Основы геометрии

Другие похожие многоугольники

Понятие подобия распространяется на многоугольники с более чем тремя сторонами. Для любых двух похожих многоугольников соответствующие стороны, взятые в одной и той же последовательности (даже если по часовой стрелке для одного многоугольника и против часовой стрелки для другого), пропорциональны, а соответствующие углы, взятые в той же последовательности, равны по мере. Однако пропорциональности соответствующих сторон недостаточно для доказательства подобия многоугольников за пределами треугольников (в противном случае, например, все ромбы были бы подобны). Точно так же равенства всех углов в последовательности недостаточно, чтобы гарантировать подобие (в противном случае все прямоугольники были бы подобны). Достаточным условием подобия многоугольников является пропорциональность соответствующих сторон и диагоналей.

Для данного n все правильные n -угольники подобны.

Математический сканер по фото

Мне нравится8Не нравится2

Скачать в Google Play
Сканирует математическое уравнение камерой.Выводит шаги по решению.Ввод уравнения рисованием на экране.Алгоритм решения.Математический сканер по фото.

Андроид приложение решает уравнения по фото, а также имеет встроенный калькулятор для ввода математических примеров. Дополнительно находит решения в google и youtube сервисах. Интерфейс изначально на английском языке.

В настройках можно выбрать испанский, португальский, индонезийский языки. Но нет русского. Поэтому пошаговые объяснения решения вряд ли пригодятся для русскоговорящих учеников. Зато имеется рабочая функция написания уравнения на экране смартфона и получения ответа.

• Арифметические примеры, дроби, корни, алгебраические выражения, линейные неравенства, логарифмы, интегралы, графики, тригонометрия и др.
• Встроенный калькулятор.
• Дополнительные материалы для решения.

Преимущества
Есть бесплатная версия.
Решения по фото.
Письменный ввод текста на экране телефона.
Для некоторых функций не нужен интернет.

Недостатки
В бесплатной версии есть реклама.
Нет русского языка.
Иногда долго думает, может не дать ответа.

Итоговая таблица рейтинга

Photomath
49

Mathway
20

Camera Math
9

Geometryx: Геометрия
8

Microsoft Math Solver
7

Математический сканер по фото
6

Socratic by Google
5

Maple Калькулятор
4

Ссылки

• Хендерсон, Дэвид В .; Таймина, Дайна (2005), Опыт геометрии / Евклидова и неевклидова с историей (3-е изд.), Пирсон Прентис-Холл, ISBN 978-0-13-143748-7
• Джейкобс, Гарольд Р. (1974), Геометрия , WH Freeman and Co., ISBN 0-7167-0456-0
• Педо, Дэн (1988) , Геометрия / Комплексный курс , Дувр, ISBN 0-486-65812-0
• Сибли, Томас К. (1998), Геометрическая точка зрения / Обзор геометрий , Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-87450-1
• Смарт, Джеймс Р. (1998), Современная геометрия (5-е изд.), Брукс / Коул, ISBN 0-534-35188-3
• Шталь, Саул (2003), Геометрия / От Евклида до узлов , Прентис-Холл, ISBN 978-0-13-032927-1
• Венема, Джерард А. (2006), Основы геометрии , Пирсон Прентис-Холл, ISBN 978-0-13-143700-5
• Йель, Пол Б. (1968), геометрия и симметрия , Холден-Дэй

Задача про три участка и роутер

Для решения этой задачи потребуется вспомнить тригонометрию. Вспомним же её! 

Три брата купили квадратные участки в лесном посёлке. Участки одинакового размера. Длина каждого участка — 100 метров, а расположены они треугольником:

Братья решили сэкономить на интернете и поставить один роутер на троих. Чтобы найти точку, одинаково близкую ко всем участкам, они вплотную обвели три квадрата в круг и поставили роутер точно в центре получившегося круга.

Но братья не учли, что сигнал роутера дотягивается только на 130 метров, а дальше интернет теряется. Хватит ли братьям этого роутера или нужно взять мощнее?

Чтобы понять, хватит ли братьям этого роутера, нужно выяснить, какого радиуса круг у них получился. Если радиус будет меньше, чем радиус покрытия роутера, то всё в порядке, а если нет — роутер придётся менять.

Первым делом проведём через круг три диаметра, каждый из которых будет проходить через вершину треугольника. Длина каждой стороны треугольника — тоже 100 метров, так как он образован сторонами квадрата:

Раз все три линии в равностороннем треугольнике пересекаются в одной точке, то каждая линия — одновременно биссектриса (делит угол пополам) и медиана (делит противоположную сторону пополам), а ещё она проходит под прямым углом к противоположной стороне. А раз участки квадратные, то и противоположную сторону эта линия тоже пересекает под прямым углом и тоже делит ту сторону пополам:

Теперь посмотрим поближе на центральный треугольник, а точнее — на один из маленьких треугольников, который получился в результате. Так как каждая синяя линия — это биссектриса, а в равностороннем треугольнике все углы по 60 градусов, то левый угол будет равен 30 градусам. Мы знаем, что сумма всех углов треугольника равна 180 градусов, и у нас уже есть два угла — 30 и 90 градусов. Это значит, что верхний угол будет равен 180 − 90 − 30 = 60 градусов:

Зная всё это, найдём длину короткого катета по формуле X = tg(30) × 50 = 1/√3 × 50 = 50/√3

Теперь вернёмся ко всему рисунку и посмотрим на другой треугольник, где одна из сторон — это радиус круга.

Мы уже знаем, что синие линии делят квадраты пополам, а значит, нижняя сторона треугольника равна 50 метрам. Также мы знаем, что внизу у нас прямой угол, а значит, зелёная сторона треугольника тоже равна 100 метрам:

Получается, что у нас есть прямоугольный треугольник с катетами 50 метров и (100 + 50/√3) метров, и нужно узнать длину гипотенузы. По теореме Пифагора сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:

a² + b² = c²

Подставим сюда наши значения и решим уравнение:

50² + (100 + 50/√3)² = r²

r = √(50² + (100 + 50/√3)²)

r = √(2500 + (100 +28,86)²) = √(2500 +16606,83) = 138,22

Выходит, что радиус круга (138 метров), который граничит со всеми участками, меньше, чем радиус действия роутера (130 метров). Значит, братьям нужно брать роутер помощнее или ставить всё своё оборудование ближе к роутеру.

Непростая задача про диагональ квадрата

Если вы уже окончили школу, попробуйте решить эту задачку в уме, используя формулу длины диагонали квадрата:

d = X√2,

где X — это длина стороны квадрата.

Теперь условия: есть квадрат с длиной стороны x. Из нижнего левого угла провели под каким-то углом линию длиной 12 сантиметров:

После этого повернули на 90 градусов и провели вторую линию длиной 3 сантиметра:

А потом повернули ещё на 90 градусов и провели линию точно до правого верхнего угла. Её длина оказалась равна 9 сантиметрам:

Нужно найти X, то есть длину стороны квадрата.

Чтобы найти решение, нам придётся выйти за рамки квадрата и использовать свойства перпендикулярных линий и прямых углов.

Возьмём два отрезка, 9 и 12 сантиметров и на противоположных концах тоже под прямым углом построим отрезки по 3 сантиметра:

Теперь достроим недостающие линии в каждом прямоугольнике — 9 и 12 сантиметров — и тоже под прямым углом. Так как везде получились углы по 90 градусов, то перед нами два прямоугольника с общей стороной 3 сантиметра:

Если их объединить, то у нас получится прямоугольник длиной 9 + 12 = 21 сантиметр и шириной 3 сантиметра. Проведём диагональ в этом прямоугольнике:

А теперь важное замечание: так как углы прямоугольника совпадают с углами квадрата, то диагональ прямоугольника — это диагональ квадрата и их длины равны. По теореме Пифагора a² + b² = c² найдём диагональ:. 21² + 3³ = с² → 441 + 9 = с² → с² = 450

21² + 3³ = с² → 441 + 9 = с² → с² = 450

с = √450 = 15√2

Тут нам пригодится формула длины диагонали квадрата: с = X√2. Но у нас c = 15√2, получается, что X = 15 — это и есть длина стороны квадрата.

Текст:

Михаил Полянин

Редактор:

Максим Ильяхов

Художник:

Алексей Сухов

Корректор:

Ирина Михеева

Вёрстка:

Кирилл Климентьев

Соцсети:

Виталий Вебер

Где применяется геометрия

В настоящее время геометрия применяется в самых разных отраслях науки – в химии, физике, биологии. Также сложно переоценить ее значение в прикладных сферах знаний. Это, в частности, касается картографии, геодезии, машиностроения. Геометрические методы активно применяются в любых разделах науки и техники, и, безусловно, сама математика не является исключением.

Геометрия представляет собой весьма важную науку, которая зародилась еще в глубокой древности и изначально носила чисто прикладной характер. По мере развития этого учения стало появляться все больше аксиом и теорем. Это позволило изменить представление людей о геометрии и сделать ее более полезной для самых разных сфер человеческой жизни.

Соотношения сторон, площадей и объемов

Отношение площадей одинаковых фигур равно квадрату отношения соответствующих длин этих фигур (например, когда сторона квадрата или радиус круга умножаются на три, его площадь умножается на девять — т.е. на три в квадрате). Высота подобных треугольников находится в таком же соотношении, как и соответствующие стороны. Если у треугольника есть сторона длины b и высота, проведенная к этой стороне длины h, тогда аналогичный треугольник с соответствующей стороной длины kb будет иметь высоту, проведенную к этой стороне длины kh . Площадь первого треугольника: A =12bh , а площадь аналогичного треугольника будет A ′ =12( Кб ) ( кк ) = K 2 . Подобные фигуры, которые можно разложить на похожие треугольники, будут иметь одинаковые области, связанные с ними. Связь сохраняется и для цифр, которые нельзя исправить.

Отношение объемов одинаковых фигур равно кубу отношения соответствующих длин этих фигур (например, когда край куба или радиус сферы умножается на три, его объем умножается на 27 — т.е. на три куба).

Закон квадрата-куба Галилея касается подобных тел. Если отношение подобия (отношение соответствующих сторон) между твердыми телами равно k , то отношение площадей поверхности твердых тел будет k 2 , а отношение объемов будет k 3 .

Интересные факты о стереометрии. Стереометрия

Стереоме́трия (от др.-греч. «твёрдый; объёмный, пространственный» + «измеряю») — раздел евклидовой геометрии , в котором изучаются свойства фигур в пространстве. Основными (простейшими) фигурами в пространстве являются точки , прямые и плоскости .
В стереометрии появляется новый вид взаимного расположения прямых: скрещивающиеся прямые . Это одно из немногих существенных отличий стереометрии от планиметрии , так как во многих случаях задачи по стереометрии решаются путём рассмотрения различных плоскостей, в которых выполняются планиметрические законы.

Не стоит путать этот раздел с планиметрией, поскольку в планиметрии изучаются свойства фигур на плоскости (свойства плоских фигур), а в стереометрии — свойства фигур в пространстве (свойства пространственных фигур).

Многогранник представляет собой тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников . Эти многоугольники называются гранями многогранника, а стороны и вершины многоугольников называются соответственно ребрами и вершинами многогранника. Многогранники могут быть выпуклыми и невыпуклыми . Выпуклый многогранник расположен по одну сторону относительно плоскости, проходящей через любую его грань .

Salomon

Рассуждая о горных лыжах нельзя обойти стороной бренд «Salomon». Компания основана во Франции, в 1947 году Франсуа Саломоном (François Salomon). Уже через год, в 1948 году, компания завоевала всемирную известность. Саломон разработал революционную систему лыжных креплений – «meil carres».

От Франции до Китая

Новые крепления закупали все крупные производители горных лыж Франции, Швейцарии, Австрии. В 1972 году Бренд признан «производителем креплений № 1 в мире». Salomon вышел на уровень продаж – более одного миллиона в год. В 1980 году Саломон запускает собственную линейку горнолыжных ботинок. Затем появилась своя горнолыжная экипировка, а также летняя спортивная одежда и обувь.

Добившись успеха в производстве горнолыжного снаряжения, Саломон приступил к производству горных лыж. В 1990 году компания выпускает первую серию лыж под брендом «Salomon».

В 1997 году фирма «Salomon» объединяет свои активы с компанией Adidas. Как результат, появилась превосходная линейка сноубордов «Adidas-Salomon AG».

2005 г – «Salomon» вливается в корпорацию Amer Sports. В группу компаний входит также бренд «Atomic». Новые активы – новые сенсации. В 2012 г компания Саломон представляет миру горные лыжи «Salomon BBR». Среди райдеров лыжи известны под именем «Голубая акула», из-за своего экстравагантного внешнего вида. Саломон декларировал свое детище, как первые, реально универсальные лыжи.

В 2018 году часть акций корпорации Amer Sport выкупила китайская компания Mascot Bidco Oy (входит в группу компаний ANTA Sports). Слияние европейского контроля качества и китайского производства привели к новому положительному эффекту. Компания «Salomon» – одна из немногих, кто производит горные лыжи по демократическим ценам, при этом развивает прогрессивные технологии и гарантирует высокое качество. Рассмотрим модельный ряд горных лыж Salomon.

Спортивные лыжи Саломон

«Race» – спортивные лыжи, для любителей скоростного слалома. Линейка включает в себя несколько серий: «S/Race Pro», «S/Race Rush», «S/Race MT», «S/Race Shot». У всех моделей отсутствует рокер. Лыжи выделяются своей жесткостью и хорошей хваткой кантов.

Карвинговые и универсальные горные лыжи от компании Salomon

«Max» – карвинговые модели для подготовленных склонов. На всех моделях ширина талии – 72 — 73 мм. От предыдущей серии отличаются более «мягким характером». Серия также разбита на несколько подгрупп. Для лыжниц предусмотрена линейка: «Salomon Max W».

Горные лыжи серии «Salomon Drive», «Salomon Distance» и «Salomon Force» – эта длинная линейка представляет собой карвинговые универсалы для трассового и около трассового катания. Здесь найдутся модели на любой вкус. И новичок, и профессионал сможет подобрать лыжи под свой стиль катания. Ширина талии от 75 до 85 мм.

Объединяет эти модели одно – сочетание маневренности и терпимости к незначительным ошибкам лыжника. В этих моделях Salomon предложил принципиально новую (запатентованную) конструкцию носка. Носок работает как амортизатор. Лыжи «поглощают» удар и позволяет гладко проходить все неровности рельефа.

Модели для начинающих лыжниц отличаются легкостью и невысокой жесткостью. Мягкая начинка позволят лыжам «изгибаться дугой» на поворотах. Это облегчает вход в поворот и помогает новичкам освоить технику катания.

Модельный ряд Саломон для фрирайда

«Stance» – лыжи для тех, кто только собирается освоить целину. Райдеры оценили управляемость и отзывчивость новой линейки. Канты надежно держат поворот, независимо от того, где вы закладываете вираж – на трассе или вне её. В серии много моделей для женского катания.

«QST» – горные лыжи для фрирайда от компании Salomon. Выделяются чудесной плавучестью и легким перекатом с канта на кант.

18 интересных фактов о геометрии

1. Геометрия, как систематическая наука, возникла в Древней Греции.
2. Одним из самых выдающихся ученых в области геометрии является Евклид. Открытые им законы и принципы до сих пор лежат в основе данной науки.
3. Более 5 тысячелетий назад древние египтяне использовали геометрические знания при постройке пирамид, а также в ходе разметки земельных участков на побережьях Нила (см. интересные факты о Ниле).

4. Знаете ли вы, что над дверью в академию, в которой Платон обучал своих последователей, находился следующая надпись: «Пусть не входит сюда тот, кто не знает геометрии»?

5. Трапеция – одна из геометрических фигур, происходит от древнегреческого «трапезион», что буквально переводится, как – «столик».
6. Среди всех геометрических форм с одинаковым периметром, круг обладает самой большой площадью.
7. Посредством геометрических формул и не исключая того, что наша планета является сферой, древнегреческий ученый Эратосфен вычислил длину ее окружности. Интересен факт, что современные измерения показали, что грек выполнил все расчеты правильно, допустив лишь небольшую погрешность.
8. В геометрии Лобачевского сумма всех углов треугольника менее 180⁰.
9. Сегодня математикам известно о других разновидностях неевклидовых геометрий. Они не практикуются в повседневной жизни, но помогают разрешить массу вопросов в других точных науках.
10. Древнегреческое слово «конус» переводится, как – «сосновая шишка».
11. Основы фрактальной геометрии были заложены гениальным Леонардо да Винчи (см. интересные факты о Леонардо да Винчи).
12. После того, как Пифагор вывел свою теорему он и его ученики испытали такое потрясение, что решили будто мир уже познан и осталось только объяснить его числами.
13. Главным среди всех своих достижений Архимед считал вычисление объемов конуса и шара, вписанных в цилиндр. Объем конуса составляет 1/3 от объема цилиндра, в то время как объем шара – 2/3.
14. В геометрии Римана сумма углов треугольника всегда превышает 180⁰.
15. Интересен факт, что Евклид самостоятельно доказал 465 геометрических теорем.
16. Оказывается, Наполеон Бонапарт был талантливым математиком, который за годы своей жизни написал немало научных трудов. Любопытно, что его именем названа одна из геометрических задач.
17. В геометрии формула, помогающая измерить объем усеченной пирамиды появилась раньше, чем формула для целой пирамиды.
18. В честь геометрии назван астероид под номером 376.

Это были самые интересные факты о геометрии. Если вам понравилась эта статья, или вы вообще любите интересные научные факты, – поделитесь ею в соцсетях и подписывайтесь на сайт interesnyefakty.org.

Понравился пост? Нажми любую кнопку:

Интересные сведения о геометрии

• Египет стал родиной геометрии 4000 лет назад. Геродот, живший 2500 лет назад, в своих трудах указывал, что при дворе царя находились специальные люди, называющиеся геометрами. В их обязанности входило измерение земель жителей для дальнейшего начисления налога. Река Нил постоянно заливала земельные наделы, а для правильного расчета налога нужно использовать точные размеры участка. Поэтому геометры были востребованными и уважаемыми людьми.
• Для древних людей большое значение имела форма окружающих вещей. Благодаря различиям форм и цвета люди отличали вкусные дары природы от невкусных (грибы, ягоды, корневища), хорошую древесину для изготовления различных изделий от непригодной и так во всех сферах жизни. Редким лакомством были кокосы, которые имели форму шара. Кристаллы соли представляли в виде куба. Так ежедневно, в домашних хлопотах, человечество постигало науку геометрию.
• Имеется научное подтверждение, что двести тысяч лет назад уже использовались предметы различных форм, напоминающие геометрические фигуры. Названий фигур люди не знали, использовали сравнительные характеристики: такая, как солнце, такое, как ягода.                           
• При строительстве первых деревянных домов древние люди стали все глубже разбираться в геометрии: как сделать ровные и одинаковые стены, крышу правильной формы, необходимые размеры, формы строительного материала. Бессознательно население изучало геометрию: женская часть кроила и шила носильные вещи, мужчины изготавливали копья, бумеранги сложных геометрических форм.

Геометрия — отличный решебник с формулами

Геометрия, или второе название, Pocket Edition – это ещё одно приложение для мобильных устройств, которое обязательно вам поможет. Это не просто справочник или решебник, это целое образовательное приложение, которое сможет помочь с решением геометрии всего школьного курса.

Главная особенность программы – ваш экран смартфона, словно тетрадный лист, на котором вам предстоит нарисовать поставленную задачу.

Pocket Edition обладает простым интерфейсом. Снизу на панели вы увидите несколько кнопок:

• Инструменты рисования;
• Инструменты выделения;
• Инструменты связи;
• Запуск решения или создание новой задачи.

Уже после того, как вы выберите нужный вам раздел, высветился ещё несколько дополнительных функций. Именно с их помощью пользователь и должен наглядно изобразить поставленную перед ним задачу по геометрии.

Ученики и студенты знают, что в геометрии важен не просто результат. Каждую теорему нужно доказать и объяснить. Разработчики учли все эти моменты и создали идеальное приложение. Оно в логической последовательности даёт ответы и показывает полученные выводы.

Каждый шаг сопровождается иллюстрациями, доводами и обоснованиями. Также, приложение подскажет как подойти к противоречию, если определенную теорему нельзя доказать.

Геометрия доступна в App Store и в Play Маркете. Скачать можно бесплатно, также как в бесплатном доступе вы сможете лишь попробовать для решения одну задачу. В целом, этого достаточно, чтобы ознакомиться с функционалом. Если вы планируете постоянно пользоваться данной программой, придется платить деньги. Pocket Edition станет настоящей палочкой-выручалочкой на экзамене.

Как вы используете данное?

Данный используется при указании на возможную ситуацию, в которой кто-то имеет возможность или способность что-то сделать. Например, данный шанс означает «если бы у меня был шанс». «Запишите, чем бы вы хотели заняться, если бы представилась такая возможность.

Дано грамматически правильно?

Оба правильны и зависят от контекст. «Have got» — это настоящее совершенное время, образованное с помощью has/have с причастием прошедшего времени глагола. Настоящее совершенное время описывает действие, которое произошло в неопределенное время в прошлом ИЛИ действие, которое началось в прошлом и продолжается в настоящем.

Всегда ли среднее из заданных данных? Ложь. Среднее или среднее арифметическое или среднее значение заданных данных определяется как Сумма всех наблюдений по Количество наблюдений.

Каков диапазон данных? В статистике диапазон разброс ваших данных от самого низкого до самого высокого значения в распределении. Это широко используемая мера изменчивости. Наряду с мерами центральной тенденции меры изменчивости дают вам описательную статистику для обобщения вашего набора данных.