Правильный многогранник

Подходы к определению

Период, термин многогранник В настоящее время это широкий термин, охватывающий широкий класс объектов, и в математической литературе появляются различные определения. Многие из этих определений не эквивалентны друг другу, в результате чего вызываются различные перекрывающиеся наборы объектов. многогранники. Они представляют разные подходы к обобщению выпуклые многогранники для включения других объектов с аналогичными свойствами.

Первоначальный подход широко использовался Людвиг Шлефли, Торольд Госсет и другие начинаются с расширения по аналогии на четыре или более измерений идеи многоугольника и многогранника соответственно в двух и трех измерениях.

Попытки обобщить Эйлерова характеристика многогранников в многомерные многогранники привели к развитию топология и лечение разложения или CW-комплекс как аналог многогранника. В этом подходе многогранник можно рассматривать как мозаика или разложение некоторых данных многообразие. Пример этого подхода определяет многогранник как набор точек, допускающий симплициальное разложение. В этом определении многогранник — это объединение конечного числа симплексы, с дополнительным свойством, что для любых двух симплексов, имеющих непустое пересечение, их пересечение является вершиной, ребром или гранью более высокого измерения. Однако это определение не позволяет звездные многогранники с внутренними структурами, и поэтому ограничивается определенными областями математики.

Открытие звездные многогранники и другие необычные конструкции привели к идее многогранника как ограничивающей поверхности, игнорируя его внутреннюю часть. В этом свете выпуклые многогранники в п-пространство эквивалентны мозаики (п−1) -сфера, в то время как другие могут быть плитками других эллиптический, квартира или тороидальный (п−1) -поверхности — см. эллиптическая мозаика и тороидальный многогранник. А многогранник понимается как поверхность, лица находятся полигоны, а 4-многогранник как гиперповерхность, грани которой (клетки ) являются многогранниками и т. д.

Идея построения более высокого многогранника из многогранников более низкой размерности также иногда расширяется вниз по размерности с помощью (край ) рассматривается как 1-многогранник ограничен парой точек, а точка или вершина как 0-многогранник. Такой подход используется, например, в теории абстрактные многогранники.

В некоторых областях математики термины «многогранник» и «многогранник» используются в другом смысле: многогранник является универсальным объектом в любом измерении (упоминается как многогранник в этой статье Википедии) и многогранник означает ограниченный многогранник. Эта терминология обычно ограничивается многогранниками и многогранниками, которые выпуклый. Согласно этой терминологии, выпуклый многогранник — это пересечение конечного числа полупространства и определяется своими сторонами, а выпуклый многогранник — это выпуклый корпус конечного числа точек и определяется своими вершинами.

Многогранники меньшего размера имеют стандартные названия:

Измерениемногогранника	Описание
−1	Нуллитоп
1	Дион
2	Многоугольник
3	Многогранник
4	Полихорон

Параллелоэдры

(выпуклые М., найденные Е. С. Фёдоровым, 1881) – М., рассматриваемые как тела, параллельными переносами которых можно заполнить всё бесконечное пространство так, чтобы они не входили друг в друга и не оставляли пустот между собой, т. е. образовать разбиение пространства. Таковы, напр., куб или правильная 6-угольная призма. Существует 5 топологически разл. сеток рёбер параллелоэдров (см. рис. 2, 26–30). Число их граней – 6, 8, 12, 12, 14. Для того чтобы М. был параллелоэдром, необходимо и достаточно, чтобы он был выпуклым М. одного из 5 указанных топологич. типов и чтобы все грани его имели центры симметрии.

Если параллелоэдры разбиения смежны целыми гранями, разбиение называется нормальным. Центры параллелоэдров такого разбиения образуют решётку, т. е. совокупность всех точек с целыми координатами относительно какой-то (вообще говоря, не прямоугольной) декартовой системы координат. Множество точек пространства, из которых каждая отстоит от некоторой данной точки $O$ рассматриваемой решётки Λ не дальше, чем от всякой др. точки этой решётки, называется областью Вороного $D_{OΛ}$ точки $O$ в решётке Λ. Область $D_{OΛ}$ является выпуклым М. с центром в точке $O$. Совокупность областей Вороного всех точек произвольной решётки образует нормальное разбиение пространства. Произвольное (даже $n$-мерное) нормальное разбиение на параллелоэдры, в каждой из вершин которого сходится $n+1$ параллелоэдр, может быть аффинным преобразованием превращено в разбиение Вороного для некоторой решётки.

Всякое движение, переводящее в себя решётку Λ и оставляющее на месте точку $O$, преобразует в себя область $D_{OΛ}$ и обратно. Существует 7 групп таких движений: кубическая, ромбоэдрическая, квадратная (или тетрагональная), ортогональная (или ромбическая), моноклинная, триклинная и гексагональная.

Геометрические свойства

Углы

С каждым правильным многогранником связаны определённые углы, характеризующие его свойства. Двугранный угол между смежными гранями правильного многогранника {p, q} задаётся формулой:

Иногда удобнее пользоваться выражением через тангенс:

где принимает значения 4, 6, 6, 10 и 10 для тетраэдра, куба, октаэдра, додекаэдра и икосаэдра соответственно.

Угловой дефект при вершине многогранника – это разность между 2π и суммой углов между рёбрами каждой грани при этой вершине.
Дефект при любой вершине правильного многогранника:

По теореме Декарта, он равен делённым на число вершин (т.е. суммарный дефект при всех вершинах равен ).

Трёхмерным аналогом плоского угла является телесный угол. Телесный угол Ω при вершине правильного многогранника выражается через двугранный угол между смежными гранями этого многогранника по формуле:

Телесный угол, стягиваемый гранью правильного многогранника, с вершиной в центре этого многогранника, равен телесному углу полной сферы ( стерадиан), делённому на число граней. Он также равен угловому дефекту дуального к данному многогранника.

Различные углы правильных многогранников приведены в следующей таблице. Числовые значения телесных углов даны в стерадианах.
Константа – золотое сечение.

Многогранник	Двугранный уголθ		Плоский угол между рёбрами при вершине
тетраэдр	70.53°		60°
куб	90°	1	90°
октаэдр	109.47°	√2	60°, 90°
додекаэдр	116.57°		108°
икосаэдр	138.19°		60°, 108°

Радиусы, площади и объёмы

С каждым правильным многогранником связаны три концентрические сферы:

Описанная сфера, проходящая через вершины многогранника;
Срединная сфера, касающаяся каждого его ребра в середине;
Вписанная сфера, касающаяся каждой его грани в её центре.

Радиусы описанной () и вписанной () сфер задаются формулами:

где θ — двугранный угол между смежными гранями многогранника. Радиус срединной сферы задаётся формулой:

где h — величина описанная выше, при определении двугранных углов (h = 4, 6, 6, 10 или 10). Отношения описанных радиусов к вписанным радиусам симметрично относительно p и q:

Площадь поверхности S правильного многогранника {p, q} вычисляется, как площадь правильного p-угольника, умноженная на число граней Г:

Объём правильного многогранника вычисляется, как умноженный на число граней объём , основанием которой служит правильный p-угольник, а высотой — радиус вписанной сферы r:

Приведённая таблица содержит список различных радиусов, площадей поверхностей и объёмов правильных многогранников. Значение длины ребра a в таблице приравнены к 2.

Многогранник(a = 2)	Радиус вписанной сферы (r)	Радиус срединной сферы (ρ)	Радиус описанной сферы (R)	Площадь поверхности (S)	Объём (V)
тетраэдр
куб
октаэдр
додекаэдр
икосаэдр

Константы φ и ξ задаются выражениями

Среди правильных многогранников как додекаэдр, так и икосаэдр представляют собой лучшее приближение к сфере. Икосаэдр имеет наибольшее число граней, наибольший двугранный угол и плотнее всего прижимается к своей вписанной сфере. С другой стороны, додекаэдр имеет наименьший угловой дефект, наибольший телесный угол при вершине и максимально заполняет свою описанную сферу.

Пирамида и ее величины

Пирамида представляет собой многогранник и многоугольник. Особенности фигуры:

Боковая поверхность равна сумме площадей граней;
Высота — перпендикуляр от основания к вершине;
Когда N — количество углов основания, пирамида называется N -угольной;
Формула объема многогранника: V = 1/3·S·h;
Формула площади всей поверхности: Sп = Sбоковых граней + Sоснования;
Все сечения, включая диагональные, являются треугольниками.

Если пирамиду разделяет плоскость, параллельная нижней, она делит ее на две части. Причем верхняя пропорционально равна главной фигуре. Когда основанием является квадрат, геометрическое тело называется правильным. Гранями ее считаются равнобедренные треугольники.

Существует также такое понятие, как усеченная пирамида. Она получается только из правильной фигуры, если провести плоскость на противоположную от основания сторону, и убрать верхнюю часть. У данного тела отсутствует вершина, поскольку фактически она является квадратом , а не единичной точкой. Это не единственное отличие. К примеру, формулы, справедливые для классического формата, в данном случае неприемлемы.

Правильные многогранники

Правильные многогранники — фигуры, грани которых представляют собой многоугольники с равными углами и сторонами. Также они называются Платоновыми телами. Всего существует 5 соответствующих тел, подробные характеристики которых представлены в таблице.

Название	Определение	Характеристики	Особенности
Тетраэдр	Геометрические тела, включающие в себя 4 грани (далее — Г ), все они являются правильными треугольниками	Есть 4 Г , 4 вершины (далее В), 6 ребер	Является разновидностью треугольной пирамиды с одинаковыми равными сторонами, центр симметрии отсутствует
Гексаэдр	Фигура, состоящая из 6 Г , каждая из которых является квадратом. Дословно с греческого переводится как «шестигранник»	Есть 6 Г , 8 В и 12 ребер	Является кубом с центром симметрии
Октаэдр	Многогранник с 8 Г , каждая из которых — правильный треугольник	Есть 8 Г , 6 В и 12 ребер	Является двумя правильными пирамидами, соединенных между собой через 4-угольное основание. Есть центр симметрии
Додекаэдр	Фигура с 12 Г , каждая из которых является правильным пятиугольником	Есть 12 Г , 20 В и 30 ребер	Имеет центр симметрии, 15 осей и плоскостей
Икосаэдр	Фигура с 12 Г , являющимися правильными треугольниками	Есть 20 Г , 12 В и 30 ребер	Есть центр симметрии, 15 осей и плоскостей

Правильные многогранники изучались древними греками. Однако первые модели в орнаменте и по отдельности появились намного раньше. Например, археологами были найдены вырезанные каменные шары в Шотландии, которые датируются поздним неолитом (соответственно, за 1000 лет до жизни и деятельности Платона).

Слайд 12Изгибаемые многогранникиМногогранник (точнее — многогранная поверхность) называется изгибаемым, если его пространственную форму можно изменить

такой непрерывной во времени деформацией, при которой каждая грань не изменяет своих размеров (то есть движется как твёрдое тело), а деформация осуществляется только за счёт непрерывного изменения двугранных углов. Такая деформация называется непрерывным изгибанием многогранника.Свойства и примерыВ теории изгибаемых многогранников известно немало красивых и нетривиальных утверждений. Ниже приведены наиболее важные из установленных на сегодня фактов, придерживаясь хронологического порядка:Никакой выпуклый многогранник не может быть изгибаемым. Это немедленно вытекает из теоремы Коши об однозначной определённости выпуклого многогранника, доказанной в 1813 году.Первые примеры изгибаемых многогранников были построены бельгийским инженером и математиком Раулем Брикаром в 1897 году. Сейчас их называют октаэдрами Брикара. Они не только невыпуклые, но и имеют самопересечения, что не позволяет построить их движущуюся картонную модель.В 1976 году американский математик Роберт Коннелли впервые построил изгибаемый многогранник без самопересечений.Из всех известных на сегодняшний день изгибаемых многогранников без самопересечений наименьшее число вершин (девять) имеет многогранник, построенный немецким математиком Клаусом Штеффеном (нем. Klaus Steffen).Известны примеры изгибаемых многогранников, являющихся реализациями тора или бутылки Клейна или вообще двумерной поверхности любого топологического рода.Теорема Сабитова: Любой изгибаемый многогранник в процессе изгибания сохраняет свой объём, то есть он будет изгибаться даже если его заполнить несжимаемой жидкостью.

Некоторые примеры многогранников в изобразительном искусстве и архитектуре

Марафон, скульптура Хенка Виша

Пирамиды Гизы
Правильные многогранники, нарисованные Леонардо да Винчи для иллюстрации Божественной пропорции, Лука Пачоли
Портрет Луки Пачоли, работы Якопо де Барбари, 1495 г.
Melencolia я от Альбрехта Дюрера, 1514. восьмигранный полиэдр показано. Следует отметить, что Альбрехт Дюрер и Якопо де Барбари знали друг друга.
«Кубики» Альберто Джакометти, 1934 г., относящиеся к многограннику Дюрера.
Звезды Маурица Корнелиса Эшера, 1948 год.
Многие картины и скульптуры Сола Левитта изображают многогранники.
Тони Смит, другой художник-минималист, использовал эти геометрические формы, например, Wandering Rocks, Milwaukee, 1967.
Le Kinémax du Futuroscope, 1987, Дени Лэминг
Пирамида Лувра, 1988, Ieoh Ming Pei
Серия «Меланхолия» Ансельма Кифера начинается в 1988 году и относится к Дюреру.
Марафон Хенка Виша, Роттердам, 2001. Неправильный цветной многогранник.
Неоконсорциум назвал неправильные многогранники Moduloform
Доки — Cité de la Mode et du Design, Париж, 2008 г., кабинет Jacob + Mac Farlane
La Caverne du Pont-d’Arc, 2015, Валлон-Пон-д’Арк, кабинет Fabre / Speller

Теорема Эйлера

У каждого многогранника можно подсчитать количество граней, вершин и ребер. Например, у тетраэдра 4 грани, 4 вершины и 6 ребер. В свою очередь у параллелепипеда уже 6 граней, 8 вершин и 12 граней. Есть ли какая-то взаимосвязь между этими числами?

Можно заметить, что если у тетраэдра сложить число вершин и граней, а далее вычесть из суммы количество ребер, то получится число 2:

4 + 4 — 6 = 2

Если выполнить такие же действия для параллелепипеда, то снова получится двойка:

6 + 8 — 12 = 2

Оказывается, это не просто совпадение. Для любого выпуклого многогранника справедлива теорема Эйлера:

Мы не будем доказывать эту теорему, так как ее доказательство достаточно сложное. Отдельно отметим, что для невыпуклых многогранников эта теорема может и не выполняться.

Задание. Известно, что некоторый выпуклый многогранник состоит из 20 граней и имеет 30 ребер. Сколько у него вершин?

Решение. Запишем теорему Эйлера:

Задание. Поверхность выпуклого многогранника составлена из 12 пятиугольников. Сколько у такого многогранника ребер и вершин?

Решение. У многогранника будет ровно 12 граней. Попробуем подсчитать количество ребер. Так как каждая представляет собой пятиугольник, то все вместе они имеют 12•5 = 60 ребер. Однако при этом мы каждое ребро подсчитали дважды, ведь любое ребро принадлежит строго 2 граням. То есть на самом деле есть только 60:2 = 30 ребер. По теореме Эйлера легко подсчитаем и количество вершин:

Задание. Выпуклый многогранник имеет 8 граней, из них 4 – это четырехугольники, а ещё 4 – пятиугольники. Сколько у него ребер и вершин?

Решение. Как и в предыдущей задаче, снова сложим количество сторон всех граней:

Задание. Существует ли выпуклый многогранник, каждая грань которого является шестиугольником?

Предположим, что такой многогранник существует, и у него Г граней. Тогда его грани имеют в сумме 6Г сторон. Но каждая из этих сторон будет ребром ровно для 2 граней, поэтому всего будет 3Г ребер:

Теперь вспомним, что в каждой вершине сходятся не менее трех ребер. Значит, если мы посчитаем все ребра, выходящие из каждого ребра, то получим величину, не меньшую 3В. Но, так как каждое ребро проходит строго через 2 вершины, мы снова подсчитали ребра дважды. То есть количество ребер будет не меньше 3/2В, или 1,5В:

Это неравенство противоречит полученному ранее равенству Р = 3Г. Противоречие показывает, что на самом деле не может существовать выпуклый многогранник, каждая грань которого – шестиугольник, ч. т. д.

Примечание. Аналогично можно продемонстрировать, что не может существовать и выпуклый многогранник, поверхность которого состоит из многоуг-ков, каждый из которых имеет не менее 6 сторон. Другими словами, любой выпуклый многогранник имеет хотя бы одну грань, которая является треугольником, четырехугольником или пятиугольником.

Примечания и ссылки

(fr) Эта статья частично или полностью взята из статьи в Википедии на английском языке под названием .

Французский пишет многогранник, а английский — многогранник . В древнегреческом языке устремление записывается в корне ἕδρα ( хедра ), но не может быть записано в составном слове πολύεδρον ( многогранник ).
В замечании, которое часто цитируется, но редко применяется, заметил, что:. См. Также .
греческих префиксов, используемых для именования многоугольников. Достаточно заменить -gone на -èdre.
(in) Эрик В. , на MathWorld .
Например, см. (В) HSM Coxeter, Regular polytopes Complex, CUP, 1974.
Например, см. ( In ) Питер Пирс (in), Структура в природе — это стратегия дизайна, Массачусетский технологический институт, 1978 года в Google Книгах .

Важные классы многогранников

Выпуклые многогранники

Многогранник может быть выпуклым. Выпуклые многогранники являются простейшими разновидностями многогранников и служат основой для нескольких различных обобщений концепции многогранников. Выпуклый многогранник иногда определяют как пересечение набора полупространств. Это определение не позволяет многограннику быть ни ограниченным, ни конечным. Многогранники определяются таким образом, например, в линейном программировании. Многогранник называется ограниченным, если его содержит шар конечного радиуса. Многогранник называется точечным, если он содержит хотя бы одну вершину. Каждый ограниченный непустой многогранник является точечным. Примером многогранника без точек является множество {(x, y) ∈ R 2 ∣ x ≥ 0} {\ displaystyle \ {(x, y) \ in \ mathbb {R} ^ {2} \ середина x \ geq 0 \}}. Многогранник конечен, если он определен в терминах конечного числа объектов, например, как пересечение конечного числа полуплоскостей. Это целочисленный многогранник , если все его вершины имеют целочисленные координаты.

Определенный класс выпуклых многогранников являются рефлексивными многогранниками. Интеграл d {\ displaystyle d}-polytope P {\ displaystyle {\ mathcal {P}}}является рефлексивным, если для некоторой интегральной матрицы A {\ displaystyle \ mathbf {A}}, P = {x ∈ R d: A x ≤ 1} {\ displaystyle {\ mathcal {P}} = \ {\ mathbf {x} \ in \ mathbb {R} ^ {d}: \ mathbf {Ax} \ leq \ mathbf {1} \}}, где 1 {\ displaystyle \ mathbf {1}}обозначает вектор всех единиц, а неравенство покомпонентное. Из этого определения следует, что P {\ displaystyle {\ mathcal {P}}}рефлексивно тогда и только тогда, когда (t + 1) P ∘ ∩ Z d = t P ∩ Z d {\ displaystyle (т + 1) {\ mathcal {P}} ^ {\ circ} \ cap \ mathbb {Z} ^ {d} = t {\ mathcal {P}} \ cap \ mathbb {Z} ^ {d}}для всех t ∈ Z ≥ 0 {\ displaystyle t \ in \ mathbb {Z} _ {\ geq 0}}. Другими словами, a (t + 1) {\ displaystyle (t + 1)}-dilate of P {\ displaystyle {\ mathcal {P}}}отличается с точки зрения целочисленных точек решетки от t {\ displaystyle t}-dilate of P {\ displaystyle {\ mathcal {P}}}только узлами решетки, полученными на границе. Эквивалентно, P {\ displaystyle {\ mathcal {P}}}рефлексивен тогда и только тогда, когда его двойственный многогранник P ∗ {\ displaystyle {\ mathcal { P}} ^ {*}}- целочисленный многогранник.

Правильные многогранники

Правильные многогранники имеют наивысшую степень симметрии из всех многогранников. Группа симметрии правильного многогранника транзитивно действует на его flags ; следовательно, двойственный многогранник регулярного многогранника также является правильным.

Существует три основных класса правильных многогранников, которые встречаются в любом количестве измерений:

Симплексы, включая равносторонний треугольник и правильный тетраэдр.
Гиперкубы или многогранники измерения, включая квадрат и куб.
Ортоплексы или кросс-многогранники, включая квадрат и правильный октаэдр.

Измерения два, три и четыре включают правильные фигуры, которые имеют пятикратную симметрию, некоторые из которых являются невыпуклыми звездами, а в двух измерениях существует бесконечно много правильных многоугольников n-кратной симметрии, как выпуклых, так и выпуклых. (для n ≥ 5) звезда. Но в более высоких измерениях нет других правильных многогранников.

В трех измерениях выпуклые Платоновы тела включают пятисимметричный додекаэдр и икосаэдр, а также четыре звездных многогранника Кеплера-Пуансо с пятикратной симметрией, в результате чего общее количество правильных многогранников составляет девять.

В четырех измерениях правильные 4-многогранники включают одно дополнительное выпуклое тело с четырехкратной симметрией и два с пятисторонней симметрией. Существует десять звездных 4-многогранников Шлефли-Гесса, все из которых имеют пятикратную симметрию, что дает всего шестнадцать правильных 4-многогранников.

Звездные многогранники

Невыпуклый многогранник может быть самопересекающимся; к этому классу многогранников относятся звездные многогранники. Некоторые правильные многогранники являются звездами.

Слайд 8Радиусы, площади и объёмыС каждым правильным многогранником связаны три концентрические сферы:Описанная

сфера, проходящая через вершины многогранника;Срединная сфера, касающаяся каждого его ребра в середине;Вписанная сфера, касающаяся каждой его грани в её центре.Радиусы описанной (R) и вписанной (r) сфер задаются формулами:

где θ — двугранный угол между смежными гранями многогранника. Радиус срединной сферы задаётся формулой:

Объём правильного многогранника вычисляется, как умноженный на число граней объём правильной пирамиды, основанием которой служит правильный p-угольник, а высотой — радиус вписанной сферы r:

Константы φ и ξ задаются выражениями

Приложения

В области оптимизация, линейное программирование изучает максимумы и минимумы из линейный функции; эти максимумы и минимумы возникают на граница из п-мерный многогранник. В линейном программировании многогранники возникают при использовании обобщенные барицентрические координаты и слабые переменные.

В твисторная теория, филиал теоретическая физика, многогранник, называемый амплитуэдр используется для расчета амплитуд рассеяния субатомных частиц при их столкновении. Эта конструкция является чисто теоретической и не имеет известных физических проявлений, но, как утверждается, значительно упрощает определенные вычисления.

Понятие многогранника

Ранее мы уже познакомились с тетраэдром и параллелепипедом. Поверхность тетраэдра состоит из 4 треугольников, а параллелепипеда – из 6 параллелограммов. Они являются частными случаями такой фигуры, как многогранник.

Надо понимать, что под многогранником понимают одновременно как поверхность, составленную из многоуг-ков, так и тот объем, который эта поверхность ограничивает. Иногда, чтобы отличать два этих понятия, используют термин «поверхность многогранника».

Каждый многоугольник, образующий поверхность многогранника, именуется гранью многогранника. При этом предполагается, что любые две соседние грани находятся в разных плос-тях.

Многоугольники, образующие поверхность многогранника, имеют свои стороны,которые именуют ребрами многогранника. Вершины же этих многоуг-ков именуют вершинами многогранников. Можно утверждать, что ребра – это отрезки, по которым пересекаются соседние грани. В свою очередь вершины – это точки, где пересекаются соседние ребра. Отрезок, соединяющий две вершины, которые не принадлежат одной грани, именуется диагональю многогранника

Важно отметить, что каждое ребро принадлежит ровно 2 граням. Вершина принадлежит как минимум трем граням, однако может принадлежать и большему их числу

Если все точки многогранника находятся по одну сторону от любой плос-ти, проходящей через какую-либо грань многогранника, то он называется выпуклым. В противном случае, если через одну из граней проходит плос-ть, «разрезающая» многогранник на две других фигуры, многогранник именуют невыпуклым. На бытовом уровне это означает, что выпуклый многогранник можно поставить на ровную поверхность (например, стол) на любую грань. А вот у невыпуклого многогранника найдется такая грань, на которую его поставить нельзя. Покажем несколько примеров:

На рисунке у невыпуклых многогранников красным цветом показаны плос-ти, которые рассекают многогранник. На эти грани не получится «поставить» многогранник – будет мешать выступающая часть. Заметим, что в выпуклом многограннике всякая диагональ лежит внутри фигуры. А вот у невыпуклого многогранника можно соединить вершины отрезком, лежащим вне объема фигуры. Добавим, что у выпуклого многогранника каждая грань обязательно является выпуклым многоугольником.