Неевклидовы геометрии

Слайд 10Но, опасаясь насмешек, он воздерживался от публикации этих идей и тем

самым позволил разделить честь открытия гиперболической геометрии (примерно в 1825) венгру Яношу Бояй (1802-1860) и русскому Н. И. Лобачевскому (1793-1856). Бояй опубликовал свою работу до того, как услышал о Лобачевском, а последний, судя по всему, так никогда и не узнал об исследованиях Бояй. В 1854 Б. Риман (1826-1866) заметил, что из неограниченности пространства еще не следует его бесконечная протяженность. Смысл этого утверждения станет яснее, если представить, что в неограниченной, но конечной вселенной астроном в принципе мог бы увидеть в телескоп, обладающий достаточно высокой разрешающей способностью, свой собственный затылок (если отвлечься от небольшой детали, связанной с тем, что свет, отраженный от затылка, достиг бы глаза астронома через тысячи миллионов лет).

Янош Бояй

Необычные свойства

Четырехугольник Ламберта в гиперболической геометрии

Четырехугольники Саккери в трех геометриях

Евклидова и неевклидова геометрии, естественно, обладают многими схожими свойствами, а именно теми, которые не зависят от природы параллелизм. Эта общность является предметом абсолютной геометрии (также называемой нейтральной геометрией)

Однако исторически наибольшее внимание уделялось свойствам, которые отличают одну геометрию от других

Помимо поведения прямых относительно общего перпендикуляра, упомянутого во введении, мы также имеем следующее:

A Четырехугольник Ламберта — это четырехугольник с тремя прямыми углами. Четвертым углом четырехугольника Ламберта является острый, если геометрия гиперболическая, прямой угол, если геометрия евклидова, или тупой, если геометрия эллиптическая. Следовательно, прямоугольники существуют (утверждение, эквивалентное постулату параллельности) только в евклидовой геометрии.
A Четырехугольник Саккери — четырехугольник с двумя сторонами одинаковой длины, перпендикулярными стороне, называемой основанием.. Два других угла четырехугольника Саккери называются вершинными углами и имеют одинаковую меру. Вершины четырехугольника Саккери острые, если геометрия гиперболическая, прямые углы, если геометрия евклидова, и тупые углы, если геометрия эллиптическая.
Сумма углов любого треугольника меньше чем 180 °, если геометрия является гиперболической, равной 180 °, если геометрия евклидова, и больше 180 °, если геометрия эллиптическая. Дефектом треугольника является числовое значение (180 ° — сумма мер углов треугольника). Этот результат можно также сформулировать так: дефект треугольников в гиперболической геометрии положительный, дефект треугольников в евклидовой геометрии равен нулю, а дефект треугольников в эллиптической геометрии отрицательный.

Примечания и ссылки

Заметки

Вывод Саккери остается известным: «Гипотеза об остром угле абсолютно ложна, поскольку противоречит природе прямой. »
Сумма углов четырехугольника больше четырех прямых углов .
Сегодня C называется «гауссовой кривизной» гиперболической плоскости.

История неевклидовых геометрий

В n- мерных геометрий и неевклидовы геометрия две отдельные ветви геометрии, которые могут быть объединены, но не обязательно. В популярной литературе возникла путаница в отношении этих двух геометрий. Поскольку евклидова геометрия была двухмерной или трехмерной, был сделан ошибочный вывод, что неевклидова геометрия обязательно должна иметь более высокие измерения.

древность

Предыстория неевклидовой геометрии — это длинная серия исследований и попыток прояснить пятый постулат Евклида (постулат параллелей). Этот постулат — в особенности потому, что он апеллирует к концепции бесконечности — всегда казался немного «обособленным» и неочевидным для математиков, которые стремились либо заменить его более простым и более прямым постулатом, либо продемонстрировать его, исходя из постулата Евклида. другие постулаты. Таким образом, арабские и персидские математики, включая Табита ибн Курру, Альхазена и особенно Омара Хайяма, изучали связь между постулатом параллелей и суммой углов четырехугольника и треугольника. Хайям и предложения от XI — го века Альтернативы пятого постулата Евклида, и демонстрационная потуга этого постулата от противного .

XVII — го века

В XVII — м веке, Валлис и особенно Саккери были вдохновлены работой этих математиков и пытался доказать параллельный постулат. Саккери посвятил всю свою жизнь попыткам продемонстрировать постулат параллелей через абсурд, но безуспешно. Но, постулируя «гипотезу острого угла», которая постулирует, что сумма углов четырехугольника меньше четырех прямых углов, это не только не приводит к какому-либо вопиющему математическому противоречию, но и обнаруживает все., связные и богатые теоремы. Он собирается открыть неевклидову геометрию (например, гиперболическую геометрию, в которой пространство может допускать бесконечное количество параллелей данной прямой и проходящих через точку вне этой линии), но он никогда не примет эти новые теоремы, которые он считает «отталкивающий».

Взявшись за работу Саккери в 1766 году, Иоганн Генрих Ламберт принимает гипотезу об остром угле, но не приходит к выводу о противоречии. Он осознает, по крайней мере в самые последние годы своей жизни, что должно быть возможно строить когерентные геометрии либо на основе гипотезы острого угла (гиперболическая геометрия), либо на основе гипотезы тупого угла (эллиптическая геометрия).

Ламберт, в частности, получает формулу, где C — константа, которая дает площадь Δ треугольника, три угла которого равны α, β и γ, в геометрии, основанной на остром угле (в настоящее время это называется гиперболической геометрией ).
π-(α+β+γ)знак равноПРОТИВΔ{\ Displaystyle \ пи — (\ альфа + \ бета + \ гамма) = С \, \ Дельта}

XIX — го века

Гаусс еще в 1813 году сформулировал возможность существования других геометрий, отличных от геометрии Евклида. Однако он так и не решился опубликовать результаты своих размышлений в этом направлении, «опасаясь криков беотийцев», как писал сам.

Мы различаем геометрии с отрицательной кривизной, такие как геометрия Лобачевского (1829 г.) и Бойяи (1832 г.) (сумма углов треугольника меньше 180 °, бесконечное количество возможных параллелей прямой через точку, например, гиперболическая геометрия), геометрии положительной кривизны, подобные геометрии Римана (1867) (сумма углов треугольника больше 180 °, параллельных полюсам, например эллиптическая геометрия).

Геометрия, обычно называемая «геометрией Римана», представляет собой трехмерное сферическое пространство, конечное пространство, но без ограничений, с регулярной положительной кривизной, альтернативу евклидовому постулату параллелей. Риман также разработал расширенную теорию неевклидовых n- мерных геометрий (конференция 1854 г.).

Идея «неевклидовой геометрии» обычно подразумевает идею искривленного пространства, но геометрия пространственной кривой является представлением геометрии неевклидовой, говорит Дункан Соммервиль (in) в «Элементах неевклидовой геометрии» ( Лондон, 1914 г.). Есть трехмерные неевклидовы пространства.

Ссылки

А’Кампо, Норберт и Пападопулос, Атанас, (2012) Заметки о гиперболической геометрии, в: Страсбург Мастер-класс по геометрии etry, стр. 1–182, Лекции ИРМА по математике и теоретической физике, Том. 18, Цюрих: Европейское математическое общество (EMS), 461 страница, ISBN 978-3-03719-105-7, DOI: 10.4171 / 105.
Андерсон, Джеймс У. Гиперболическая геометрия, второе издание, Springer, 2005
Бельтрами, Эудженио Теория fondamentale degli spazî di curvatura costante, Annali. di Mat., ser II 2 (1868), 232–255
Блюменталь, Леонард М. (1980), Современный взгляд на геометрию, Нью-Йорк: Dover, ISBN 0-486 -63962-2
Кэрролл, Льюис Евклид и его современные соперники, Нью-Йорк: Барнс и Ноубл, 2009 г. (перепечатка) ISBN 978-1-4351-2348 -9
Х. С.М. Коксетер (1942) Неевклидова геометрия, University of Toronto Press, переиздано в 1998 году Mathematical Association of America, ISBN 0-88385-522- 4.
Фабер, Ричард Л. (1983), Основы евклидовой и неевклидовой геометрии, Нью-Йорк: Марсель Деккер, ISBN 0-8247-1748-1
Джереми Грей (1989) Идеи пространства: евклидово, неевклидово и релятивистское, 2-е издание, Clarendon Press.
Гринберг, Марвин Джей Евклидова и неевклидова геометрия: развитие и история, 4-е изд., Новое Йорк: WH Freeman, 2007. ISBN 0-7167-9948-0
Моррис Клайн (1972) Математическая мысль от древних до наших дней, глава 36. Euclidean Geometry, pp 861–81, Oxford University Press.
Bernard H. Lavenda, (2012) » A New Perspective on Relativity : An Odyssey In Non-Euclidean Geometries», World Scientific, pp. 696, ISBN .
Nikolai Lobachevsky (2010) Pangeometry, Tra nslator and Editor: A. Papadopoulos, Heritage of European Mathematics Series, Vol. 4, European Mathematical Society.
Manning, Henry Parker (1963), Introductory Non-Euclidean Geometry, New York: Dover
Meschkowski, Herbert (1964), Noneuclidean Geometry, New York: Academic Press
Richards, Joan L. (1988), Mathematical Visions: The Pursuit of Geometry in Victorian England, Boston: Academic Press, ISBN 0-12-587445-6
Smart, James R. (1997), Modern Geometries (5th Ed.), Pacific Grove: Brooks/Cole, ISBN 0-534-35188-3
Stewart, Ian (2001) Flatterland, New York: Perseus Publishing ISBN 0-7382-0675-X (softcover)
John Stillwell (1996) Sources of Hyperbolic Geometry, American Mathematical Society ISBN 0-8218-0529-0.
(2014) La théorie des parallèles de Johann Heinrich Lambert, (Critical edition of Lambert’s memoir with a French translation, with historical and mathematical notes and commentaries ISBN 978-2-85367-266-5

Слайд 13Заменив этой аксиомой V постулат Евклида, Лобачевский разработал свою неевклидову геометрию,

которая оказалась так же логически безупречной, правильной, как и геометрия Евклида.

Аксиома Лобачевского нам кажется на первый взгляд странной, так как противоречит нашим установившимся геометрическим представлениям. Однако при более глубоком анализе вопроса нужно признать, что в отличие от других аксиом, касающихся фигур ограниченных размеров, аксиома параллельности Евклида относится к неограниченной прямой и никогда не может быть проверена с помощью непосредственного эксперимента, который может быть проведен лишь в ограниченной части пространства. Если, например, взять угол NCL достаточно малым, то отрезки CL и АВ не пересекутся даже на расстоянии, выходящем за пределы нашей планеты. И вот как раз в пределах ограниченной части плоскости можно провести через данную точку множество прямых, не пересекающих данной прямой.

Рис. 1

Планарные алгебры

В аналитической геометрии плоскость описывается с помощью декартовых координат : C = {(x, y): x, y ∈ ℝ}. Точки иногда отождествляются с комплексными числами z = x + y ε, где ε ∈ {–1, 0, 1}.

Евклидова плоскость соответствует случаю ε = −1, поскольку модуль z определяется как

zz ∗ = (x + y ϵ) (x — y ϵ) = x 2 + y 2 { \ displaystyle zz ^ {\ ast} = (x + y \ epsilon) (xy \ epsilon) = x ^ {2} + y ^ {2}}

и эта величина является квадратом евклидова расстояния между z и началом координат. Например, {z | z z * = 1} — единичная окружность.

Для плоской алгебры неевклидова геометрия возникает в других случаях. Когда ε = +1, тогда z является комплексным числом с разделением, и обычно j заменяет эпсилон. Тогда

zz ∗ = (x + yj) (x — yj) = x 2 — y 2 {\ displaystyle zz ^ {\ ast} = (x + y \ mathbf {j}) (xy \ mathbf {j}) = x ^ {2} -y ^ {2} \!}

и {z | zz * = 1} — это единичная гипербола.

Когда ε = 0, тогда z является двойным числом.

Этот подход к неевклидовой геометрии объясняет неевклидовы углы: параметры наклон в плоскости двойных чисел и гиперболический угол в плоскости расщепленного комплекса соответствуют углу в евклидовой геометрии. Действительно, каждая из них возникает в комплексного числа z.

Н. г. в виде проективных моделей[править | править код]

Через точку Р проходит бесконечно много «прямых», не пересекающих «прямой» а

Пусть на проективной плоскости введены проективные однородные координаты (x1,x2,x3)(x_1, x_2, x_3) и задана некоторая овальная линия второго порядка, обозначаемая дальше буквой k, например

x12+x22−x32=x_1^2+ x_2^2-x_3^2=0

Каждое проективное отображение проективной плоскости на себя, которое оставляет на месте линию k, называется автоморфизмом относительно k. Каждый автоморфизм отображает внутренние точки линии k также во внутренние её точки. Множество всех автоморфизмов относительно линии k составляет группу. Пусть рассматриваются только точки проективной плоскости, лежащие внутри k; хорды линии k называются «прямыми». Две фигуры пусть считаются равными, если одна из них переводится в другую некоторым автоморфизмом. Так как автоморфизмы составляют группу, то имеют место основные свойства равенства фигур: если фигура А равна фигуре В, то В равна А; если фигура А равна фигуре В, а В равна фигуре С, то А. равна С. В получаемой т. о. геометрические теории будут соблюдены требования всех аксиом евклидовой геометрии, кроме аксиомы о параллельных: вместо этой последней аксиомы соблюдается аксиома о параллельных Лобачевского (см. рисунок). Тем самым получается истолкование (двумерной) геометрии Лобачевского при помощи объектов проективной плоскости или, как говорят, проективная модель геометрии Лобачевского; линию k называют абсолютом этой модели. Автоморфизмы относительно k играют роль движений. Поэтому геометрию Лобачевского можно рассматривать как теорию, изучающую свойства фигур и связанные с фигурами величины, которые остаются неизменными при автоморфизмах; короче говоря, геометрию Лобачевского можно рассматривать как теорию инвариантов группы автоморфизмов относительно овального абсолюта.

Геометрия Римана (двумерная) допускает сходное истолкование; именно она является теорией инвариантов относительно нулевого абсолюта

x12+x22+x32=,(10)x_1^2+x_2^2+x_3^2 = 0,\,\,\,(10)

При этом в качестве точек и прямых модели берутся все точки и прямые проективной плоскости; автоморфизмы определяются чисто алгебраически как линейные преобразования, которые переводят уравнение (10) в уравнение того же вида.

Евклидову геометрию также можно рассматривать как теорию инвариантов некоторой группы проективных преобразований, именно, группы автоморфизмов относительно вырожденного абсолюта

x12+x22=,x3=x_1^2 + x_2^2 = 0, x_3 = 0

то есть относительно мнимых точек (1, i, 0), (1, —i, 0); эти точки называют круговыми точками. Предметом модели являются все точки проективной плоскости, кроме точек прямой x3=x_3 = 0, и все прямые проективной плоскости, кроме прямой x3=x_3 = 0. В последнем случае автоморфизмы играют роль подобных преобразований, а не движений, как в случае Н. г.
Рассмотренные модели относятся к двумерным геометриям; проективные модели высших размерностей строятся аналогично.

Соответственно характеру уравнений абсолютов, геометрия Лобачевского называется гиперболической, геометрия Римана — эллиптической, геометрия Евклида — параболической.

Н. г. имеют существенные приложения в математике (теории аналитических функций, теории групп и др.) и смежных с нею областях (например, в теории относительности). Эти приложения основаны на том, что разнообразные конкретные модели Н. г. связаны с различными объектами и понятиями указанных разделов математики и смежных с нею областей.

Н. г. в плане дифференциальной геометрии[править | править код]

В каждой из Н. г. дифференциальные свойства плоскости аналогичны дифференциальным свойствам поверхностей евклидова пространства; в неевклидовой плоскости могут быть введены внутренние координаты u, v, так что дифференциал ds дуги кривой, соответствующий дифференциалам du, dv координат, определяется равенством:

ds2=Edu2+2Fdudv+Gdv2,(7)ds2 = Edu2 + 2Fdudv + Gdv2,\,\,\,(7)

Пусть, в частности, в качестве координаты u произвольной точки М берётся длина перпендикуляра, опущенного из М на фиксированную прямую, а в качестве координаты v — расстояние от фиксированной точки О этой прямой до основания указанного перпендикуляра; величины u, v следует брать со знаком, подобно обычным декартовым координатам. Тогда формула (7) для плоскости Лобачевского будет иметь вид:

ds2=du2+ch2⁡(uR)dv2,(8)ds^2=du^2+\mathop{\mathrm{ch}}^2\left(\frac{u}{R}\right)dv^2,\,\,\,(8)

а для плоскости Римана

ds2=du2+cos Косинус 2(uR)dv2,(9)ds^2=du^2+\cos^2\left(\frac{u}{R}\right)dv^2,\,\,\,(9)

R — та же постоянная, которая входит в формулы предыдущего раздела (радиус кривизны). Правые части (8) и (9) суть метрические формы поверхностей евклидова пространства, имеющих соответственно постоянную отрицательную кривизну К = — 1/R2 (как, например, псевдосфера) и постоянную положительную кривизну К = 1/R2 (как, например, сфера). Поэтому внутренняя геометрия достаточно малой части плоскости Лобачевского совпадает с внутренней геометрией на соответствующей части поверхности постоянной отрицательной кривизны. Аналогично, внутренняя геометрия достаточно малых частей плоскости Римана реализуется на поверхностях постоянной положительной кривизны (поверхностей, которые реализуют геометрию всей плоскости Лобачевского, в евклидовом пространстве нет).При замене R на RiR_i метрическая форма (8) переходит в метрическую форму (9). Так как метрическая форма определяет внутреннюю геометрию поверхности, то при такой замене и другие метрические соотношения геометрии Лобачевского переходят в метрические соотношения геометрии Римана (что уже было отмечено выше). При R равном бесконечности каждое из равенств (8) и (9) даёт

ds2=du2+dv2~ds^2 = du^2 + dv^2

то есть метрическую форму евклидовой плоскости.

Трёхмерные неевклидовы пространства по своим дифференциальным свойствам относятся к числу римановых пространств в широком смысле и выделяются среди них прежде всего тем, что имеют постоянную риманову кривизну. Как в двумерном, так и в трёхмерном случае постоянство кривизны обеспечивает однородность пространства, то есть возможность движения фигур в нём, причём с той же степенью свободы, как (соответственно) на евклидовой плоскости или в евклидовом пространстве. Пространство Лобачевского имеет отрицательную кривизну, равную — 1/R², пространство Римана — положительную кривизну, равную 1/R² (R — радиус кривизны). Евклидово пространство занимает промежуточное положение и является пространством нулевой кривизны.

Пространства постоянной кривизны могут иметь весьма разнообразное строение в смысле топологии. Среди всех пространств постоянной отрицательной кривизны пространство Лобачевского однозначно выделяется двумя свойствами: оно полно (в смысле полноты метрического пространства), топологически эквивалентно обычному евклидову пространству. Пространство Римана среди всех пространств положительной кривизны однозначно выделяется свойством топологической эквивалентности проективному пространству. Аналогичными условиями выделяются многомерные пространства Лобачевского и Римана среди многомерных пространств постоянной римановой кривизны.

Геометрия Лобачевского

Первым человеком, отважившимся выступить с совершенно новой, отличной от Евклидовой, теорией геометрии, был Николай Иванович Лобачевский. Открытие Лобачевского (1826, опубликованное 1829-30гг.), не получившее признания современников, совершило переворот в представлении о природе пространства, в основе которого более 2 тыс. лет лежало учение Евклида, и оказало огромное влияние на развитие математического мышления. Тем самым он положил начало новой эпохе в этом разделе математики, завоевав себе почетное звание «Коперника геометрии».

История создания Лобачевского одновременно является историей попыток доказать пятый постулат Евклида. Этот постулат представляет собой одну из аксиом, положенных Евклидом в основу изложения геометрии. Напомним формулировку пятого постулата: если две прямые пересекаются третьей так, что по какую-либо сторону от нее сумма внутренних углов меньше двух прямых углов, то по эту же сторону исходные прямые пересекаются.

В геометрии Лобачевского (или геометрии Лобачевского-Бойяи, как ее иногда называют) сохраняются все теоремы, которые в евклидовой геометрии можно доказать без использования пятого постулата. Например: вертикальные углы равны; углы при основании равнобедренного треугольника равны; из данной точки можно опустить на данную прямую только один перпендикуляр; сохраняются также признаки равенства треугольников и др.

Чтобы доказать пятую аксиому Евклида, он принял противоположное этой аксиоме допущение, что к данной прямой через данную точку можно провести бесконечное множество параллельных прямых. Лобачевский пытался привести это допущение к противоречию с другими аксиомами Евклида, однако, по мере того как он развертывал из сделанного им допущения все более и более длинную цепь следствий, ему становилось ясным, что никакого противоречия не только не получается, но и не может получиться.

Действительно, пусть дана некая прямая и точка, лежащая, вне ее. Предположим, что из точки к этой прямой опущен перпендикуляр. В каком же случае прямая, проведенная через конец данного перпендикуляра, будет параллельна данной прямой? Если следовать евклидовой геометрии, это возможно только в том случае, если:

а) она лежит в той же плоскости,

б) угол между ней и перпендикуляром равен 90°.

Предположим теперь, что этот угол не равен 90°, а отличается от него на какую-то величину?

В этом случае с точки зрения евклидовой геометрии, данные прямые не будут параллельны и должны пересечься. Причем точка пересечения будет тем ближе от перпендикуляра, чем больше отклонение от прямого угла и чем короче длина перпендикуляра. Если же отклонение бесконечно мало (то есть, величина его стремится к нулю), а длина перпендикуляра, наоборот, бесконечно велика, то точка пересечения переместится в бесконечность.

Другими словами, бесконечно сближаясь, рассматриваемые нами прямые все же никогда не пересекутся. Очевидно, что таких прямых, (каждой из которых соответствует свое значение) через данную точку можно провести сколь угодно много.

Итак, вместо противоречия Лобачевский получил хоть и своеобразную, но логически, совершенно стройную и безупречную систему положений, обладающую тем же логическим совершенством, что и обычная евклидова геометрия. Эта система положений и составила так называемую неевклидову геометрию, или геометрию Лобачевского.

Свои выводы Лобачевский изложил в 1829г. в университетском журнале «Казанский вестник».

Но научные идеи Лобачевского не были поняты современниками. Его труд «О началах геометрии», представленный в 1832 году советом университета в Академию наук, получил у М.В. Остроградского (1801 — 1862) отрицательную оценку. Среди коллег его почти никто не поддерживает, растут непонимание и невежественные насмешки. Венцом травли стал издевательский анонимный пасквиль, появившийся в журнале Ф. Булгарина «Сын отечества» в 1834 году:

«Как можно подумать, чтобы г. Лобачевский, ординарный профессор математики, написал с какой-нибудь серьёзной целью книгу, которая немного бы принесла чести и последнему школьному учителю! Если не ученость, то, по крайней мере, здравый смысл должен иметь каждый учитель, а в новой геометрии нередко недостает и сего, последнего».

Кинематические геометрии

Гиперболическая геометрия нашла применение в кинематике с помощью физическая космология введена Германом Минковским в 1908 году. Минковский ввел такие термины, как мировая линия и собственное время в математическую физику. Он понял, что подмногообразие событий в один момент собственного времени в будущем может рассматриваться гиперболическим пространством трех измерений. Уже в 1890-х годах Александр Макфарлейн рисовал это подмногообразие с помощью своей и гиперболических кватернионов, хотя Макфарлейн не использовал космологический язык, как это делал Минковский в 1908 году. Соответствующая структура теперь называется моделью гиперболоида гиперболической геометрии.

Неевклидовы плоские алгебры поддерживают кинематическую геометрию на плоскости. Например, разделенное комплексное число z = e может представлять пространственно-временное событие в один момент будущего в системе отсчета с скоростью a. Кроме того, умножение на z равняется бусту Лоренца, отображающему кадр с нулевой скоростью в кадр с быстротой a.

Кинематическое исследование использует двойные числа z = x + y ϵ, ϵ 2 = 0, {\ displaystyle z = x + y \ epsilon, \ quad \ epsilon ^ {2} = 0,}для представления классического описания движения в абсолютном времени и пространстве : уравнения x ′ = x + vt, t ′ = t { \ displaystyle x ^ {\ prime} = x + vt, \ quad t ^ {\ prime} = t}эквивалентны отображению сдвига в линейной алгебре:

( x ′ t ′) = (1 v 0 1) (xt). {\ displaystyle {\ begin {pmatrix} x ‘\\ t’ \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} 1 v \\ 0 1 \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} x \\ t \ end {pmatrix}}.}

С двойными числами отображение: t ′ + x ′ ϵ = (1 + v ϵ) (t + x ϵ) = t + (x + vt) ϵ. {\ displaystyle t ^ {\ prime} + x ^ {\ prime} \ epsilon = (1 + v \ epsilon) (t + x \ epsilon) = t + (x + vt) \ epsilon.}

Другой вид специальная теория относительности как неевклидова геометрия была выдвинута Э. Б. Уилсон и Гилберт Льюис в Proceedings of Американской академии искусств и наук в 1912 году. Они изменили аналитическую геометрию, заложенную в алгебре расщепленных комплексных чисел, на синтетическая геометрия предпосылок и выводов.

Важность

Ранее модели неевклидовой плоскости были представлены Бельтрами, Кляйном и Пуанкаре, евклидова геометрия неоспоримо оставалась математической моделью пространства. Более того, поскольку суть предмета в синтетической геометрии была главным проявлением рациональности, евклидова точка зрения представляла абсолютный авторитет.

Открытие неевклидовой геометрии имело волновой эффект, выходящий далеко за рамки математики и науки. Философ Иммануил Кант трактовал человеческое знание особую роль в геометрии. Это был его главный пример синтетического априорного знания; не производные от органов чувств и не выводимые с помощью логики — наши знания о космосе были истиной, с которой мы родились. К несчастью для Канта, его концепция этой неизменно истинной геометрии была евклидовой. На богословие также повлиял переход от абсолютной истины к относительной истине в том, как математика соотносится с окружающим ее миром, что явилось результатом этого сдвига парадигмы.

Неевклидова геометрия является примером научная революция в истории науки, в ходе которой математики и ученые изменили свой взгляд на предметы. Некоторые геометры называли Лобачевского «Коперником Геометрией» из-за революционного характера его работы.

Существование неевклидовой геометрии повлияло на интеллектуальную жизнь Викторианская Англия во многих отношениях и, в частности, была одним из ведущих факторов, вызвавших пересмотр преподавания геометрии на основе Элементов Евклида. В то время этот вопрос об учебной программе горячо обсуждался и даже стал предметом книги Евклид и его современные соперники, написанной Чарльзом Латвиджем Доджсоном (1832–1898), более известным как Льюис Кэрролл, автор Алиса в стране чудес.

Список литературы

1. Лаптев Б.Л., Великий русский математик, «Вестник высшей школы», 1967, № 12 — с. 8-11;

2. Лобачевский Н.И., Сочинения по геометрии, М. — Л., 1946 — 49 (Полн. собр. соч., т. 1 — 3) — с. 59, 72-78 ;

3. Элементарное доказательство непротиворечивости планиметрии Лобачевского, М., 1956- с. 7-19;

4. Каган В.Ф. Геометрия Лобачевского и ее предистория, М. — Л., 1949 (Основания геометрии, ч. 1) — с. 142-158;

5. В.С. Антонов «Энциклопедия по истории России XIX века».

6. А.М. Прохоров «Энциклопедический словарь» — с. 163-167.

7. Лаптев В.И. Жизнь и деятельность Н.И. Лобачевского // Успехи математических наук. — М., 1951. — Т. 6. — № 3 (43). — с. 10-17.

Слайд 23Итак, плоскость Римана представлена евклидовой сферой. На сфере нет прямых линий,

но имеются так называемые большие окружности (рис. 5), т. е. окружности с центром в центре сферы, которые в качестве геодезических ее линий выполняют на сфере ту же роль, что и прямые на плоскости. Дуги больших окружностей дают кратчайшее расстояние между двумя точками сферы, через которые они проходят, подобно тому как отрезок прямой на плоскости представляет кратчайшее расстояние между двумя точками сферы, через которые они проходят, подобно тому как отрезок прямой на плоскости представляет кратчайшее расстояние между его концами; через две точки сферы проходит одна и только одна большая окружность, подобно тому как две точки плоскости определяют одну и только одну прямую; из дуг больших окружностей на сфере, как из отрезков прямых на плоскости, можно образовать сферические треугольники, четырехугольники, многоугольники.

Рис. 5

Модели неевклидовой геометрии

Двумерная евклидова геометрия моделируется нашим понятием «плоской плоскости «.

Эллиптическая геометрия

Простейшая модель для эллиптической геометрии — это сфера, где линии представляют собой «большие круги » (например, экватора или меридианов на глобусе ), а также точки, противоположные друг другу (называемые противоположными точками ), идентифицируются (считаются одинаковыми). Это также одна из стандартных моделей реальной проективной плоскости. Разница в том, что в качестве модели эллиптической геометрии вводится метрика, позволяющая измерять длины и углы, а в качестве модели проективной плоскости такой метрики нет.

В эллиптической модели для любой данной прямой l и точки A, которая не находится на l, все прямые, проходящие через A, будут пересекать l.

Гиперболическая геометрия

Даже после работ Лобачевского, Гаусса и Бойяи оставался вопрос: «Существует ли такая модель для гиперболической геометрии ?». Модель для гиперболической геометрии была предложена Эудженио Бельтрами в 1868 году, который впервые показал, что поверхность, называемая псевдосферой, имеет соответствующую кривизну для моделирования части гиперболического пространства и во второй статье того же года, определил модель Клейна, которая моделирует все гиперболическое пространство, и использовал это, чтобы показать, что евклидово геометрия и гиперболическая геометрия были равносогласованными, так что гиперболическая геометрия была логически согласованной тогда и только тогда, когда была евклидова геометрия. (Обратное утверждение следует из модели орисферы евклидовой геометрии.)

В гиперболической модели в двухмерной плоскости для любой данной прямой l и точки A, которая является не на l, существует бесконечно прямых, проходящих через A, которые не пересекают l.

В этих моделях концепции неевклидовой геометрии представлены евклидовыми объектами в евклидовой обстановке. Это приводит к искажению восприятия, при котором прямые линии неевклидовой геометрии представлены евклидовыми кривыми, которые визуально изгибаются. Этот «изгиб» не является свойством неевклидовых линий, а лишь искусственным способом их изображения.

Трехмерная неевклидова геометрия

В трех измерениях существует восемь моделей геометрии. Есть евклидова, эллиптическая и гиперболическая геометрии, как в двумерном случае; смешанная геометрия, частично евклидова, частично гиперболическая или сферическая; витые варианты смешанной геометрии; и одна необычная геометрия, которая полностью анизотропна (т.е. каждое направление ведет себя по-разному).

Заключение

Ум, смелость, сила воли, научная дерзость.

Но достаточно ли этих качеств, чтобы стать личностью? Думается, что нет.

18 лет Николай Иванович был ректором Казанского университета, проявив на этом посту выдающуюся энергию, административное умение и понимание задач воспитания юношества.

В своей речи «О важнейших предметах воспитания» он поставил университету высокую цель: «Не только обогатить ум познаниями, но и наставить в добродетелях, вдохнуть желание славы, чувство благородства, справедливости и чести».

Прекрасным словам соответствовала прекрасная жизнь, вся полная труда на пользу родного университета, на распространение просвещения, на развитие науки. Он выполнил свой долг перед страной и народом. Этому всему, вместе с законами и теориями, можно учиться у великого ученого, Н.И. Лобачевского, всей своей жизнью прославившего Россию.