функции

Верхней гранью или точной верхней границей действительной, ограниченной сверху функции называют наименьшее из чисел, ограничивающее область ее значений сверху. То есть это такое число , для которого: 1) для всех ; 2) для любого , найдется такой аргумент , значение функции от которого превосходит . Верхняя грань функции может обозначаться так:.Верхней гранью неограниченной сверху функции является бесконечно удаленная точка .

Нижняя грань (точная нижняя граница) функции

Нижней гранью или точной нижней границей действительной, ограниченной снизу функции называют наибольшее из чисел, ограничивающее область ее значений снизу. То есть это такое число , для которого: 1) для всех ; 2) для любого , найдется такой аргумент , значение функции от которого меньше чем . Нижняя грань функции может обозначаться так:.Нижней гранью неограниченной снизу функции является бесконечно удаленная точка .

Таким образом, любая действительная функция, на не пустом множестве , имеет верхнюю и нижнюю грани. Но не всякая функция имеет максимум и минимум.

В качестве примера рассмотрим функцию , заданную на открытом интервале . Она ограничена, на этом интервале, сверху значением и снизу – значением для всех . Эта функция имеет верхнюю и нижнюю грани:. Но она не имеет максимума и минимума.

Если мы рассмотрим туже функцию на отрезке , то она на этом множестве ограничена сверху и снизу, имеет верхнюю и нижнюю грани и имеет максимум и минимум: для всех ;;.

Монотонные функции

Возрастающая (убывающая) функция

Пусть функция определена на некотором множестве действительных чисел . Функция называется строго возрастающей (строго убывающей), если для всех таких что выполняется неравенство:. Функция называется неубывающей (невозрастающей), если для всех таких что выполняется неравенство:.

Монотонная функция

Функция называется монотонной, если она неубывающая или невозрастающая.

ЗАЧЕМ НАМ НУЖНА КОНЦЕПЦИЯ ФУНКЦИИ?

Разве не удивительно, что Вселенная настолько идеально сбалансирована? Система такого огромного размера, состоящая из множества меньших систем, каждая из которых имеет так много переменных, взаимодействующих друг с другом, но при этом так хорошо себя ведет. Разве не кажется, что все регулируется набором правил, невидимых, но существующих повсюду? Возьмем, к примеру, силу тяжести. Оно обратно пропорционально расстоянию между телами, и этому правилу следуют все материи повсюду во Вселенной. Итак, у нас должен быть способ выразить такие правила, например, связи между переменными.

Нас окружают такие переменные, которые зависят от других переменных. Длина тени здания зависит от его высоты и времени суток. Расстояние, пройденное автомобилем, зависит от крутящего момента, создаваемого его двигателем. Именно концепция теории функций позволяет нам математически выразить такие отношения.

Темы геометрической теории функций

Ниже приведены некоторые из наиболее важных тем в геометрической теории функций:

Конформные карты

Прямоугольная сетка (вверху) и ее изображение под конформным отображением f (внизу). Видно, что f отображает пары линий, пересекающихся под углом 90 °, в пары кривых, все еще пересекающихся под углом 90 °.

Конформное отображение является функцией , которая сохраняет углы локально. В большинстве случаев функция имеет область определения и диапазон в комплексной плоскости .

Более формально карта,

жU→V{\ displaystyle f: U \ rightarrow V \ qquad} с участием U,V⊂Cп{\ Displaystyle U, V \ подмножество \ mathbb {C} ^ {n}}

называется конформным (или сохраняющим угол ) в точкеты{\ displaystyle u_ {0}}если он сохраняет ориентированные углы между кривыми черезты{\ displaystyle u_ {0}}относительно их ориентации (т. е. не только величины угла). Конформные карты сохраняют как углы, так и формы бесконечно малых фигур, но не обязательно их размер или кривизну .

Квазиконформные карты

В математическом комплексном анализе , А квазиконформное отображение , введенное и назван , есть гомеоморфизм между плоскими областями , которые до первого порядка принимают маленькие кружки малых эллипсов ограниченного .
Ошибка harvtxt: цель отсутствует: CITEREFGrötzsch1928 ( справка )Ошибка harvtxt: цель отсутствует: CITEREFAhlfors1935 ( справка )

Интуитивно, пусть fD  →  D ′ — сохраняющий ориентацию гомеоморфизм между открытыми множествами на плоскости. Если е является непрерывно дифференцируемой , то K -квазиконформных если производная F в каждой точке карты кругов эллипсы с эксцентриситетом ограниченной K .

Если K равно 0, то функция конформна .

Аналитическое продолжение

Аналитическое продолжение натурального логарифма (мнимая часть)

Аналитическое продолжение — это метод расширения области определения данной аналитической функции . Аналитическое продолжение часто позволяет определить дополнительные значения функции, например, в новой области, где представление бесконечного ряда, в терминах которого оно изначально определено, становится расходящимся.

Однако пошаговая техника продолжения может столкнуться с трудностями. Они могут иметь по существу топологический характер, приводя к несогласованности (определение более одного значения). В качестве альтернативы они могут быть связаны с наличием математических особенностей . Случай нескольких комплексных переменных совершенно иной, поскольку в этом случае особенности не могут быть изолированными точками, и его исследование явилось основной причиной развития когомологий пучков .

Геометрические свойства многочленов и алгебраических функций

Темы в этой области включают римановы поверхности для алгебраических функций и нули для алгебраических функций.

Риманова поверхность

Риманова поверхность , впервые изучены и имени Бернхарда Римана , является одномерным комплексным многообразием . Римановы поверхности можно рассматривать как деформированные версии комплексной плоскости : локально вблизи каждой точки они выглядят как участки комплексной плоскости, но глобальная топология может быть совершенно иной. Например, они могут иметь вид сферы или тора или нескольких склеенных между собой листов.

Суть римановых поверхностей состоит в том, что между ними могут быть определены голоморфные функции . В настоящее время римановы поверхности считаются естественной средой для изучения глобального поведения этих функций, особенно многозначных функций, таких как квадратный корень и другие алгебраические функции или логарифм .

Однозначные и многовалентные функции

Голоморфны на открытом подмножестве в комплексной плоскости называется однолистным , если она инъективна .

Можно доказать, что если грамм{\ displaystyle G} а также Ω{\ displaystyle \ Omega}два открытых связных множества на комплексной плоскости, и

жграмм→Ω{\ displaystyle f: G \ to \ Omega}

— однолистная функция такая, что ж(грамм)знак равноΩ{\ Displaystyle f (G) = \ Omega} (то есть, ж{\ displaystyle f}является сюръективны ), то производнаяж{\ displaystyle f} никогда не равняется нулю, ж{\ displaystyle f}является обратимым , и обратнымж—1{\ displaystyle f ^ {- 1}}также голоморфен. Более того, по цепному правилу

Обычно используются альтернативные термины schlicht (по-немецки простой, простой) и simple . Замечательный факт, фундаментальный для теории однолистных функций, состоит в том, что однолистность по существу сохраняется при равномерной сходимости.