Конец жизни
Широкое признание научных достижений Вольтерры выразилось в избрании его членом большинства АН мира, в том числе итальянской Национальной академии деи Линчеи (несколько лет он был ее президентом), Папской АН, Лондонского Королевского общества, Института Франции, Петербургской АН (с 13 декабря 1908 года), АН СССР (с 2 января 1926 года) и многих других.
В 1938 Вольтерра была присуждена учёная степень шотландского университета в Сент-Эндрюсе, но на торжественной церемонии по этому случаю учёный не смог присутствовать из-за плохого самочувствия. Вито Вольтерра скончался 11 октября 1940 года в Риме.
биография
Молодость
Вольтерра родился в бедной семье еврейской общины Анконы (в то время присоединенной к Папской области ). Его отец, продавец тряпок, умер, когда ему было всего 2 года. Он и его мать, которые затем погрузились в бедность, переехали жить к своему дяде. Впоследствии они некоторое время жили в Турине, затем поселились во Флоренции, когда Вито был еще совсем молод.
С 11 лет начал изучать математику . Он изучает « Геометрия » в Лежандра и арифметике в Бертрана . В 13 лет, прочитав итальянский перевод ( Dalla Terra alla Luna, 1865) романа Жюля Верна « С Земли на Луну » Дж. Пиццигони, он попытался вычислить траекторию полета баллистического снаряда с Земли. на Луну с учетом гравитационных полей Земли и Луны. Для этого он разрезает путь на множество очень коротких интервалов времени, в течение которых он считает несколько параметров постоянными. Это первые начала разработки интегро-дифференциальных уравнений . В этом смысле чтение романа Жюля Верна способствовало призванию молодого Вито Вольтерры.
Вито Вольтерра увлечен математикой, но его очень бедная семья хочет, чтобы он открыл свой бизнес. Чтобы убедить его, они связали его с двоюродным братом, инженером-строителем с докторской степенью математики, Эдоардо Альмагиа. Последний, видя впечатляющий талант юного Вито, вместо этого решает вдохновить его на путь математики и убеждает его семью отпустить его. Чтобы облегчить проблемы денежного аспекта, он предлагает Вито с помощью Антонио Роити (it) работу ассистента в лаборатории физики Университета Флоренции . Он выполняет эту работу, продолжая свою обычную учебу. Он еще не поступил в университет.
Вито Вольтерра около 1890 года.
Академический
После учебы во Флоренции он поступил в Пизанский университет в 1878 году. Он получил докторскую степень по физике в 1882 году, которую получил под руководством Энрико Бетти . Его диссертация была посвящена гидродинамике и позволила заново открыть некоторые результаты Стокса . В 1883 году он был назначен профессором рациональной механики в Пизанском университете .
С этого времени его интересовали функциональные уравнения, в частности, интегро-дифференциальные операторы. Предшественник Фреше и Банаха, он считается одним из основоположников функционального анализа .
Когда Бетти умер в 1883 году, он стал профессором математической физики еще в Пизе. Затем он занимал кафедру механики в Турине, а в 1900 году был назначен на кафедру математической физики в Сапиенце .
Во время объединения Италии он был горячим патриотом и был назначен сенатором итальянского королевства в 1905 году. В то же время его интересовали явления дислокации в кристаллах .
Военные исследования
В 1914 году, когда Италия провозгласила себя нейтральной в начале Первой мировой войны, он активно выступал за принятие обязательств вместе с силами Тройственной Антанты . Когда Италия, наконец, вступает в конфликт, он присоединяется к итальянским военно-воздушным силам в составе инженерного корпуса и работает над технологическим совершенствованием ведения воздушной войны. Вместе с генералом Дуэ он работает над созданием дирижаблей, изучает возможности вооружения летательных аппаратов и замены легковоспламеняющегося водорода гелием . Также он работает над улучшением моделей самолетов.
Антифашистский активист
После войны, примерно в 1925 году, он обратился к применению математики в биологии и, в частности, к динамике населения . Он стоит у истоков модели хищника и жертвы благодаря своему будущему зятю Умберто д’Анкона, экологу, который изучал статистику рыболовства и попросил своего тестя математически смоделировать эту динамику популяций рыб в Адриатике. .
В 1922 году он выступал против фашистского режима в Бенито Муссолини . Он является одним из подписантов Манифеста антифашистской интеллигенции 1925 года. В 1931 году он отказывается подписать присягу на верность, а затем должен уйти со своей университетской должности и уехать за границу. У него были отозваны все его привилегии и признания в итальянских университетах (1931) и в Accademia dei Lincei . Он вернулся в Рим незадолго до своей смерти в 1940 году.
Я догоняю, ты убегаешь
Что такое модель Лотки-Вольтерры и как она помогает биологам
Могут ли сложные математические инструменты применяться в биологии? Могут, если биологи изучают сложные динамические системы, например взаимодействие разных видов животных в естественной среде. Американец Альфред Лотка и итальянец Вито Вольтерра разработали модель, позволяющую описывать, как будет меняться поголовье хищников и их травоядных жертв в зависимости от множества привходящих условий. Это наш второй материал о самых интересных дифференциальных уравнениях (с первым можно ознакомиться здесь). Если вы читаете нас с телефона, переключайте страницу на десктопную версию, так вы сможете увидеть интерактивный график целиком.
Изначально Альфред Лотка вообще не планировал создавать никаких математических моделей. Он собирался разработать новую предметную область — «физическую биологию» — и поэтому начиная с 1902 года стал публиковать небольшие статьи, посвященные этой теме.
Параллельно с этим его все более интересовало применение математических методов в биологии. Идеи Лотки, однако, не получили широкого распространения — в то время американский ученый не имел широких связей в научной среде и работал в одиночестве.
Ситуация изменилась в 1920 году, когда статьи Лотки привлекли внимание биолога и статистика Раймонда Пирла, который нашел в них близкие для себя идеи: Пирл интересовался ростом популяции в пределах одного вида. Лотка написал еще одну статью, и Пирл помог продвинуть ее в Proceedings of the National Academy of Sciences (ведущий американский журнал для публикации оригинальных научных исследований в различных областях)
В этой статье Лотка в качестве примера описал взаимодействие растения и травоядного и пришел к неожиданному для него результату: их взаимодействие приведет к бесконечному циклическому колебанию в двух популяциях!
Лотка написал еще одну статью, и Пирл помог продвинуть ее в Proceedings of the National Academy of Sciences (ведущий американский журнал для публикации оригинальных научных исследований в различных областях). В этой статье Лотка в качестве примера описал взаимодействие растения и травоядного и пришел к неожиданному для него результату: их взаимодействие приведет к бесконечному циклическому колебанию в двух популяциях!
Позже Лотка расширил это наблюдение до общего случая взаимодействия типа «хищник-жертва».
Итальянский ученый Вито Вольтерра, как и Альфред Лотка, пришел к этой модели со стороны точных наук. Он с раннего детства питал тягу к математике и занимался ею всю свою жизнь, и уже в 1900-е годы заинтересовался возможностью использовать математику в биологии и общественных науках.
После окончания Первой мировой войны Вольтерра погрузился в биологию и, сам того не зная, пришел к выводам, схожим с выводами Альфреда Лотки, сделанными ранее
Однако именно работы Вольтерры привлекли внимание математического сообщества
В итоге Вольтерра, чья статья вышла в 1926 году, признал приоритет Лотки. Но чтобы его собственные работы не выглядели бессмысленными, Вольтерра отметил, что рассмотрел ситуацию в более общем случае: вывел уравнения, которые описывают взаимодействие более чем двух видов и учитывают их контакт в прошлом.
Модель Лотки-Вольтерры
Система Лотки-Вольтерры является первоначальной и простейшей системой (усложненные системы будут рассмотрены ниже) для описания модели «хищник-жертва», то есть популяции хищников и популяции жертв, взаимодействующих в какой-то среде: жертвы едят растительность, хищники — жертв:
Биография
Вито Вольтерра родился 3 мая 1860 года в Анконе в старинной, но бедной еврейской семье, рос и воспитывался во Флоренции. Интерес к математике начал проявляться в нем довольно рано, в возрасте 11 лет.
Под впечатлением от романа Жюля Верна «Путешествие на Луну» он занялся расчетами траектории снаряда в атмосфере. Также он начал изучать геометрию Лежандра. В возрасте 13 лет он начал заниматься трехмерными задачами и добился некоторых успехов в разбиении времени на маленькие интервалы, на которых он мог рассматривать силовую константу.
Его отец умер, когда Вито была 2 года. Но это не помешало ему посещать лекции в Флорентийском университете. В 1878 г. поступил в университет города Пиза и, окончив его в 1882 г. со степенью доктора физики, получил в 1883 г. место полного профессора. В 1893 г. перешел в Туринский университет, а с 1900 г. стал профессором и заведующим кафедрой математической физики в Римском университете.
Как добраться
На автобусах CPT buses можно добраться до окрестного городка Saline (9 км к юго-востоку, 20 минут), где находится ближайшая к Вольтерре ж.д. станция. Оттуда же можно сесть на автобус до Пизы (в пути 2 часа) и Cecina, до которых также ходят и поезда.
Чтобы добраться до Сан-Джиминяьно (в пути 1,5 часа), Сиены (1,5 часа) и Флоренции (2,5 часа) придется сделать пересадку в Colle di Val d’Elsa (до которой всего 50 минут и примерно 3 EUR).
Путешественникам с собственным авто, стоит иметь в виду, что парковка и езда внутри городских стен — дело опасное, так как там много участков, где проезд разрешен только местным (следят по видео-камерам за номерами, после чего присылают штраф). За пределами стен парковку найти легко, она бесплатна, большая подземная на 4 этажа стоянка есть на Piazza Martiri della Libertà, которая также является и автостанций.
Уравнения Лотки-Вольтерры
Уравнения Лотки — Вольтерры или уравнения хищник — жертва — система двух обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, описывающей кинетику численности популяции с одним типом хищников и одним типом жертв. Характерной особенностью ривннянь является то, что их решением является автоколебания. Уравнение предложили независимо Альфред Джеймс Лотка и Вито Вольтерра, в 1925 и 1926 годах, соответственно.
Уравнения имеют вид
где x — количество жертв, например, зайцев, y — количество хищников, например, волков, — определенные параметры.
В уравнение входят следующие процессы: размножение жертв и их гибель в результате поедания хищниками, размножения и вымирания хищников. Считается, что размножение хищников пропорционально количеству пищи, то есть, количества потенциальных жертв в популяции.
Детство и юность
Франсуа-Мари Аруэ (имя философа при рождении) родился 21 ноября 1694 года в городе любви – Париже. Младенец был настолько хил и слаб, что сразу же после рождения родители послали за священником. К сожалению, Мари Маргерит Домар, мать Вольтера, умерла, когда мальчику было семь лет. Поэтому будущий властитель дум Западной Европы рос и воспитывался с отцом, который пребывал на чиновничьей службе.
Памятник Вольтеру
Не сказать, что отношения маленького Франсуа и его родителя были дружественными, поэтому неудивительно, что уже в зрелом возрасте Аруэ объявил себя незаконнорожденным отпрыском шевалье де Рошбрюна – нищего поэта и мушкетера. Франсуа Аруэ-старший отдал свое чадо в иезуитский коллеж, который ныне носит название лицея Людовика Великого.
В этом колледже Вольтер обучался «латыни и всяким глупостям», потому что юноша хоть и получил серьезную литературную подготовку, но на всю жизнь возненавидел фанатичность местных отцов-иезуитов, которые ставили религиозные догмы превыше человеческой жизни.
Дом Вольтера
Отец Вольтера хотел, чтобы сын пошел по его стопам и стал нотариусом, поэтому Франсуа был быстро пристроен в адвокатскую контору. Вскоре молодой человек понял, что юридическая наука, которой благоволит древнегреческая богиня Фемида, не его стезя. Поэтому, чтобы разбавить зеленую тоску яркими красками, Вольтер взялся за чернильницу и перо не для переписи документов, а для сочинения сатирических рассказов.
История
Вольтерра является одним из древнейших городов Италии. Город здесь был основан уже в 4 веке до н.э. в результате слияния нескольких небольших этрусских поселений, существовавших ещё в 7 столетии до н.э. Вольтерра считается одним из старейших и крупнейших городов древней Этрурии (союза двенадцати этрусских городов)
Позже город был завоёван римлянами и на протяжении дальнейшей античной истории являлся важной крепостью.
Улочки Вольтерры
В раннем Средневековье здесь было основано епископство. Епископы правили Вольтеррой до 12 века. Затем город был центром независимой республики, подчиненной в 14 веке Флоренцией.
Достопримечательности
Исторический центр Вольтерры является одним из самых интересных и красивых во всей Тоскане, причудливо смешивая достопримечательности этрусского, римского и средневекового прошлого.
Порта дель Арко
Старый город Вольтерры почти полностью окружен средневековой стеной 13 века, построенной на фундаменте древних этрусских укреплений, фрагменты которых можно увидеть до сих пор. До наших дней сохранилось шесть древних ворот.
Порта дель Арко — самые старые городские ворота и один из древнейших памятников Вольтерры. Ворота были построены между 5 и 4 веками до н.э. этрусками и перестроены в римские времена, хотя каменная кладка окружающих стен является средневековой. Арку украшают каменные головы, значение которых неизвестно.
Первые укрепления были построены этрусками примерно в 4 веке до н.э. и затем постоянно перестраивались вплоть до 13 столетия. Древние стены, окружавшие город, имели протяжённость около 7 км, охватывая территорию площадью 102 гектара, в то время как существующая средневековая стена имеет протяжённость всего 2,6 км, охватывая территорию площадью 26 гектаров.
Римский театр
Римский театр — грандиозный античный памятник, расположенный к северу от ворот Сан-Франческо и построенный в эпоху правления императора Августа. Является одним из самых хорошо сохранившихся римских театров на территории Италии. Это сооружение, когда-то вмещавшее около 2000 зрителей, включает 19 ярусов сидений, встроенных в естественный склон. За театром расположены остатки римских терм 3 — 4 века н.э. и римского форума. Эти древние руины были открыты только в 1951 году.
Этрусский музей Гуарначчи был основан в 1761 году и является одним из старейших музеев Европы. В нем представлены великолепные древние артефакты: погребальные урны, изделия из керамики и бронзы.
Дуомо
Дуомо (Санта-Мария-Ассунта) — внушительный романский собор, основанный в 9 веке. Текущий вид церковь приобрела в 12 — 13 столетии. Интерьер церкви был реконструирован в 16 веке, поэтому в нём преобладает ренессансный стиль. Внутри можно посмотреть на красивые фрески, картины и драгоценные работы из мрамора и алебастра.
Баптистерий
Напротив собора расположен красивый баптистерий 13 века в стиле раннего Возрождения с интересным фасадом, отделанным белым и зелёным мрамором.
Палаццо деи Приори
Палаццо деи Приори — красивая готическая ратуша, которая расположена на центральной площади Вольтерры. Это здание считается одним из самых старых и красивых общественных дворцов в Тоскане и построено между 1208 и 1254 годами. По обе стороны фасада установлены колонны с геральдическими символами Флоренции. Напротив расположен ещё один средневековый внушительный дворец — палаццо Преторио 13 века. Этот дворец является результатом объединения нескольких старинных зданий.
Сан-Микеле Арканджело
Сан-Микеле Арканджело — романская церковь, упоминаемая уже в 10 веке. Текущее здание датируется 13 столетием и имеет интересный фасад, украшенный серией арок и двухцветными полосами мрамора. Интерьер церкви претерпел глубокие изменения в 19 веке и выполнен преимущественно в неоклассическом стиле.
Крепость Медичи
Крепость Медичи была построена в 13 веке на самой высокой точкой города. Это мощное фортификационное сооружение с стенами и башнями, которое является одним из символов городского пейзажа. Крепость была модернизирована в 15 веке, а сейчас в её стенах располагается тюрьма.
Порта Селчи
Порта Селчи — арочные ворота с массивной башней, которые в древности являлись частью этрусской стены, хотя нынешняя конструкция датируется 16 веком.
Церковь Сан-Франческо
Церковь Сан-Франческо была построена в 13 веке францисканцами в романском стиле и имеет красивый интерьер в стиле барокко, украшенный примечательными произведениями искусства. Её главной достопримечательностью является небольшая часовня делла Кроче ди Джорно, украшенная великолепным циклом фресок начала 15 века.
Биография
Два звездочета сказали Вольтеру, что тот проживет до 33-х лет. Но великому мыслителю удалось обмануть саму смерть, он чудом остался в живых из-за несостоявшейся дуэли с неким дворянином из рода де Роган. Биография французского философа полна как взлетов, так и падений, но, тем не менее, его имя стало бессмертным на века.
Вольтер, уехавший в Англию писателем и вернувшийся мудрецом, сделал неоспоримый вклад в особую форму познания мира, его имя стоит в одном ряду с Дени Дидро и Жан-Жаком Руссо. Писателю, в жилах которого не было ни капли дворянской крови, благоволили великие правители — российская императрица Екатерина II, король Пруссии Фридрих «Старый Фриц» II и владелец швейцарской короны Гюстав III.
Мыслитель оставил потомкам повести, поэмы, трагедии, а его книги «Кандид, или оптимизм» и «Задиг, или Судьба» разошлись на цитаты и крылатые выражения.
Философия
Случилось так, что Вольтер вновь вернулся в холодные стены Бастилии. В 1725–1726 году между литератором и шевалье де Роганом произошел конфликт: провокатор позволил себе публично высмеять Франсуа-Мари Аруэ, который под псевдонимом Вольтер якобы пытался скрыть свое недворянское происхождение. Так как автор трагедий за словом в карман не полезет, он позволил заявить обидчику:
За эти дерзкие слова француз поплатился в буквальном смысле — он был избит лакеем де Рогана. Таким образом, писатель почувствовал на собственном опыте, что такое предвзятость, стал ярым защитником справедливости и социальных реформ. Выйдя из зоны отчуждения, ненужный на родине Вольтер по приказу короля был изгнан в Англию.
Примечательно, что государственное устройство Соединенного Королевства, которое в корне отличалось от консервативной монархической Франции, поразило его до кончиков пальцев. Полезным было и знакомство с английскими мыслителями, которые в один голос утверждали, что человек может обращаться к Богу, не прибегая к помощи церкви.
Портрет Вольтера
Свои впечатления о путешествии по островному государству французский мыслитель изложил в трактате «Философские письма», пропагандируя в нем учения Джона Локка и отрицая материалистическую философию. Основными идеями «Философских писем» были равенство, уважение к собственности, безопасность и свобода. Также Вольтер колебался в вопросе насчет бессмертия души, он не отрицал, но и не утверждал тот факт, что существует жизнь после смерти.
А вот в вопросе о свободе человеческой воли Вольтер переходил от индетерминизма к детерминизму. Людовик XV, узнав о трактате, приказал сжечь труд Вольтера, а самого автора непарадного произведения отправить в Бастилию. Чтобы избежать третьего заключения в камере, Франсуа-Мари Аруэ отправился в Шампань, к своей возлюбленной.
Эксцентричный Вольтер диктует письмо
Вольтер, сторонник неравенства и рьяный противник абсолютизма, критиковал устройство церкви в пух и прах, однако он не поддерживал атеизм. Француз был деистом, то есть признавал существование Творца, но отрицал религиозный догматизм и сверхъестественные явления. Но в 60–70-е годы Вольтером овладели скептические мысли. Когда современники спросили просветителя, существует ли «высшая инстанция», он ответил:
Хотя Вольтер, вопреки желанию отца, так и не стал адвокатом, в дальнейшем философ занимался и правозащитной деятельностью. В 1762 году автор «Кандида» участвовал в петиции по отмене смертного приговора торговцу Жану Каласу, который стал жертвой предвзятого суда из-за иной конфессии. Калас олицетворял христианскую ксенофобию во Франции: он был протестантом, тогда как другие исповедовали католицизм.
Философ Вольтер
Причина, по которой Жан в 1762 году был казнен через колесование, – самоубийство его сына. В то время человек, собственноручно сводивший счеты с жизнью, считался преступником, из-за чего его тело публично таскали на веревках и вешали на площади. Поэтому семья Каласа представила самоубийство отпрыска как убийство, и суд посчитал, что Жан умертвил молодого человека, потому что тот принял католицизм. Благодаря Вольтеру через три года Жан Калас был реабилитирован.
Личная жизнь
В свободное от сочинения трактатов и философских дум время Вольтер играл в шахматы. На протяжении 17 лет соперником француза был иезуит отец Адам, который жил в доме Франсуа-Мари Аруэ.
Возлюбленной, а также музой и вдохновительницей Вольтера была маркиза дю Шатле, страстно любившая математику и физику. Этой барышне даже доводилось переводить фундаментальный труд Исаака Ньютона в 1745 году.
Эмили была замужней женщиной, но считала, что все обязанности перед мужчиной должны быть выполнены только после рождения детей. Поэтому барышня, не преступая рамок приличия, окуналась в мимолетные романы с математиками и философами.
С Вольтером красавица познакомилась в 1733 году, а в 1734 предоставила убежище от повторного заключения в Бастилии – полуразрушенный замок супруга, в котором философ провел 15 лет своей жизни, возвращаясь туда из многочисленных поездок.
Вольтер в старости
Дю Шатле привила Вольтеру любовь к уравнениям, законам физики и математическим формулам, поэтому влюбленные зачастую решали сложные задачи. Осенью 1749 года Эмили умерла после рождения ребенка, и Вольтер, потерявший любовь всей своей жизни, погрузился в депрессию.
Кстати, мало кто знает, что на самом деле Вольтер был миллионером. Еще в молодости философ познакомился с банкирами, научившими Франсуа инвестировать капиталы. Разбогатевший к сорока годам писатель вкладывал в снаряжение французской армии, давал денег на покупку кораблей и скупал произведения искусства, а в его поместье в Швейцарии находилось гончарное производство.
Развлечения и достопримечательности Вольтерры
Побывавший в Вольтерре в начале 20 века русский путешественник Муратов писал про эти места следующее:
Вольтерра — темный, угрюмый в своей крайней древности город. Он выстроен весь громоздко и тяжело. Дикие горные крестьяне в плащах из грубого сукна толпятся на его улицах в дни базаров и праздников. В облике их чудится что-то не итальянское, что укрылось от благодетельных переплавлений Ренессанса и сохранило в целости черты сказочно древней расы. Вольтерра — один из этрусских городов, и, даже если бы в нем не было замечательного музея древностей и превосходно сохранившихся стен, он по самому духу своему оставался бы одним из явственнейших свидетельств об этой загадочной нации. Ее палаццо деи Приори, ее пьяцца Маджоре, ее сохранившиеся в большом количестве башни, ее уцелевшие во множестве зубцы на дворцах и бойницы в стенах являют редкое по живописности зрелище. Все то, что утрачено в исчезнувших кварталах старой Флоренции, путешественник найдет здесь.
П. П. Муратов, «Образы Италии»
После таких слов, впору бросать все и бежать в Вольтерру (хотя бы мысленно). Что мы и сделаем, погрузившись в описание уникальных достопримечательностей этого древнего города.
Вольтерра
Главная площадь — деи-Приори (dei Priori) — привлекает внимание своим архитектурным ансамблем, доминирующую роль в котором играет дворец городского совета — старейший в Тоскане. Также стоит уделить внимание собору 10 века, который многократно перестраивался и сегодня радует туристов произведениями флорентийских художников кватроченто
К нему пристроен Баптистерий (1283 г.).
Другие достопримечательности: замок Медичи (1343 г.), Музей священного искусства (состоящий из трех комнат), Этрусский музей (один из лучших в Европе), Пинакотека в здании 14 века, римский амфитеатр 10 века до н. э. (вход 3 EUR). Два музея и Пинакотеку можно посетить по одному комбинированному билету, который стоит 16 EUR (льготный — 13 EUR).
Награды и признание
Вито Вольтерра стал иностранным членом Королевского общества по30 июня 1910 г.и был избран в Королевское общество Эдинбурга в 1913 году.
Он был президентом (1923-1927) Национального исследовательского совета Италии, членом академий и математических обществ по всему миру и имеет многочисленные докторские степени honoris causa : Кембридж, Оксфорд, Эдинбург, Сент-Эндрюс и многие другие.
- Croix de guerre (Италия)
- Офицер Почетного легиона (Франция)
- Орден Леопольда (Бельгия)
- Полярная звезда (Швеция)
Его именем назван кратер Луны и астероид .
Он был одним из членов-основателей в 1930 году Association des Amis d’André-Marie Ampère, помогая создать музей Ampère недалеко от Лиона.
Интеграл движения
Для решения уравнения Лотки-Вольтерра существует интеграл движения
Типичные фазовые траектории показаны на рисунке справа. При значительном размножении жертв создаются условия для размножения хищников благодаря доступности пищи. Но размножения хищников приводит к уменьшению числа жертв. Когда число жертв сильно падает, хищники тоже погибают из-за недостатка пищи. Только тогда, когда количество хищников достигает минимума, популяция жертв снова начинает расти.
Существование интеграла движения приводит к тому, что величины популяций определяются начальными условиями. В этой задач не предельного цикла, который был бы аттракторов для фазовых траекторий. Циклы в задачи хищник-жертва имеют равнодушную устойчивость.
